第2章2-5对数函数

第2章2-5对数函数一、知识梳理1．对数的概念(1)对数的定义如果，那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数．(2)几种常见对数2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质(a0且a≠1)：①loga1＝；②logaa＝；③alogaN＝；④logaaN＝(2)对数的重要公式：①换底公式：___________________②1loglogabba，推广logloglogabcbcd_____(3)对数的运算法则：如果a0且a≠1，M0，N0，那么①loga(M·N)＝；②logaMN＝；③logaMn＝(n∈R)；④logamMn＝____logaM.3．对数函数的图象与性质对数形式特点记法一般对数底数为a(a0且a≠1)常用对数底数为自然对数底数为函数log(01)ayxaa且思考：如何确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系？4．反函数指数函数y＝ax与对数函数logayx的图象关于直线对称．二、考点自测1．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么12x=()A.13B.36C.24D.332．已知3a＝5b＝A，且1a＋1b＝2，则A的值是()A．15B.15C．±15D．2253．若x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝2lnx，c＝ln3x，则()A．abcB．cabC．bacD．bca4．若f(x)＝logax在[2，＋∞)上恒有f(x)1，则实数a的取值范围是()A．(12，1)B．(0，12)∪(1,2)C．(1,2)D．(0，12)∪(2，＋∞)5．已知log23＝a，log37＝b，试用a，b表示log1456.图象a10a1图象特征在x轴，过定点当x逐渐增大时，图象逐渐上升当x逐渐增大时，图象逐渐下降性质定义域(1)定义域：值域(2)值域：定点(3)当x＝1时，y＝0，即过定点()(4)当01x时，y______当1x时，y______(4)当01x时，y______当1x时，y______单调性(5)在(0，＋∞)上为______(5)在(0，＋∞)上为__________三、热点探究例1(1)化简：lg2＋lg5－lg8lg50－lg40；(2)化简：0.53log42；(3)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值．变式迁移1(1)计算：2(lg2)2＋lg2·lg5＋(lg2)2－2lg2＋1.(2)计算0.53log42(3)已知10a＝2,10b＝3，求1002a－b的值．热点二、对数函数的图象及其应用例2．(1)函数y＝lgcosx(－π2xπ2)的图象是()(2)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a0，a≠1)的图象如右图所示，则a，b满足的关系是()A．101abB．101baC．101baD．1101ab变式迁移2为了得到函数y＝lgx＋310的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点()A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度热点二、对数函数的图象及其应用例3．(1)设f(x)＝lg(21－x＋a)是奇函数，则使f(x)0的x的取值范围是()A．(－1,0)B．(0,1)C．(－∞，0)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)(2)设a，b，c均为正数，且2a＝log12a，(12)b＝log12b，(12)c＝log2c，则()A．abcB．cbaC．cabD．bac变式迁移3(1)函数y＝log12(x2－5x＋6)的单调增区间为()A．(52，＋∞)B．(3，＋∞)C．(－∞，52)D．(－∞，2)(2)设a1，且m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a－1)，p＝loga(2a)，则m，n，p的大小关系为()A．nmpB．mpnC．mnpD．pmn四、课时作业一、选择题1．当0a1时，函数①y＝a|x|与函数②y＝loga|x|在区间(－∞，0)上的单调性为()A．都是增函数B．都是减函数C．①是增函数，②是减函数D．①是减函数，②是增函数2．函数f(x)＝ax＋logax在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为－14，最大值与最小值之积为－38，则a等于()A．2B.12C．2或12D.233．已知函数f(x)＝lg(x＋1)，用h(t)替换x，那么不改变函数f(x)的值域的替换是()A．h(t)＝t2B．h(t)＝2t－2C．h(t)＝sintD．h(t)＝1t4．设a1，若对于任意的x∈[a,2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax＋logay＝3，这时a的取值的集合为()A．{a|1a≤2}B．{a|a≥2}C．{a|2≤a≤3}D．{2,3}二、填空题5．函数y＝log3(x2－2x)的单调减区间是________．