第14章平面直角坐标系和实数

第7讲平面直角坐标系与实数赛点突破1．平面直角坐标系为了确定平面上点的位置，我们用互相垂直的有公共原点的两条数轴建立平面直角坐标系。平面上的每一个点，就和一对有序实数对应，这对有序实数称为点的坐标。两条坐标轴将直角坐标平面分成四个象限，坐标轴不属于任何一个象限。2．实数无限不循环小数叫无理数，无理数不能用分数来表示。实数包括有理数和无理数，实数和数轴上的点是一一对应的。直角坐标平面上的点是和一对有序实数一一对应的。范例解密例1．（1997年哈尔滨初中数学竞赛试题）P（a,b）是平面直角坐标系内的点，如果ab0,那么P的位置在；如果ab=0,那么P的位置在；如果a2+b2=0,那么P的位置在。解当ab0时，a与b同号，这时P（a,b）的位置在第一象限或第三象限；当ab=0时，a=0,或b=0，这时P（a,b）的位置在坐标轴上；当a2+b2=0时，a=b=0，这时P（a,b）的位置在原点。例2．（1999年第14届江苏省初中数学竞赛试题）在直角坐标系中，已知点A（0，0），B（0，1），C（0，2），D（1，0），E（2，0），F（1，1），G（1，2），H（2，1），K（2，2），则点A，B，C，D，E，F，G，H，K中以其中四点为顶点的正方形有个，以其中三点为顶点的直角三角形有个。解先将这些点画在直角坐标系中：BCGKFHEDAYx（1）面积为1的正方形如ABFD有4个；面积为2的正方形有1个：BGHD，面积为4的正方形有1个：ACKE；一共有6个正方形。（2）在一个面积为1的正方形如ABFD中，有4个面积为12的直角三角形；在一个面积为4的正方形ACKE中，有4个面积为2直角三角形；在一个面积为2的长方形如ACGD中，有6个面积为1直角三角形（形如ACG的4个，形如DBG的2个）；故一共有4×4+4×1+6×4=44个直角三角形。例3．已知平行四边形的三个顶点在平面直角坐标系中的坐标是A（1，0），B（3，1），C（2，3）。求第四个顶点的坐标。yxOABCDFE解如果平行四边形第4个顶点是D，且CD‖BA，CD=BA，将线段AB平行移动，当它的端点B移动到C点时，A点就移动到了D点。因为点B移动到C点，沿水平方向移动了-1个单位，沿竖直方向移动了1个单位，故将A点移动到B点，也要沿水平方向移动-1个单位，沿竖直方向移动1个单位，从而D点的坐标为（1-1，0+1）即（0，1）；同样，如果平行四边形第4个顶点是F，且CA‖BF，CA=BF时，可以求得F点的坐标为（2，-1）；如果平行四边形第4个顶点是E，且CE‖AB，CE=AB时，可以求得E点的坐标为（4，3）。例4．（1989年第40届美国高中数学考试）如图一个粒子在第一象限内移动，在第一分钟内它从原点运动到（1，0），而后它接着按按图所示在与x轴，y轴平行的方向来回运动且每分钟移动1个单位长度，那么在1989分钟后，这个粒子所处位置为（）（A）（35，44）（B）（36，45）（C）（37，45）（D）（44，35）（E）（45，36）xy01122334分析与解我们先观察纵横坐标相等的点（它们是粒子运动时拐弯的地方）：粒子运动到（0，0）时，用时0分钟；粒子运动到（1，1）时，用时1×2=2分钟，将向左运动；粒子运动到（2，2）时，用时2×3=6分钟，将向下运动；粒子运动到（3，3）时，用时3×4=12分钟，将向左运动；粒子运动到（4，4）时，用时4×5=20分钟，将向下运动；…………一般的规律是：粒子运动到（n，n）时，用时n(n+1)×5=20分钟，当n为奇数时，将向左运动；当n为偶数时，将向下运动。粒子运动到（44，44）时，用时44×45=1980分钟，将向下运动。再过9分钟粒子从（44，44）向下运动9个单位，这时粒子所在的坐标是（44，35）。所以，应该选D。例5．①说明边长为1的正方形的对角线的长度为2；②证明2是无理数；解①如图，四边形ABCD是边长为1的正方形。它的面积是1。