电路关于向量法的研究

内蒙古师范大学本科生学年论文题目：相量法在电路中的应用分析学号：20101106316姓名：王菲菲专业：电子信息科学与技术指导教师：张珏2011年5月15日物理与电子信息学院学年论文2相量法在电路中的应用分析王菲菲（学号：20101106316）（物理与电子信息学院10级电子信息科学与技术班,内蒙古呼和浩特010022）指导老师：张珏摘要：在线性电路的分析中，有很多问题是求电路的稳态解。相量分析法就是为了简化正弦稳态电路的分析计算而引入的一种电路求解方法。相量分析法不仅适用于本章只有一种频率的正弦交流电路的分析与计算，同时，它也可推广应用于多个不同频率的正弦激励的线性电路。关键词：相量分析法；欧姆定律；复功率；复数；正弦中图分类号：TM131.4相量分析法的数学基础是复数运算，因此在研究相量分析法之前，应简要复习复数的概念及其运算法则，并且熟练掌握复数的代数形式、极坐标形式、指数形式之间的变换关系，为应用相量法分析和计算正弦稳态电路打下坚实的基础。1复数的概念1.1虚数单位参见图1给出的直角坐标系复数平面。在这个复数平面上定义虚数单位为虚数单位j又叫做90°旋转因子。向量法在电路中的应用分析3图1在复平面上显示复数1.2复数的表达式一个复数Z有以下四种表达式：1.2.1直角坐标式(代数式)式中，a叫做复数Z的实部，b叫做复数Z的虚部。在直角坐标系中，以横坐标为实数轴，纵坐标为虚数轴，这样构成的平面叫做复平面。任意一个复数都可以在复平面上表示出来。例如复数A=3+j2在复平面上的表示如图1所示。1.2.2三角函数式在图1中，复数Z与x轴的夹角为θ，因此可以写成式中|Z|叫做复数Z的模，又称为Z的绝对值，也可用r表示，即：θ叫作复数Z的辐角，从图1中可以看出复数Z的实部a、虚部b与模|Z|构成一个直角三角形。1.2.3指数式利用欧拉公式，可以把三角函数式的复数改写成指数式，即1.2.4极坐标式(相量式)复数的指数式还可以改写成极坐标式，即以上这四种表达式是可以相互转换的，即可以从任一个式子导出其它三种式子。例1.将下列复数改写成极坐标式：(1)Z1=2；(2)Z2=j5；(3)Z3=−j9；(4)Z4=−10；(5)Z5=3+j4；(6)Z6=8−j6；(7)Z7=−6+j8；(8)Z8=−8−j6。解：利用关系式物理与电子信息学院学年论文4计算如下：2复数运算法则复数加、减运算时应用代数形式进行；复数乘除运算时应用极坐标形式进行。复数运算中要特别注意正确判断复数的幅角在第几象限。复数代数形式化为极坐标形式时的转换公式为：2221aaa和12aaarctg正弦量可以用复数表示，即可用振幅相量或有效值相量表示，但通常用有效值相量表示。其表示方法是用正弦量的有效值作为复数相量的模、用初相角作为复数相量的辐角。正弦电流i=Imsin(ωt+ϕi)的相量表达式为正弦电压u=Umsin(ωt+ϕu)的相量表达式为例2.已知：复数A=17/24°和B=6/－65°，试求A＋B，A－B，A×B和A÷B。解析：A＝17/24°≈15.5＋j6.91B＝6/－65°≈2.54－j5.44A＋B＝（15.5＋2.54）＋j（6.91－5.44）＝18.04＋j1.47A－B＝（15.5－2.54）＋j[6.91－（－5.44）]＝12.96＋j12.35A×B＝17/24°×6/－65°＝17×6/24°＋(－65°)＝102/－41°A÷B＝17/24°÷6/－65°＝17÷6/24°－(－65°)≈2.83/89°向量法在电路中的应用分析53复数形式的欧姆定律复阻抗复数形式的电阻和电抗称为复阻抗。相量分析法中的复阻抗的模对应正弦交流电路中的电阻和电抗，例如单一电阻元件电路的复阻抗为R，是一个只有实部没有虚部的复数；单一电感元件电路的复阻抗是jXL，是没有实部，只有正值虚部的复数；单一电容元件电路的复阻抗是－jXC，是没有实部，只有负值虚部的复数。