第22章一元二次方程学案

23.1一元二次方程学案学习目标：1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。课堂研讨：探究新知【例1】小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子，如果要求长方体的底面积为81cm2,那么剪去的正方形的边长是多少？设剪去的正方形的边长为xcm，你能列出满足条件的方程吗？你是如何建立方程模型的？合作交流动手实验一下，并与同桌交流你的做法和想法。列出的方程是.自主学习【做一做】根据题意列出方程：1、一个正方形的面积的2倍等于50，这个正方形的边长是多少？2、一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数。3、一块面积是150cm2长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？观察上述四个方程结构特征，类比一元一次方程的定义，自己试着归纳出一元二次方程的定义。【我学会了】1、只含有个未知数，并且未知数的最高次数是，这样的方程，叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式：,其中二次项，是一次项，是常数项，二次项系数，一次项系数。展示反馈【挑战自我】判断下列方程是否为一元二次方程。【例2】将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。（1）8142x（2）)2(5)1(3xxx【挑战自我】1、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）3x2－x=2；（2）7x－3=2x2;（3）(2x－1)－3x(x－2)=0（4）2x(x－1)=3(x＋5)－4.2、判断下列方程后面所给出的数，那些是方程的解；（1）)()(1412xxx±1±2；（2）0822xx±2，±43、要使02)1()1(1xkxkk是一元二次方程，则k=_______.4、已知关于x的一元二次方程043)2(22mxxm有一个解是0，求m的值。拓展提高1、已知关于x的方程1222xkxxk)(。问（1）当k为何值时，方程为一元二次方程？（2）当k为何值时，方程为一元一次方程？归纳小结1、本节课我们学习了哪些知识？2、学习过程中用了哪些数学方法？3、确定一元二次方程的项及系数时要注意什么？作业：课本第19页习题23.1第1、2、3题。课后反思：23.2.1一元二次方程的解法（一）教学目标1.会用直接开平方法解形如bkxa2)(（a≠0,ab≥0）的方程；2.灵活应用直接开平方法解一元二次方程。3.使学生了解转化的思想在解方程中的应用。研讨过程一、复习导学1.什么叫做平方根?2.平方根有哪些性质？二、探索新知试一试：解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流。（1）x2=4（2）x2-1=0解（1）∵x是4的平方根∴x＝即原方程的根为：x1=，x2=（2）移向，得x2=1∵x是1的平方根∴x=即原方程的根为：x1=，x2=概括总结：就是把方程化为形如x2=a（a≥0）或bkxa2)(（a≠0,ab≥0）的形式，然后再根据平方根的意义求解的过程，叫做直接开平方法解一元二次方程。如：已知一元二次方程mx2+n=0(m≠0),若方程可以用直接开平方法求解，且有两个实数根，则m、n必须满足的条件是（）A.n=0B.m、n异号C.n是m的整数倍D.m、n同号例1解下列方程（1）x2-1.21=0（2）4x2-1=0解：（1）移项，得x2=（2）移项，得4x2=∵x是的平方根两边都除以4，得∴x=∵x是的平方根即原方程的根为：x1=，x2=∴x=即原方程的根为：x1=，x2=例2解下列方程：⑴（x＋1）2=2⑵（x－1）2－4=0⑶12（3－2x）2－3=0练一练：1.解下列方程：（1）x2-0.81=0（2）9x2=42.解下列方程：（1）（x+2）2=3（2）（2x+3）2-5=0（3）（2x-1）2=（3-x）24、一个正方形的面积是100cm2，求这正方形的边长是多少？课堂小结：1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明。课后反思：23.2.2一元二次方程的解法（二）教学目标1、会用直接开平方法解形如bkxa2)(（a≠0,ab≥0）的方程；2、灵活应用因式分解法解一元二次方程。3、使学生了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换远方法。研讨过程一、复习练习：1、什么是直接开平方法？请举例说明。2、你能解以下方程吗？（1）8－x2=—1（2)3y2—18=0（3)x(x-1)+4x=0（4）—3x2—27=0二、例题讲解与练习你是怎样解方程21256x的？解：1、直接开平方，得x+1=所以原方程的解是x1＝，x2＝2、原方程可变形为212560x方程左边分解因式，得（x+1+16）=0即可（x+17）=0所以x＋17=0，=0原方程的蟹x1＝，x2＝练习：解下列方程（1）（x＋1）2－4＝0；（2）12（2－x）2－9＝0.（3）（x＋2）2－16＝0；（4）(x－1)2－18＝0；（5）(1－3x)2＝1；（6）(2x＋3)2－25＝0.三、读一读小张和小林一起解方程x（3x＋2）－6(3x＋2)＝0.小张将方程左边分解因式，得(3x＋2)(x－6)＝0,所以3x＋2＝0,或x－6＝0.方程的两个解为x1＝32，x2＝6.小林的解法是这样的：移项，得x(3x＋2)＝6(3x＋2),方程两边都除以（3x+2），得x＝6.小林说:“我的方法多简便！”可另一个解x1＝32哪里去了？