第14章相对论习题解答

1第14章相对论基础习题14.1一观察者测得运动着的米尺长为0.5m，问此米尺以多大的速度接近观察者？解：米尺的长度在相对静止的坐标系中测量为1m，当米尺沿长度方向相对观察者运动时，由于“长度收缩”效应，观察者测得尺的长度与相对运动的速度有关。设尺的固有长度为L，由长度收缩效应22'1cLL，得1822'sm106.21LLc14.2一张正方形的宣传画边长为5m，平行地贴在铁路旁边的墙上，一高速列车以18sm102的速度接近此宣传画，问若是高速列车上的乘客测量该画的边长为多少？解：由题意得，在垂直于相对运动的方向上，画的高度不变，在平行于相对运动的方向上，长度变短。由长度收缩效应公式m7.3122'cLL乘客测量的尺寸为2m7.35。14.3从地球上测得，地球到最近的恒星半人马座'S星的距离为m103416.。某宇宙飞船以速率=0.99c从地球向该星飞行，问飞船上的观察者将测得地球与该星间的距离为多大？解：飞船上的观察者认为地球与'S星的距离是运动的，故长度收缩。即2m101.6115220cll14.4如果地面上的观察者测得彗星的长度等于随彗星运动的观察者所测得的一半，求彗星相对于地面的速率是多少？解：根据长度缩短公式，有2201cvll，又已知210ll所以18sm106.22/3c14.5一根米尺静止在'S系中，与o’x’轴成30角，如果在S系中测得米尺与ox轴成45角，S‘相对于S的速率（沿ox轴正向运动）必须是多少？S系测得的米尺的长度是多少？解：设米尺在'S系中的长度为0l，坐标为00,yx，在S系中长度为l，坐标为yx,。在S系中看来，米尺仅在x方向缩短21倍，y方向上长度不变。故有m5.030sin00＝lyym5.0450＝yyctgx所以m707.022yxl由2201cxx，并将0yx，003yx代入上式，得c3214.6一个在实验室中以0.8c的速率运动的粒子，飞行3m后衰变，实验室中的观察者测量，该粒子存在了多长时间？由一个与该粒子一起运动的观察者来测量，这粒子衰变前存在多长时间？解：在实验室（S系）测量，该粒子存在的时间为s1025.11038.0388st3在与该粒子一起运动的参考系（'S系）中测量，该粒子衰变前存在的时间为s105.71922'ctt14.7在惯性系S中观察到有两个事件发生在某一地点，其时间间隔为4.0s，从另一惯性系S‘中观察到这两个时间间隔为6.0s。求从S‘系测量到这两个事件的空间间隔是多少？设S‘系以恒定速率相对于S系沿xx‘轴运动。解：由相对论时间膨胀效应可知，在'S系中测得在S系中的同一地点发生的两个事件的时间间隔't要比在S系中测得的t长，即有：22'1ctt由此可得'S系相对于S系的速率为：cttc3512'此两事件在'S系中的空间间隔为m1034.19''tx14.8一观察者看到A、B两宇宙飞船以0.99c的速率彼此离开，求从一个飞船上看到另一个飞船的速率为多大？解：设观察者静止于S系，'S系固定于船A，并以船A的飞行方向为x轴正向，由题意，'S系相对于S系的速率为c99.0，S系的观察者测得船B的速率为cux99.0，由洛仑兹速度变换式得cucuuxxx99995.012'所以从一个飞船上看到另一个飞船的速率为c99995.014.9火箭A以0.8c的速率相对于地球向正北飞行，火箭B以0.6c的速率相对于地球向正西飞行，求由火箭B测得火箭A的速度大小和方向。4解：设S系固定于地球，'S系固定于火箭B，正东为x轴正方向，正北为y轴正方向，火箭A为运动物体。根据题意，'S系相对于S系的速度为c6.0，且0zxuu，cuy8.0，由洛仑兹速度变换式得cucuuxxx6.012'，cucuuxyy64.01122'所以火箭B测得火箭A的速度'u的大小为cuuuyx877.02'2''与x轴（正东）的夹角为：83.46)/(cos''1uux14.10S系中有一原长为L0的棒沿x轴放置，并以速率u沿xx‘轴运动，有一'S系以速率v相对于S系沿xx‘轴运动。求从'S系测量此棒的长度为多少？解：设棒相对于'S系的速率为'u，由于棒和S系相对于'S系的运动方向相同，根据洛仑兹速度变换式，有ucuu2'1（1）由长度收缩公式可知，在'S系中测得速率为'u的运动直棒的长度为22'01cull（2）将（1）代入（2）中，得22222022022'0)(11cucuclucuclcull　14.11两个婴儿A、B分别在相距m100.23的两所医院里同时出生。若一宇宙飞船沿两医院的连线方向由A向B飞行时，测得A、B出生地相距为m100.13。