第2章习题解b

2-12一个三级火箭，各级质量如下表所示，不考虑重力，火箭的初速为0．级别发射总质量燃料质量燃料外壳质量一级60t40t10t二级10t20/3t7/3t三级11t2/3t(1)若燃料相对于火箭喷出速率为u=2500m/s，每级燃料外壳在燃料用完时将脱离火箭主体。设外壳脱离主体时相对于主体的速度为0，只有当下一级火箭发动后，才将上一级的外壳甩在后边。求第三级火箭的最终速率；(2)若把48t燃料放在12t的外壳里组成一级火箭，问火箭最终速率是多少。解:(1)p.50的(2.10)式可写成vvmmmmcvvmdmcdv0000ln对第一级火箭:3ln2500406060ln2500ln01mmcv.对第二级火箭:3ln50003/201010ln250012vv.对第三级火箭:smvv/6.82393ln75003/211ln250023.(2)smv/6.40235ln2500486060ln2500.2-13一宇宙飞船以恒速v在空间飞行，飞行过程中遇到一股微尘粒子流，后者以dm/dt的速率沉积在飞船上。尘粒在落到飞船之前的速度为u，方向与v相反，在时刻t飞船的总质量为M(t)，试问：要保持飞船匀速飞行，需要多大的力？解:由动量定理得:])([)]()([dmuvtMvdvdmtMPPdtFdmudvvdtM)()(两边求导得:FdtdmuvdtvdtM)()(.∵要求飞船匀速,即0dtvd,uv与的方向相反,以v为正向,则dtdmuvF)(，即dtdmuvF)(为向前的推力（此式的v、u为绝对值）.2-14一水平传送带将沙子从一处运送到另一处，沙子经一垂直的静止漏斗落到传送带上，传送带以恒定速率v运动着(见本题图)。忽略机件各部位的摩擦。若沙子落到传送带上的速率是dm／dt，试问：(1)要保持传送带以恒定速率v运动，水平总推力F多大？(2)若整个装置是：漏斗中的沙子落进以匀v在平直光滑轨道上运动的货车里(见本题图b)，以上问题的答案改变吗？解:(1)在水平方向上,由动量定理得:Fdtvdmmdvmvdvvdmm))((，两边求导得dtdmvdtdvmF.即要求传送带以匀速运动时,水平总推力为dtdmvF(向前)(2)光滑水平直轨道上,若没有沙子漏入,则只启动时用力,以后不用力,车子以匀速v前进.现在沙子进来,也要保持匀速,便需用力了.因为车子越来越重,用力公式同上；即沙子持续进来,便要持续施力dtdmvF,问题的答案不改变.2-15一质量为m的质点在x-y平面上运动，其位矢为r=acosti+bsintj，求质点受力的情况。解:tbytaxsin,cos,轨迹为12222byax的椭圆.又jtbitajdtdyidtdxvsinsin，rjtbitadtvda222sincos.质点受力rmamf2，恒指向原点.2-16如本题图所示，一质量为mA的木块A放在光滑的水平桌面上，A上放置质量为mB的另一木块B，A与B之间的摩擦系数为，现施水平力推A，问推力至少为多大时才能使A、B之间发生相对运动。解:对B:0gmNB,NamfBBr；得gmaBB.对A:AABramgmFfF,得ABAmgmFa.当BAaa时,A,B之间发生相对运动,即要求gmmFBA)(.2-17如本题图所示，质量为m2的三角形木块，放在光滑的水平面上，另一质量为m1的立方木块放在斜面上。如果接触面的摩擦可以忽略，两物体的加速度各若干？解:对m1:gmNamNamyx1211211cossin,对m2:0cossin222122222yyxagmNNamNam;又由运动学关系:211'aaa,xxyyxyaaaaaa212111''tan,解得tgaaaxxy)(211;代入运算最后得cossinN,sinN2122122212211mmgmmgmmmmm;ctgmtgmmgtgmmmmgmmactgmtgmmgmmmgmayx221212212211221221221)()(sinsin)()(sincossin0)(sincossin2221121212yxactgmtgmmgmmmgma2-18在桌上有一质量m1的木板。板上放一质量为m2的物体。设板与桌面间的摩擦系数为1，物体与板面间的摩擦系数为2，欲将木板从物体下抽出，至少要用多大的力？解:,111NfgmmN)(211;,222NfgmN22.又2121amffF,222amf,且要求21aa;由此得gmmF))((2121.2-19设斜面的倾角是可以改变的，而底边不变。求(1)若摩擦系数为，写出物体自斜面顶端从静止滑到底端的时间，与倾角的关系，(2)若斜面倾角1=60与2=45时，物体下滑的时间间隔相同，求摩擦系数．解:(1)摩擦力cosmgNf,由运动方程mafmgsin,得)cos(singa.此外由221cosatdS,可得21])cos(sincos2[gdt.(2)又由2121])45cos45(sin45cos2[])60cos60(sin60cos2[gdgd,可得268.03221412121232145cos60cos45sin45cos60sin60cos222-20本题图中各悬挂物体的质量分别为：m1=3.0kg,m2=2.0kg,m3=1.0kg．求m1下降的加速度。忽略悬挂线和滑轮的质量、轴承摩擦和阻力，线不可伸长。解:各悬挂物体的运动方程分别为：1121112amTgmTgm,2222amTgm,3332amgmT;运动学关系:12'aaa,13'aaa（其中a’为m2,m3相对于滑轮的加违度）;由此可得:232321323211/58.0124)12(3124)12(34)(4)(smggmmmmmmmmmma.2-21在本题图所示装置中，m1与m2及m2与斜面之间的摩擦系数都为，设m1m2，斜面的倾角可以变动。求至少为多大时m1、m2才开始运动。略去滑轮和线的质量及轴承的摩擦，线不可伸长。解:m2、m2和斜面之间的摩擦力分别为cos111gmNf,cos)(2122gmmNf;m2、m2的运动方程为Tfgmam111sin,ffgmTam122sin.由此可解出gmmmmmma212121)3(sin)(要求m2、m2开始运动，相当于要求0a;由上式可得21213mmmmtg.2-22如本题图所示装置，已知质量m1、m2和m3，设所有表面都是光滑的，略去绳和滑轮质量和轴承摩擦。求施加多大水平力F才能使m3不升不降。解:运动方程为ammmF)(321,amT2,03Tgm;由此可得gmmmmmF)(32123.