沈阳市普通高中2015届高三质量监测(二)数学【理】试题及答案

1沈阳市普通高中2015届高三质量监测（二）数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.注意事项：1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.第Ⅰ卷一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1.已知集合{11}Axx≤≤，2{20}Bxxx≤，则ABA.[1,0]B.[1,2]C.[0,1]D.(,1][2,)2.设复数1zi（i是虚数单位），则22zz=A.1iB.1iC.1iD.1i3.已知1,2ab，且()aab，则向量a与向量b的夹角为A.6B.4C.3D.234.已知ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，若222abcbc，4bc，则ABC的面积为A.12B.1C.3D.25.已知2,0,1,3,4a，1,2b，则函数6.2()(2)fxaxb为增函数的概率是A.25B.35C.12D.3107.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序.若输出的S为1112，则判断框中填写的内容可以是A.6nB.6nC.6n≤D.8n≤8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为A.323B.64C.3233D.64329.在平面直角坐标系中，若(,)Pxy满足44021005220xyxyxy≤≤≥，则2xy的最大值是A.2B.8C.14D.1610.已知直线22(1)yx与抛物线:Cxy42交于BA,两点，点),1(mM，若0MBMA，则mA.2B.22C.21D.011.对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()fx称为M函数：(i)对任意的[0,1]x，恒有()0fx≥；(ii)当12120,0,1xxxx≥≥≤时，总有1212()()()fxfxfxx≥成立.则下列四个函数中不．是M函数的个数是①2()fxx②2()1fxx③2()ln(1)fxx④()21xfxA.1B.2C.3D.412.已知双曲线22221(0,0)xyabab与函数yx的图象交于点P，若函数yx的图象在点P处的切线过双曲线左焦点(1,0)F，则双曲线的离心率是A.512B.522C.312D.3213.若对,[0,)xy，不等式2242xyxyaxee≤恒成立，则实数a的最大值是A.14B.1C.2D.12第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).14.函数13sincos22yxx([0,]2x)的单调递增区间是__________.15.61()2xx的展开式中常数项为__________.316.已知定义在R上的偶函数()fx在[0,)上单调递增，且(1)0f，则不等式0(2)fx≥的解集是__________.17.底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥.已知同底的两个正三棱锥内接于同一个球.已知两个正三棱锥的底面边长为a，球的半径为R.设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为、，则tan()的值是.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.18.(本小题满分12分)已知数列{}na中，11a，其前n项的和为nS，且满足2221nnnSaS2()n≥.⑴求证：数列1nS是等差数列；⑵证明：当2n≥时，1231113...232nSSSSn.19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点,EF分别为AB和PD中点.⑴求证：直线AF//平面PEC；⑵求PC与平面PAB所成角的正弦值.20.(本小题满分12分)某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：学生1号2号3号4号5号甲班65798乙班48977⑴从统计数据看，甲、乙两个班哪个班成绩更稳定（用数字特征说明）；⑵若把上表数据作为学生投篮命中率，规定两个班级的1号和2号同学分别代表自己的班级参加比赛，每人投篮一次，将甲、乙两个班两名同学投中的次数之和分别记作X和Y，试求X和Y的分布列和数学期望.21.(本小题满分12分)已知椭圆C:22221(0)xyabab的上顶点为(0,1)，且离心率为32.⑴求椭圆C的方程；⑵证明：过椭圆1C:22221(0)xymnmn上一点00(,)Qxy的切线方程为00221xxyymn；⑶从圆2216xy上一点P向椭圆C引两条切线，切点分别为,AB，当直线AB分别与x轴、y轴交于M、N两点时，求MN的最小值.22.(本小题满分12分)定义在R上的函数()fx满足222(1)()2(0)2xffxexfx，FEBDCAP421()()(1)24xgxfxaxa.⑴求函数()fx的解析式；⑵求函数()gx的单调区间；⑶如果s、t、r满足||||srtr≤，那么称s比t更靠近r.