求宇航员认为A、B是同时出生的吗？5解：将S系和'S系分别固定于地面和飞船，并使xx’轴正向沿飞行方向。将m100.23x和m100.13'x代入相对论长度收缩公式22'1cvxx得飞船的速率为c23又根据公式222'1/cvcxtt，得s1015.15't负号表示离坐标原点近的婴儿A后出生。14.12静止时测得一立方体的体积为V0，质量为m0。现沿某一棱的方向以速率运动进行测量，求其体积和密度各为多少？解：静止观察者测得的长、宽、高分别为000zyx有相对运动时，测量值为2201cvxx，0yy，0zz则相应的体积为202200011VcvzyxxyzV相应密度为22002020111cVmVmVm14.13当电子的运动速率达到=0.98c时，求（1）其质量m等于多少？（2）此时电子的动能等于多少？解：（1）由相对论质量公式，有6kg1082.45131220cmm（2）由相对论动能公式，有J1030.313202cmmcEk14.14一被加速器加速的电子，其能量为eV100.39。试问（1）这时电子的质量是其静止质量的多少倍？（2）此时电子的速率是多少？解：（1）根据质能关系，被加速的电子的运动质量为2cEm，故此时电子质量m与其静止质量0m之比为32001086.5cmEmm（2）由相对论的质量公式2201cmm，得ccmm999999985.0122014.15一个粒子的动量为非相对论动量的2倍，问该粒子的速率是多少？解：按题意有210220mcmPP＝非解之得18sm106.223c14.16把一个静质量为m0的粒子，从静止加速到0.01c的速率时，外力需对粒子做多少功？又从0.89c加速到0.9c时，外力需做多少功？比较两种情况下7的结果，说明了什么？解：由动能定理，得20202202111005.0101.011cmcmcccmcmEA　　2020222223221.089.0119.011cmcmcccccmcmEA　　结果说明在高速情况下，要想提高粒子的速度需要更多的能量。14.17若一电子的总能量为5.0MeV，求该电子的静能、动能、动量和速率。解：粒子的静能0E是指粒子在相对静止的参考系中的能量。由相对论质能关系得MeV512.0200cmE由相对论动能定义可得电子的动能为MeV488.40EEEk由相对论动量与能量关系式20222EcpE，得电子的动量为121202smkg1066.21EEcp由2201cEE，可得电子速率为cEEEc995.0220214.18中子星质量m＝1.5×1030kg，半径R＝5100.1，设想双生子甲、乙8生活在上面，甲在表面，乙在距中心坐标2R处，求在甲70岁时，乙的年龄是多大？解：应用引力时间延缓公式RcGmdtdt221'乙乙甲甲＝＝RcGmdtdtRcGmdtdt222121乙甲乙甲＝RcGmRcGmdtdt2221212122122121）（＝）（甲乙乙甲RcGmdtRcGmdt应用泰勒公式忽略高阶无穷小）（）＝（甲乙乙甲RcGmdtRcGmdt2222112211）（）＝（甲乙乙甲RcGmdtRcGmdt2211）（）＝（乙甲5163011516301110109105.11067.61102109105.11067.61dtdt）（）＝（乙甲2310112.1110558.51dtdt99444.098888.0乙甲＝dtdt岁＝甲4.7099444.098888.070dt14.19珠峰8.4km高处放置一只钟，比放置在海平面的钟走得快，不计地球转动影响，只考虑引力，求珠峰上的钟100年内快多少时间？已知：地球质量me=5.98×1024kg，地球半径Re=6.378×106m，山顶距地心R山=6.386×1069m。解：应用引力时间延缓公式RcGmdtdt221'山山＝＝RcGmdtdtRcGmdtdtee222121山山＝RcGmRcGmdtdtee2221212122122121）（＝）（山山eeRcGmdtRcGmdt应用泰勒公式忽略高阶无穷小）（）＝（山山eeRcGmdtRcGmdt2222112211）（）＝（山山eeRcGmdtRcGmdt2211）（）＝（山6162411616241110378.61091098.51067.6110386.61091098.51067.61dtdte）（）＝（山9910695.0110694.01dtdte)110695.0110694.01(99eedtdtdt＝山=3.136×109×0.1×10-11=3.1×10-3s