小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？四、讨论、探索：解下列方程（1）(x+2)2=3(x+2)（2）2y(y-3)=9-3y（3）(x-2)2-x+2=0（4）(2x+1)2=(x-1)2（5）49122xx。练习：解下列方程1)2(x+3)2=6(x+3)2)(2x+3)2=(4-2x)23)x(3x+1)=9x+3本课小结这节课你学到了什么？你认为应该注意哪些？布置作业：习题1（5、6）习题2（1、2）课后反思：23.2.2一元二次方程的解法（因式分解法）◆随堂检测1.一元二次方程230xx的解是_____.A.3xB.120,3xxC.120,3xxD.3x2.方程2(3)5(3)xxx的根是_____.A.52xB.3xC.125,32xxD.52x3.当a______时，22410xxa是关于x的完全平方式.4.下列方程中，不适合用因式分解法的是_____.A.2210xxB.2210xxC.2430xxD.240x◆典例分析用因式分解法解方程：222()8()120xxxx解：22(6)(2)0xxxx，(3)(2)(2)(1)0xxxx，则30202010xxxx或或或，所以12343,2,2,1xxxx。●拓展提高1.用因式分解法解下列一元二次方程（1）23(4)28xx（2）2(23)810x（3）23630xx（4）2320xx2.已知方程220xmxm的一个根为-1，那么方程260xmx的根为_____A.2xB.0xC.122,0xxD.以上答案都不对3.如果2231040aab，则ab的值为__________________.4.以1和—3为两根的一元二次方程是______________.5.用因式分解法解下列方程。（1）22(21)(12)0xx（2）2(21)(3)(1)xxx6.已知2246130xxyy，求22xy的值。23.2.3一元二次方程的解法（三）配方法学习目标：1、熟练掌握完全平方公式，会将一个二次三项式配成一个完全平方2、理解配方法的根据就是直接开平方。3、会用配方法解一元二次方程。注意变形形式的求解学习过程：一、复习回顾：12999.com1、若x2=a(a≥0)，则x=_______.若（x+1）2=a(a≥0)，则x=_______，即x1＝_______，x2＝________.直接开平方法解一元二次方程要求方程左边是一个含有未知数的，右边是一个。2、解方程：（1）、23270x（2）、2(3)25x3、思考下面方程如何求解，并思考它们之间的联系（1）、26925xx（2）、2616xx二、新课研讨：1、象上面的方程求解，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方法是为了，把一个一元二次方程转化为两个来解。2、配方法是将方程左边变成含有未知数的，右边是，再用直接开平方法求解。3、例1、在空格处填上适当的数字，使式子成为完全平方。（1）、26xx+=(x）2；（2）、2x++25=(x）2（3）、236xx+=3(x）2（4）、223xx+=2(x）2练习1、填空配方代数式写成222xxyy形式xy写成2()xy形式28xx+22244xxx42(4)x23bb25xx232mm223yy2xax总结：（1）、2xax要配成完全平方，横线上只需加上，就可以配成完全平方(x）2（2）、对于二次项系数不为1的情况，可以先将系数变为1，再进行配方。例2、解下列方程（1）、2810xx（2）、2213xx（3）、23640xx练习2、（1）、21090xx（2）、2704xx（3）、23640xx（4）、24630xx（5）、249211xxx（6）、(4)812xxx作业：课后反思：23.2.3一元二次方程的解法（配方法）练习◆随堂检测1.将一元二次方程2650xx化成2()xab的形式，则b等于_____.A.-4B.4C.-14D.142.22_____(___)nxxxm.3.二次三项式271xx的最小值为______.4.若方程20xpxq可化为213()24x，则p=_____，q=______.5.方程2237yy配方后得272()4y=_________.◆课下作业6.当x=______时，2362xx有最大值，这个最大值是_______.7.如果a、b、c是△ABC的三边，且满足式子222222abcabbc，请指出△ABC的形状，并给出论证过程.8.说明代数式2241xx总大于224xx.9.用配方法解下列方程（1）2312210xx（2）(2)(3)1xx（3）2(1)(1)12xx●体验中考1.（2009年山西太原）用配方法解方程2250xx时，原方程应变形为（）A．216xB．216xC．229xD．229x2.（2009年湖北仙桃）解方程：2420xx．3.（2008杭州）已知方程260xxq可以配成2()7xp的形式，那么262xxq可以配成下列的_____A.2()5xpB.2()9xpC.2(2)9xpD.(2)5xp23.2.4一元二次方程的解法(四)教学目标1、使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。2、使学生经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力。3、在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，渗透辩证唯物广义观点。研讨过程一、复习旧知，提出问题1.用配方法解下列方程：（1）xx10152(2)2131203xx2.用配方解一元二次方程的步骤是什么？3.用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？二、探索解法问题1：能否用