6．已知f(3x)＝4xlog23＋233，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)的值等于________．三、解答题7．对于正实数a，函数y＝x＋ax在(34，＋∞)上为增函数，求函数f(x)＝loga(3x2－4x)的单调递减区间．8．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；(2)设g(x)＝log4(a·2x－43a)，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．[高考·模拟·预测]1．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(a，a)，则f(x)＝()A．log2xB.12xC．log12xD．x22．若不等式x2－x≤0的解集为M，函数f(x)＝ln(1－|x|)的定义域为N，则M∩N为()A．[0,1)B．(0,1)C．[0,1]D．(－1,0]3．设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则()A．abcB．acbC．bacD．bca4．若log2a0，(12)b1，则()A．a1，b0B．a1，b0C．0a1，b0D．0a1，b05．已知：f(x)＝lg(ax－bx)(a1b0)．(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)在其定义域内的单调性；(3)若f(x)在(1，＋∞)内恒为正，试比较a－b与1的大小．1．解析：①②均为偶函数，且0a1，x0时，y＝a|x|为减函数，y＝loga|x|为减函数，当x0时，①②均是增函数．答案：A2．解析：ax与logax具有相同的单调性，最大值与最小值在区间的端点处取得，f(1)＋f(2)＝－14，f(1)·f(2)＝－38，解得a＝12，选B.3．解析：原函数f(x)＝lg(x＋1)的值域是R，用h(t)替换x后，要使f(x)的值域不变，应使h(t)＋1能够取遍所有正数，只有h(t)＝2t－2符合题意，故选B.4．解析：由logax＋logay＝3，得loga(xy)＝3，即y＝a3x，∵a1且x0，∴y＝a3x在x∈[a,2a]上单调递减，∴ymax＝f(a)＝a3a＝a2，ymin＝f(2a)＝a32a＝a22，由题意，得a22≥a，a1得a≥2.故选B.5．解析：令u＝x2－2x，则y＝log3u.∵y＝log3u是增函数，u＝x2－2x0的减区间是(－∞，0)，∴y＝log3(x2－2x)的减区间是(－∞，0)．答案：(－∞，0)6．解析：令3x＝t，∴x＝log3t，∴f(t)＝4log23·log3t＋233，即f(t)＝4log2t＋233，∴f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝4(log22＋log24＋log28＋…＋log228)＋8×233＝4·log22·22·23…28＋8×233＝4·log2236＋1864.＝4×36＋1864＝2008.7．解：∵y＝x＋ax在(34，＋∞)上为增函数，∴34x1x2时y1y2，即x1＋ax1－x2－ax2＝(x1－x2)(x1x2－a)x1x20⇒x1x2－a0⇒ax1x2，∴a≤916恒成立，f(x)＝loga(3x2－4x)的定义域为(－∞，0)∪(43，＋∞)，而0a≤9161，∴f(x)与g(x)＝3x2－4x在(－∞，0)，(43，＋∞)上的单调性相反，∴f(x)的单调递减区间为(43，＋∞)．8．解：(1)由函数f(x)是偶函数可知：f(x)＝f(－x)，∴log4(4x＋1)＋kx＝log4(4－x＋1)－kx，log44x＋14－x＋1＝－2kx，即x＝－2kx对一切x∈R恒成立，∴k＝－12.(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log4(4x＋1)－12x＝log4(a·2x－43a)有且只有一个实根，化简得：方程2x＋12x＝a·2x－43a有且只有一个实根，令t＝2x0，则方程(a－1)t2－43at－1＝0有且只有一个正根，①a＝1⇒t＝－34，不合题意；②Δ＝0⇒a＝34或－3，若a＝34⇒t＝－2，不合题意；若a＝－3⇒t＝12；③一个正根与一个负根，即－1a－10⇒a1.综上：实数a的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．[高考·模拟·预测]1．解析：由题意f(x)＝logax，∴a＝logaa12＝12，∴f(x)＝log12x.故选C.2．解析：由题意得M＝[0,1]，N＝(－1,1)，则M∩N＝[0,1)．故选A.3．解析：a＝log3π1，b＝log23＝12log23∈(12，1)，c＝log32＝12log32∈(0，12)，故有abc.4．解析：由log2a0⇒0a1，由(12)b1⇒b0，故选D.5．解：(1)由ax－bx0，∴(ab)x1.∵ab1，∴x0，∴f(x)的定义域为(0，＋∞)．(2)设x2x10，∵a1b0，∴ax2ax1，bx1bx2，－bx2－bx1，∴ax2－bx2ax1－bx10，∴ax2－bx2ax1－bx11，∴f(x2)－f(x1)0，∴f(x)在(0，＋∞)内是增函数．(3)当x∈(1，＋∞)时，f(x)f(1)，要使f(x)0，须f(1)≥0，∴a－b≥1.