三角形ABC的面积是12，将4个与三角形ABC一样大的三角形拼成一个正方形ACFE，它的面积是2，所以它的边长为AC=2，也就是说正方形ABCD的对角线的长度为2。EFBADC②用反证法．假设2不是无理数，则2是有理数，设2=pq（p,q是互质的正整数），两边平方后整理得p2=2q2.所以p一定是偶数．设p=2m(m是自然数)，代入上式得4m2＝2q2，q2＝2m2，所以q也是偶数，p与q均为偶数和p与q互质矛盾，所以2不是有理数，于是2是无理数。评注（1）只要p是质数，p就一定是无理数，这个结论的证明与p=2时类似，我们将它的证明留给同学们。（2）利用无理数不等于有理数这个性质，我们可以解答许多类似的问题。例6．若a,b,c是三角形的三边，化简：22()||()abcabcabc分析解答这个问题的关键是会化简形如2a一类式子。由算术平方根的定义知，2a表示一个非负实数，它的平方等于a2，于是这个数就是a（a≥0）或-a（a0）,故有2a=|a|.解22()||()abcabcabc=|a+b-c|+|a-b+c|+|a-b-c|=(a+b-c)+(a-b+c)+(-a+b+c)=a+b+c.例7．已知一个分数的分子与分母的和为37，这个分数的算术平方根精确到0.01的近似值是0.92,求这个分数解：设这个分数为nm，则0.9150.925nm，于是有220.8370.9150.9250.856nm∴1.8371.856nmm，即371.8371.856m∴19.9m20.1,因m是整数，故m=20,于是n=17，这个分数为1720。例8．(2002年第13届希望杯数学邀请赛试题)已知在等式axbscxd中，a,b,c,d都是有理数，x是无理数。解答：（1）当a,b,c,d满足什么条件时，s是有理数？
（2）当a,b,c,d满足什么条件时，s是无理数？解显然有cx+d≠0，于是有（cx+d）s=ax+b，且当c=0时，应有d≠0(1)将上式整理得（a-cs）x=ds-b当s是有理数时，应有a-cs=0，否则有dsbxacs，此式左边为无理数，右边为有理数，不能成立。于是有a-cs=0①，从而ds-b=0②。如果c=0,则a=0，此时应有否则cx+d≠0，矛盾。此时bsd为有理数。如果c≠0，则由①asc，代入②，0adbc，即ad=bc.此时asc为有理数。所以，当c=a=0，d≠0时，或c≠0，ad=bc时，s为有理数。（2）因为当s是有理数时，如果c=0,则a=0，故如果c=0,且a≠0，d≠0时，s是无理数；又因为当s是有理数时，如果c≠0，则ad=bc，故如果c≠0,且ad≠bc时，s是无理数。所以，当c=0,且a≠0，d≠0时，或c≠0,且ad≠bc时，s是无理数。解显然有cx+d≠0，于是有（cx+d）s=ax+b，且c，d不能同时为0(1)将上式整理得（a-cs）x=ds-b当s是有理数时，应有a-cs=0，否则有dsbxacs，此式左边为无理数，右边为有理数，不能成立。于是有a-cs=0①，从而ds-b=0②。如果c=0,则a=0，此时应有d≠0。此时bsd为有理数。如果c≠0，则由①asc，代入②，0adbc，即ad=bc.此时asc为有理数。所以，当c=a=0，d≠0时，或c≠0，ad=bc时，s为有理数。（2）因为当s是有理数时，如果c=0,则a=0，故如果c=0,且a≠0，d≠0时，s不是有理数，即s是无理数；又因为当s是有理数时，如果c≠0，则ad=bc，故如果c≠0,且ad≠bc时，s不是有理数，即s是无理数。所以，当c=0,且a≠0，d≠0时，或c≠0,且ad≠bc时，s是无理数。超级训练一．选择题1．（1983年河北省初中数学竞赛试题）π，227，2，9，3.14,0.61414,0.1001000100001…这7个实数中无理数的个数是（）(A)0(B)1(C)2(D)32．