第16章多边形及其内角和

第9讲多边形及其内角和赛点突破在学习了三角形有关概念和性质的基础上，我们来学习多边形。1．多边形的概念由若干条线段首尾顺次相连围成的图形叫做多边形，这些条线段叫做多边形的边。把多边形的任何一边向两方延长，如果其它各边都在延长线的同侧，这样的多边形叫做凸多边形。中学阶段我们主要研究凸多边形要使得n条线段能够围成一个n边形，任何n-1条线段的和应该大于第n条线段。2．多边形的对角线多边形的两个顶点的连线，如果它不是多边形的边，我们就称它为多边形的对角线，从n边形的一个顶点出发，可以引n-3条对角线，它们把n边形分成n-2个三角形。一个n边形有(3)2nn条对角线。3．多边形的内角和与外角和n边形的内角和是（n-2）•180º，n边形的内角和是360º。4．正多边形一个多边形，如果它的各条边长相等，各个内角也相等，我们就称它为正多边形。用某些正多边形可以镶嵌成美丽的图案来。范例解密例1．（1997-1998学年度天津市初二数学竞赛预赛试题）如图，ABCD是凸四边形，AB=2,BC=4,CD=7,求线段AD的取值范围。ABCD解设AD=x，因两点之间，线段最短，故有247472724247xxxx，解得：1x13.例2．（1999年北京市初二数学竞赛试题）如图，CD∥AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC，∠C=124°，∠E=80°，求∠F的度数。解如图，延长CD与EF的延长线交于H，延长CB与FA的延长线交于G。∵CD∥AF，∴∠G=180°-124°=56°，∠BAG=180°-90°-56°=34°由已知，∠CDE=∠BAF，∴∠HDE=34°，∠H=180°-100°-34°=46°，∴∠F=180°-46°=134°。ABCDEFHG例3．（1990年武汉市初二数学竞赛试题）一个多边形的内角和是它的外角和的994倍，这个多边形的边数是，此多边形的内角和中至多有个锐角。解设这个多边形的边数为n，依题意得方程：（n-2）·180°=994·360°，解得n=1990。这个多边形至多有3个锐角，如果它的至少有4个锐角，那么这4个锐角的外角就都是钝角了，它们的和大于360°，这与多边形的外角和是360°是矛盾的。又只有3个锐角的1990边形是存在的，下面我们给出一种作图的方法：ABCDEFGH如图，先作出等边三角形ACE，然后作∠CAB=∠ACB=∠EAF=∠AEF=∠CED=∠ECD=10°，显然六边形ABCDEF仅有3个锐角。在FA，FE上各取一点G，H，连结GH，显然七边形ABCDEHG仅有3个锐角。仿此，我们可以作出八边形，九边形，…1990边形仅有3个锐角。说明：仅证明不能有4个锐角是不够的，还必须证明存在只有3个锐角的1990边形，这才能说明这个多边形至多有3个锐角。例4．（1995年湖北省黄冈地区初中数学竞赛试题）计算凸九边形所有对角线的条数，以及以凸九边形顶点为顶点的三角形的个数。解以凸九边形一个顶点为一端点的对角线有6条，这样就共有6×9÷2=27条对角线（除以2是因为在6×9中每条对角线都被计算了两次）。边和对角线共有45条线段，每条线段是8个三角形的边，于是共有三角形45×8÷3=120个.说明：一般地，凸n（n≥3）边形有(3)2nn条对角线,以凸n边形顶点为顶点的三角形有(3)(1)(2)[](2)26nnnnnnn个.例5．（1990年全国初中数学联赛试题）若六边形的周长等于20，各边长都是整数且以它的任意三条边为边都不能构成三角形，这样的六边形（）（A）不存在（B）只有一个（C）有有限个，但不止一个（D）有无穷多个。分析与解由n（n≥4）边形的不稳定性知，如果存在一个这样的六边形，那么符合条件的六边形就有无穷多个。