当2a≥且1x≥时，试比较ex和1xea哪个更靠近lnx，并说明理由.请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.23.(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图所示，AB为圆O的直径，CB，CD为圆O的切线，B，D为切点.⑴求证：OCAD//；⑵若圆O的半径为2，求OCAD的值.24.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为sin24cos23yx（为参数）.⑴以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；⑵已知(2,0),(0,2)AB，圆C上任意一点),(yxM，求ABM面积的最大值.25.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲⑴已知,ab都是正数，且ab，求证：3322ababab；⑵已知,,abc都是正数，求证：222222abbccaabcabc≥.5数学(理科)参考答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1.C2.A3.B4.C5.B6.C7.D8.C9.B10.A11.A12.D.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13.[0,]614.5215.(,1][3,)16.433Ra三、解答题1.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查有关于数列的基础知识，其中包括数列基本量的求取，数列前n项和的求取，以及利用放缩法解决数列不等式问题，虽存在着一定的难度，但是与高考考查目标相配合，属于一道中档题，对考生的运算求解能力，化归与转化能力提出一定要求.【试题解析】解：（1）当2n时，21221nnnnSSSS，112nnnnSSSS1112nnSS，从而1nS构成以1为首项，2为公差的等差数列.(6分)（2）由（1）可知，111(1)221nnnSS，121nSn当2n时，11111111()(21)(22)2(1)21nSnnnnnnnnn从而123111111111313...1(1)2322231222nSSSSnnnn.(12分)2.【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、线面角的求法及空间向量在立体几何中的应用.本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.【试题解析】解：（1）证明：作FM∥CD交PC于M.∵点F为PD中点，∴CDFM21.∴FMABAE21，∴AEMF为平行四边形，∴AF∥EM，∵AFPECEMPEC平面，平面，∴直线AF//平面PEC.(6分)MFEBACDP6（2）60DAB，DEDC如图所示，建立坐标系，则P(0，0，1)，C(0，1，0)，E(32，0，0)，A(32，12，0)，31(,,0)22B∴31(,,1)22AP，0,1,0AB.设平面PAB的一个法向量为,,nxyz.∵0nAB，0nAP，∴310220xyzy，取1x，则32z，∴平面PAB的一个法向量为3(1,0,)2n.∵(0,1,1)PC，∴设向量nPC与所成角为，∴3422cos14724nPCnPC，∴PC平面PAB所成角的正弦值为4214.(12分)3.【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，其中包括方差的求法、基本概率的应用以及离散型随机变量的数学期望的求法.本题主要考查学生的数据处理能力.【试题解析】解：（1）两个班数据的平均值都为7，甲班的方差22222216-7+-7+-7+-7+-7=25s（）（5）（7）（9）（8），乙班的方差2222222-7+-7+-7+-7+-714=55s（4）（8）（9）（7）（7），因为2212ss，甲班的方差较小，所以甲班的成绩比较稳定.4分（2）X可能取0，1，2211(0)525PX，31211(1)52522PX，313(2)5210PX，所以X分布列为：X012P15123106分数学期望11311012521010EX8分FEBACDyzxP7Y可能取0，1，2313(0)5525PY，342114(1)555525PY，248(2)5525PY，所以Y分布列为：Y012P325142582510分数学期望314860122525255EY.12分4.【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆标准方程的求取，直线与圆锥曲线的相关知识以及圆锥曲线中最值的求取.本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.【试题解析】解：（1）1b，3=2cea，2,1ab，椭圆C方程为2214xy.2分（2）法一：椭圆1C:22221xymn，当0y时，221xynm，故22211nxymxm，当00y时，200022220002111xnnnkxxymmmyxnm.4分切线方程为200020xnyyxxmy，222222220000nxxmyymynxmn，00221xxyymn.6分同理可证，00y时，切线方程也为