（2000年广西“新世纪杯”初中数学竞赛试题）已知点P（a，b）在第二象限，那么点P1（-b，a-1）在（）(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限3．（2002年杭州市中考试题）下列各组数中，互为相反数的是（）（A）-2和12（B）|-2|和2（C）-2和2(2)（D）-2和384．（1995年全国初中数学联赛备选题）若a,b为互异质数，则ab是（）(A)质数(B)合数(C)无理数(D)有理数5．（1993年河北省初中数学竞赛试题）若a,b,ab都是有理数，则a,b的值是（）(A)二者均为有理数(B)二者均为无理数(C)一个为有理数，另一个为无理数(D)以上三种情况均有可能二．填空题6．（2002年天津中考试题）已知点P在第二象限，且到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则点P的坐标为。7．（1997年哈尔滨初中数学竞赛试题）已知A（0，0），AB=4，点B和点A在同一坐标轴上，则B点的坐标为。8．（2003年南昌中考试题）如图，○A表示三径路与一纬路的十字路口，○B表示一径路与三纬路的十字路口，如果用（3，1）→（3，2）→（3，3）→（2，3）→（1，3）表示由○A到○B的一条路径，用同样的方式写出另外一条由○A到○B的路径：（3，1）→（，）→（，）→（，）→（1，3）9．一个正方形的两条对角线分别在平面直角坐标系的两个轴上，且对角线的长为4，那么，原点到这个正方形一边的距离是，正方形四个顶点的坐标是。10．在不大于1000的正整数中，有个数，它们的平方根是整数，而立方根不是整数。三．解答题11．下面有四个命题：①有理数与无理数之和为无理数②有理数与无理数之积为无理数③无理数与无理数之和为无理数④无理数与无理数之积为无理数请你判断哪些是正确的，哪些是不正确的，并说明理由12．已知4是2a+6的平方根，求45a的平方根13．在直角坐标系中，点A的坐标是（-3，4）点B的坐标是（-1，-2），O是原点，求三角形ABO的面积14．（1985年吉林初中数学竞赛试题）用※规定为在有序实数对上的运算，如下所示：(a,b)※(c,d)=(ac+bd,ad+bc)如果(a,b)※(x,y)=(a,b),求(x,y)。15．如果恰有35个连续整数的算术平方根的整数部分都等于a，求a及这35个整数。16．若a，b是两个不相等的有理数，试判断22ab是有理数还是无理数，证明你的结论。超级训练题答案与提示1．D2．C3．C4．C5．A6．(-3,2)7．(4,0)或（-4，0）或（0，4）或（0，-4）8．（3，1）→（2，1）→（1，1）→（1，2）→（1，3）等多种路径。9．2；（2，0），（0，2），（-2，0），（0，-2）10．28在不大于1000的正整数中，有31个完全平方数：1，4，9，…961，其中有3个也是完全立方数：1，64，729。故平方根是整数，而立方根不是整数的数有31-3=28（个）。下面有四个命题：①有理数与无理数之和为无理数②有理数与无理数之积为无理数③无理数与无理数之和为无理数④无理数与无理数之积为无理数请你判断哪些是正确的，哪些是不正确的，并说明理由11．设有理数为a，b无理数为α,β。①若a+α=b，则α=b-a，此式左边是无理数，右边是有理数，它是不能成立的，故a+α是无理数，①正确；②当a=0时，aα=0是有理数，②不正确；③当α=2，β=2时，α+β=0是有理数，③不正确；④当α=β=2时，αβ=2是有理数，④不正确。12．2a+6=42,a=5,45a=9,它的平方根为±3。13．自A作AM垂直于y轴于M，自B作BN垂直于y轴于N，S△AOB=S梯形AMNB-S△AOM-S△BON=12•（1+3）•（2+4）-12•3•4-12•1•2=5。14．因(a,b)※(x,y)=(ax+by,ay+bx)=(a,b),故ax+by=a,ay+bx=b解得：x=1,y=0故(x,y)=(1,0)15．设