设这样的六边形存在，且六边a1,a2,a3,a4,a5,a6满足a1≤a2≤a3≤a4≤a5,≤a6，则应有（1）a1+a2+a3+a4+a5+a6=20；（2）a1+a2≤a3,a2+a3≤a4，a3+a4≤a5,a4+a5≤a6（3）a1+a2+a3+a4+a5a6我们取a1=a2=1,a3=2,a4=3,a5=5,a6=8，就满足以上所有条件，故符合条件的六边形有无穷多个。例6．求证：等边凸多边形内部任一点至各边距离之和相等.证明设P为边长为a的等边多边形内一点,P到各边的距离分别为h1,h2,…,hn,多边形面积为S,连结点P至各顶点的线段分n边形为n个三角形,则S＝21ah1＋21ah2＋…＋21ahn＝21a(h1＋h2＋…＋hn),因S为定值,故h1＋h2＋…＋hn为定值aS2.例7．（2003年陕西省中考试题）在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．（1）请根据下列图形，填写表中空格：正多边形边数3456……n正多边形每个内角的度数……（2）如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．解（1）60°，90°，108°，120°，…，(2)180nn；（2）设正n边形能镶嵌成一个平面图形,在一个顶点周围有m个正n边形的内角，则有(2)180360nmn，即mn=2n+2m,故1112mn，它的正整数解为643;;346mmmnnn。故正三角形，正方形（或正四边形），正六边形能镶嵌成一个平面图形。（3）如正方形和正八边形，设在一个顶点周围有m个正方形的角，n个正八边形的角，那么m，n应该是方程m·90°+n·135°=360°的正整数解，即2m+3n=8的正整数解.解得，m=1,n=2,故符合条件的图形只有一个。草图如下：例8．（2001年重庆市初二数学竞赛决赛试题）把四边形的任何一边向两方延长，如果其它各边都在延长线的同侧，这样的四边形叫做凸四边形。（1）如图，平面上线段AC，BD相交，证明：顺次连结A，B，C，D四点的线段构成凸四边形。（2）平面上有A，B，C，D，E五点，其中无任意三点共线，证明：一定存在四点构成凸四边形。（可以用（1）的结论）证明（1）如图，延长BC得直线FG。因为E在A，C之间，故A，E在过C的直线FG的同一侧，同理D，E在直线FG的同一侧，即A，D在直线FG的同一侧（与E在一侧）。所以AB，BC，CD都在FG的同一侧。将其他三边延长，也可得到同样的结论。所以，顺次连结A，B，C，D四点的线段构成凸四边形。ABCDEFG（2）我们可以找到两点连成一条直线，使得其余三点在它的同侧；假设这条直线是AB；连结AC，AD，AE，不妨设∠CAB∠DAB∠EAB连结BD,如果线段BD与线段AC有交点，那么A，B，C，D四点构成凸四边形；如果线段BD与线段AC没有交点，那么C在ΔABD的内部，而E在ΔABD的外部，连结CE一定与ΔABD的某一条边相交，于是也一定存在四点构成凸四边形。ABCDEABCDE超级训练一．选择题1．（1985年武汉市初二数学竞赛试题）一个凸n边形共有27条对角线，则这个凸多边形的边数为（）。(A)11(B)10(C)9(D)8(E)72．（2003年TRULY信利杯全国初中数学竞赛试题）如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（）（A）360°（B）450°（C）540°（D）720°ABCDEFG3．（1994年浙江省初中数学竞赛试题）凸五边形的各边长均为整数，最大边长为26，最小边长为2，其他三条边中没有两条边相等，则五边形的第二大边的长至少等于（）A、11B、10C、9D、84．