第12章二阶动态已较

第12章二阶动态电路分析411第12章二阶动态电路分析教学提示：前一章我们讲了电路中只含有一个动态元件(电容或电感)的动态过程的分析,即一阶动态电路的分析过程.本章我们要讲的是电路中含有两个动态元件的二阶动态电路的分析,并用经典法来求解其过渡过程.教学要求：会选择合适的变量建立描述电路的微分方程以及确定相应的初始条件;根据微分方程对应的特征方程根的性质,正确写出齐次微分方程解的表达式;了解RLC串联电路在零输入情况下所经历的响应过程.12.1RLC串联电路微分方程的建立对于一个线性电路，当电路中既有一个电感又有一个电容时，电路如图12.1所示，描述电路的方程为二阶线性常系数微分方程，我们把这样需要用二阶线性常系数微分方程来描述的电路称为二阶（线性）电路。显然在二阶电路中，由储能元件的初始储能所给定的初始条件有两个。为方便分析，本章只讨论RLC串联电路的零输入响应。下面讨论二阶电路微分方程(differentialequationofsecond-ordercircuit)的建立。如图12.1所示电路，假设电容原已充电，其电压为U0，电感中的初始电流为I0，在图示给定的电压、电流参考方向下，由KVL可得下列方程-uC+uR+uL=0由电路元件的伏安关系可得22CRCLCduCdtduRCdiuRidudiuLLCdttdt将它们代入KVL方程并整理，得图12.1RLC串联电路的动态分析022CCCudtduRCdtudLC（12.1）显然这是一个以uC为未知量的二阶、常系数、线性、齐次的微分方程。求解此类方程时，可先假设ptCAeu，然后再确定其中的A和p。将ptCAeu代入式（12.1）并整理得：012RCpLCp上式称为式（12.1）的特征方程，解出特征根为LCLRLRp1)2(22S(t=0)RCuC_+_uR+uL+_iLL第12章二阶动态电路分析412即特征根p有两个值，因此电压uC可写为tptpCeAeAu2121（12.2）其中LCLRLRp1)2(221LCLRLRp1)2(222（12.3）显然特征根p1和p2仅与电路参数和结构有关；而积分常数A1和A2则由uC的初始条件uC(0+)和0tCdtdu决定。由于dtduCiC，由换路定律不难得到0)0()0(UuuCCCICiCidtdutC00)0()0(于是有CIApApUAA02211021⇒20121pUApp10221pUApp(设I0=0，U0≠0)由式（12.3）不难知道特征根p1和p2可能为不同的实根、相同的实根和共轭复根等三种类型，其通解也相应有三种不同形式,下一节我们要对这三种形式进行二阶电路零输入响应的分析。12.2二阶电路的零输入响应上节我们得到二阶电路的微分方程有三种不同形式的通解,下面我们分别对这三种形式进行二阶电路零输入响应(zero-inputresponseofsecond-ordercircuit)的分析。12.2.1非振荡过阻尼情况当LCLR1)2(2，即CLR2时，p1和p2为不相等的实根，齐次方程的通解的形式为1212ptptCuAeAe12021()()ptptcduUiceedtLpp2102121()ptptLdiUuLpepedtpp显然上面三式均按指数规律单调地衰减到零，因而响应是非振荡的，这种情况称为过第12章二阶动态电路分析413阻尼现象。图12.2画出了过阻尼情况uc、i、uL随时间变化的曲线。图12.2非振荡过阻尼uc、ul、i的变化曲线分析图12.2曲线变化的物理过程，假设初始时刻能量全部存储在电容中0(0)CuU（(0)0Li），电容的初始储能通过回路放电，电容电压下降，因为电阻较大，电场能量大部分为电阻所消耗，部分转变为磁场能量，在10tt区间，0cLui，电容释放初始能量，0LLui，电感吸收能量，建立磁场；1tt以后，0LLui，电感释放能量，磁场和电场储能被电阻R所消耗；从图中可以看出，电容电压在整个过程中一直释放存储的电能，为非振荡放电。12.2.2临界阻尼情况当CLR2时，p1和p2为相等的实根，此时122RppL，因此，齐次方程的通解的形式为12()tCuAAte（t≥0）0tCduUiCtedtL0(1)tLdiuLUetdt显然电路的响应也是非振荡的，按上面三式画出uC、uL、i的变化曲线与图12.2的变化规律相似。由于在工程实际当中，电路参数会受温度、湿度、振动和噪声等因素的影响而发生微小变化，从而CLR2这一关系很难维持，因此这种情况称为临界阻尼现象。12.2.3振荡欠阻尼情况当CLR2时，p1和p2为一对共轭复根，令LR22221LRLC0iLt0UuL-U0t2t1uCiL第12章二阶动态电路分析414则jp2,1，此时齐次方程的通解的形式为:令22012sin()tCuAetA0sintCduUiCetdtL00sin(arc)tLdiUuLettgdt这种情况称为欠阻尼现象。很明显电路的响应是振荡型的，其振荡频率为ω，但其振幅是按指数规律衰减的，其衰减的快慢与α的大小有关，故α也称为衰减系数。图12.3画出了欠阻尼情况uc、i、uL随时间变化的曲线。由图12.3可知，Cu和i的波形呈衰减振荡，这是因为电阻较小，电容放电时，电阻所消耗电场能量较少，大部分电能转变为磁能存储在电感中，当Cu为零时，电容储能为零，电感开始放电，电容被反向充电；当电流为零时，电感储能为零，电容又开始放电；于是电路中电流、电压形成振荡过程，不过每次振荡时，电阻要消耗一部分能量，故为衰减振荡。