第12讲微分及运算法则2009

《数学分析I》第12讲教案1第12讲微分概念及其运算法则授课题目微分概念及其运算法则教学内容1.微分的概念；2.微分的运算法则；3.高阶微分；4.微分在近似计算中的应用．教学目的和要求通过本次课的教学，使学生能较好地掌握微分的概念，微分的运算法则，一阶微分形式的不变性，了解高阶微分的概念.教学重点及难点教学重点：微分的概念，一阶微分形式的不变性；教学难点：高阶微分.教学方法及教材处理提示(1)本讲的重点是掌握微分的概念，要讲清微分是全增量的线性主部，讲清函数可微分与可导是等价；(2)本讲的难点是高阶微分，可要求较好学生掌握这些概念.(3)通过实际问题计算讲述微分在近似计算中的应用．作业布置作业内容：教材117P:1，2（2，4，6），4（1，2），7（1，2）.讲授内容一、微分的概念定义1设函数xfy定义在点0x的某邻域0xU内．当给0x一个增量x，00xUxx时，相应地得到函数的增量为00xfxxfy.如果存在常数A，使得y能表示成xoxAy则称函数f在点0x可微，并称上式中的第一项xA为f在点0x的微分，记作xAdyxx0或xAxdfxx0.由定义可见，函数的微分与增量仅相差一个关于x的高阶无穷小量，由于dy是x的线性函数，所以当0A时，也说微分dy是增量y的线性主部．定理5．10函数f在点0x可微的充要条件是函数f在点0x可导，而且常数A等于f0x．证：[必要性]若f在点0x可微，由(1)式有1oAxy，取极限后有AoAxyxfxx1limlim000，这就证明了f在点0x可导且导数等于A．[充分性]若f在点0x可导，则f在点0x的有限增量公式xoxxfy0表明函数增量y可表示为x的线性部分xxf0与较x高阶的无穷小量之和，所以f在点0x可微，且有xxfdyxx00．微分的几何解释如图5-9所示．当自变量由0x增加到xx0时，函数增量《数学分析I》第12讲教案2RQxfxxfy00，而微分则是在点P处的切线上与x所对应的增量QRxxfdy0，并且0limlimlim000QRQQxfPRQQxdyyxxxxxx，所以当00xf时，0lim0QRQQxx.若函数xfy在区间上每一点都可微，则称f为I上的可微函数．函数xfy在I上任一点历x处的微分记作Ixxxfdy,，它不仅依赖于x，而且也依赖于x．特别当xy时，xdxdy，这表示自变量的微分dx就等于自变量的增量．于是可改写为:dxxfdy，即函数的微分等于函数的导数与自变量微分的积．比如dxxxd1；xdxxdcossin；xdxxdln.如果写成,dxdyxf那么函数的导数就等于函数微分与自变量微分的商．因此，导数也常称为微商．在这以前，总把dxdy作为一个运算记号的整体来看待，有了微分概念之后，也不妨把它看作一个分式了．二、微分的运算法则由导数与微分的关系，我们能立刻推出如下微分运算法则：1．xdvxduxvxud；2．xdvxuxduxvxvxud；3.xvxdvxuxduxvxvxud2；4．,dxxgufxgfd其中xgu．在4式中，由于dxxgdu，所以它也可写作duufdy．这与(4)式在形式上完全相同，即(4)式不仅在x为自变量时成立，当它是另可微函数的因变量时也成立．这个性质通常称为一阶微分形式的不变性．例1求xxxy22cosln的微分.解：2222coslncoslnxdxxdxxxddyxdxdxxxd222coslnlndxxxx2sin21ln2.例2求baxeysin的微分.解：由一阶微分形式不变性，可得baxedysinbaxdsinbaxdbaxebaxcossindxbaxaebaxcossin.《数学分析I》第12讲教案3三、高阶微分我们知道函数xfy的一阶微分是dxxfdy，其中变量x和dx是相互独立的．现将一阶微分只作为x的函数，若f二阶可导，那么dy对自变量x的微分2dxxfdxdxxfdxxfddyd，或写作22dxxfyd,称它为函数f的二阶微分．注：这里2dx是指2dx；xd2表示x的二阶微分02xd；而2xd则表示2x的一阶微分xdxxd22．三者不能混淆．一般地，n阶微分是，1n阶微分的微分，记作ydn，即111nnnndxxfdyddydnndxxf.若将它写成xfdxydnnn时，就和n阶导数的记法一致了．对2n的n阶微分均称为高阶微分．例3设xxfysin，2ttx．求yd2.解：由2sinty得2cos2tty，222sin4cos2ttty，得22222sin4cos2dttttyd．四、微分在近似计算中的应用1．函数的近似计算由函数增量与微分关系)(0xodyxxxfy，当x很小时，有dyy，由此即得xxfxfxxf000，或当0xx时有000xxxfxfxf.注意：在点00,xfx的切线方程即为000xxxfxfy，几何意义就是当x充分接近0x时，可用切线近似替代曲线(“以直代曲”)．常用这种线性近似的思想来对复杂问题进行简化处理．设xf分别是xsin，xtan，x1ln和xe，令00x，则可得这些函数在原点附近的近似公式：xxsin；xxtan；xx1ln；xex1．例4求33sin的近似值．解：由于606sin33sin，因此取xxfsin，60x，60x,得到《数学分析I》第12讲教案4606cos6sin33sin545.0602321..544639.033sin的真值为例5设钟摆的周期是1秒，在冬季摆长至多缩短01.0cm，试问此钟每天至多快几秒？解：由物理学知道，单摆周期T与摆长l的关系为glT2，其中g是重力加速度．已知钟摆周期为1秒，故此摆原长为202gl.当摆长最多缩短0.01cm时，摆长的增量l0．01，它引起单摆周期的增量).(0002.0)01.0(98022|2200秒lgllgldldTTll这就是说，加快约0.0002秒，因此每天大约加快28.170002.0246060(秒)．2．误差估计设量x是由测量得到，量y由函数xfy经过计算得到．在测量时，由于存在测量误差，实际测得的只是x的某一近似值0x，因此由0x算得的00xfy也只是xfy的一个近似值．若已知测量值0x的误差限为x(它与测量工具的精度有关)，即xxxx则当x很小时，xxfxxfxfxfy000，而相对误差限则为xyxfxfy000.例6设测得一球体的直径为42cm，测量工具的精度为050cm．试求以此直径计算球体体积时所引起的误差．解：由直径d计算球体体积的函数式为361dV.取420d，05.0d，求得330039.3879261cmdV，于是得体积的绝对误差限和相对误差限分别为322054.13805.042221cmddv，57.336121030200ddvdddV‰.