（1987年武汉市初二数学竞赛试题）下列命题：（1）四边形的四个内角都是锐角；（2）四边形的四个内角至少有一个是锐角；（3）四边形的四个内角至少有一个不是钝角；（4）四边形必有一对对角之和不小于平角。中正确的个数是：(A)4(B)3(C)2(D)15．（2004年包头市中考数学试题）用边长为a的正三角形，正方形，正六边形镶嵌成一个边长为a的正十二边形的平面图形。现有6个正方形，1个正六边形，那么还需要正三角形（）(A)8个(B)6个(C)4个(D)2个二．填空题6．（1984年武汉市初二数学竞赛试题）从凸十七边形的一个顶点出发，可以有条对角线；一个凸十七边形共有条对角线。7．（1991年希望杯全国数学邀请赛初二试题）边数为a，b，c的三个正多边形，若在每个正多边形中取一内角，其和为180°,那么111abc=.8．（1986年武汉市初二数学竞赛试题）一个凸多边形，除去一个内角外，其余各内角的和为2000°，那么这个内角的度数为。9．（2000年希望杯全国数学邀请赛初二试题）设A1A2…An是一个有n个顶点的凸多边形，对每一个顶点Ai（i=1，2，3，…，n）将构成该角的两边分别反向延长至Ai1，Ai2，连结Ai1Ai2，得到两个角∠Ai1，∠Ai2。那么所有这些新得到的角的度数的和是________.10．（1991年南京市初中二年级数学竞赛试题）若凸4n+2边形A1A2......A4n+2(n为自然数)的每个内角都是30°的整数倍,且∠A1=∠A2=∠A3=90°,则n所有可能的值是________.三．解答题11．凸四边形ABCD中，AC，BD是对角线，求证：12（AB+BC+CD+DA）AC+BDAB+BC+CD+DA12．（1999年第14届江苏省初中数学竞赛试题）如图所示，五边形ABCDE的每条边所在的直线沿该边垂直方向向外平移4个单位，得到新的五边形A1B1C1D1E1.图中五块阴影部分能拼成一个五边形吗？说明理由。ABCDEA1B1C1D1E1GFPONMKILH1234513．（第37届美国中学生数学邀请赛试题）已知ABCDE是一个正五边形，AP，AQ和AR是从点A到CD，CB的延长线和DE的延长线的垂线段，设O是正五边形的中心，若OP=1，求AO+AQ+AR。14．求证：等角凸多边形内部任一点到各边距离之和相等。15．已知一个凸n边形各内角度数均相等，且度数是奇数，问这样的多边形有几种？证明你的结论。16．（1984年上海市初中数学竞赛试题）平面上有A，B，C，D四点，其中任意三点不共线。求证：ΔABC，ΔABD，ΔACD，ΔBCD中，至少有一个三角形的内角不超过45°超级训练题答案与提示1．C2．C连结BE，CD，可证明所求七角之和等于三角形GBE的内角和与四边形ACDF的内角和之和ABCDEFGH3．B4．C（3）（4）正确5．B见下图6．14，1197．18．160º2000+α是180的倍数，而α180,故α=1609．360º每个顶点延伸两边得到的一个三角形，这样共有n个三角形，它们的内角和为n•180º，另外每个三角形中均有一个角与凸多边形的一个顶角相等，而凸多边形的内角和为（n-2）•180º，所以所有新得到的角的和是n•180º-（n-2）•180º=360º10．14n+2边形的内角和为4n•180º，于是除∠A1，∠A2，∠A3三角外其余各个角的和为（8n-3）•90º。当n=1时，是6边形，其余3个角的和等于450º，仅当它们都等于150º时成立；当n1时，易知3(8n-3)5(4n-1),故其余3个角的和等于(83)9041nn150º,不可能成立。于是只有n=1。11．∵2（AC+BD）=（AE+BE）+（BE+CE）+（CE+DE）+（DE+AE）AB+BC+CD+DA∴12（AB+BC+CD+DA）AC+BD.∵AB+BCAC,CD+DAAC,∴AB+BC+CD+