当α=0，即R=0时，LC10因此102sin()CuAtA电路响应为等幅振荡，这种情况称为无阻尼现象。图12.3振荡欠阻尼uc、uL、i的变化曲线uLi023232t-U0uCuC,iL,uL第12章二阶动态电路分析41512.3二阶动态电路的分析[例12.1]如图12.4所示,已知S10VU，开关闭合前电路已处于稳态，且C(0)1Vu，L(0)1Ai，求0t时的C()ut。[解]：由LCKCL:iii1LCCSKVL:()RiiuU（12.4）LCL(0)diuRiLtdt（12.5）由式（12.4）得到：SCCL11UuduiCRRdt（12.6）图12.4例12.1电路图将式（12.6）代入式（12.5）:2CCCS2111()(1)duduLRRLCRCuUdtRdtRR即：2CCC21111100(0)duduutdtdt，根据换路定理及图12.5可得到初始条件：C(0)(0)1VCuu，CC0(0)8V/stduidtCCCpCh()()()ututut任一特解齐次通解令Cp100()V11utAA即Cp100()V11ut212111101.12,9.89pppp1.129.89Ch12()eettutAA1.129.89C12100()ee11ttutAA0t时：图12.5初始条件确定R1C1F1ΩS(t=0)10ΩRL1HUS+uC+_iiLiC10Ω1Ω1AUS+_uC+_9AiC(0+)=8A1V第12章二阶动态电路分析416C121C212100(0)18.2110.111.129.898uAAAduAAAdt1.129.89C100()8.2e0.11eV(0)11ttutt此例为非振荡过阻尼情况。[例12.2]如图12.6所示电路,已知t≥0时:us=0,1A(0)Li,(0)0VCu,C=1F,L=1H,R=2Ω,求t≥0时的()Cut.[解]：12212LRRppCL所以此例为临界阻尼的情况。12()tCuAAtec1(0)0uA0tCdtdu=12AA=(0)1LiC,21A所以C()tutte图12.6例12.2电路图[例12.3]图12.7所示电路原已达稳态，开关K在t=0时打开。求K打开后的响应uc、iL，。已知Us=10V，R0=7Ω，R=3Ω，L=0.5H，C=0.25F。第12章二阶动态电路分析417图12.7例12.3电路图[解]：(1)确定电路的初始状态。对于常量输入，电路达稳态后，电容相当于开路，电感相当于短路，易确定该电路的初始状态为iL(0-)=0SURR=1Auc(0-)=RiL(0-)=3V(2)以uc为直接求解变量，建立描述电路的微分方程，并确定初始条件。K打开后，RLC构成串联电路，以uc为变量描述电路的微分方程为22cdudt+cRduLdt+1LCuc=0将各元件参数值代入上式，得22cdudt+6cdudt+8uc=0定解所需的初始条件为：0cu=0cu=3V0|cdudt=1(0)Lic=1(0)Lic=4（3）求解该微分方程，确定相应的响应。微分方程对应的特征方程为2680SS其特征根为12S，24S由于S1、S2为不相等的负实数根，故响应为过阻尼情况，按式12.2有2412ttcuAeAe将上式微分得241224ttcduAeAedt将0t的初始条件代入上式，得:12(0)3cAAu1224|04cduAAdt联立解得：第12章二阶动态电路分析4181241AA于是24(4)ttcueeV(0t)24(2)ttcLduiCeedtA(0t)12.4小结1.二阶电路微分方程的建立先根据KVL定律建立起二阶动态电路的回路电压方程，然后把该方程整理为一个以uC为未知量的二阶、常系数、线性、齐次的微分方程。2.二阶电路微分方程的解根据微分方程的特征根p1和p2可能为不同的实根、相同的实根和共轭复根等三种类型，其通解也相应有三种不同形式,分别对这三种形式进行求解微分方程。3、二阶电路的零输入响应分为三种情况进行讨论：（1）非振荡过阻尼情况当CLR2时，p1和p2为不相等的实根，响应是非振荡的，这种情况称为过阻尼现象。（2）临界阻尼情况当CLR2时，p1和p2为相等的实根，电路的响应也是非振荡的，这种情况称为临界阻尼现象。（3）欠阻尼和无阻尼情况当CLR2时，p1和p2为一对共轭复根，电路的响应是振荡型的，这种情况称为欠阻尼现象。其振荡频率为ω，衰减系数为α，且当α=0，即R=0时，LC10因此)sin(201AtAuC这时电路响应为等幅振荡，这种情况称为无阻尼现象。第12章二阶动态电路分析4194、二阶动态电路的分析通过对几个实例的求解与分析，让我们对二阶动态电路的上述三种情况有一个具体的进一步的了解与熟悉，并作出每种情况的响应曲线。12.5习题12.5-1．RLC串联电路的零输入响应属于临界情况。增大或减小R的数值,电路的响应将分别改变为过阻尼还是欠阻尼情况?说明原因。12.5-2．在RLC串联电路中，在R可调范围内，零输入响应属欠阻尼情况。试说明增大或减小R的数值，对衰减系数α有什么影响？12.5-3．题12.5-3图所示电路中，(0)100,(0)0,0cLuVit时K闭合。求零输入响应cu和Li,并画出它们的波形图。题12.5-3图12.5-4．题12.5-4图所示电路中，(0)50,(0)0cLuVi，开关K在0t时闭合。求零输入响应cu和Li,并画出它们的波形图。题12.5-4图12.5-5．题12.5-5图所示电路已达稳态。求K打开后的响应cu。第12章二阶动态电路分析420题12.5-