依此类推可得：RL串联电路的复阻抗为：R+jXL；RLC串联电路的复阻抗为：R+j（XL－XC）。复阻抗的模值对应正弦交流电路的阻抗；复阻抗的幅角对应正弦交流电路中电压与电流的相位差角。定义复阻抗为其中为阻抗大小，ϕ=ϕu−ϕi为阻抗角，即电压u与电流i的相位差。则复数形式的欧姆定律为或图2所示为复数形式的欧姆定律的示意图。图2复数形式的欧姆定律即：（1）求正弦稳态解是求微分方程的特解，应用相量法将该问题转化为求解复数代数方程问题。（2）引入相量运算电路，不必列写时域微分方程，而直接列写代数方程。（3）引入阻抗以后，可将所有网络定理和方法都应用于交流，直流（f=0)是一个特例。3电阻、电感和电容的复阻抗3.1电阻R的复阻抗物理与电子信息学院学年论文63.2电感L的复阻抗3.3电容C的复阻抗具体分析一下R、L、C串联电路：Z=R+j(wL-1/wC)=|Z|∠jwL1/wC，X0，j0，电路为感性，电压领先电流；wL1/wC，X0，j0，电路为容性，电压落后电流；wL=1/wC，X=0，j=0，电路为电阻性，电压与电流同相。画相量图：选电流为参考向量(wL1/wC)三角形UR、UX、U称为电压三角形，它和阻抗三角形相似。即电阻、电感和电容并联的电路Y=G+j(wC-1/wL)=|Y|∠jwC1/wL，B0，j'0，电路为容性，i领先u；wC1/wL，B0，j'0，电路为感性，i落后u；wC=1/wL，B=0，j=0，电路为电阻性，i与u同相。画相量图：选电压为参考向量(wC1/wL，0)UX22XRUUUULUCUIRU向量法在电路中的应用分析7例3.把下列正弦量表示为有效值相量：（1）)45sin(10tiA（2）)90sin(2220tuV（3）)30cos(2220tuV解析：V60/2203V90/2202A45/07.71UUI）（）（）（4相量分析法4.1相量分析法需要把握的要点当把一个正弦交流电路的所有变量都用相量来表示，电路中各元件的阻抗均化为复数表示的阻抗形式（简称为复阻抗），则任何一个正弦交流稳态电路的响应都可以采用前面所介绍的、直流电路中应用的定理、定律和分析法进行求解，这就是相量分析法。利用相量法分析来计算正弦交流电路，能将复杂的三角运算变换成较为简单的复数的代数运算。学习相量分析法，作好相量图是分析解决问题的关键环节，也是一种基本的技能训练。在正弦稳态电路的分析中，利用相量图的帮助来分析和解决实际问题的例子很多，相量图不仅能形象地表征出电路中各量间的数量和相位关系，有时通过对相量图能把隐含的问题浅显化，藉助相量图往往可以方便地定性分析电路中的某些特性，使复杂问题从相量图的分析中显示的一目了然，甚至能够起着四两拨千斤的效果。4.2RLC串联电路的相量模型分析相量分析法中，借助相量图分析电路很关键。相量图的画法，可根据具体问题的不同，选择合适的一个电路变量作为参考相量，串联电路的参考相量一般选用电流相量，再根据各元件上电压与电流的相位关系定性地画出各电压，各电压比例尺应相同，由这样的相量图可把各元件电压之间的相位关系和数量关系、各电压与电流之间的相位关系一目了然。注意相量图分析中只有电压三角形是相量图，阻抗三角形不是相量图，它只反映了各元件参数的数量关系。4.3RLC并联电路的相量模型分析正弦并联电路采用相量分析法解题时，一般选取电压为电路的参考相量。然后根据R、L、C单个元件上的电压、电流关系，确定电路中其余变量的相量与参考相量之间的对ULI.IGI.'CI.2222)(CLGBGIIIIII物理与电子信息学院学年论文8应关系；最后运用矢量图遵循的平行四边形法则或多角形法则，定性地画出电路的相量图，根据相量图分析各参数之间的关系，依据电路方程求出电路响应。例4.一个110V、60W的白炽灯接到50Hz、220V正弦电源上，可以用一个电阻、或一个电感、或一个电容和它串联。试分别求所需的R、L、C的值。如果换接到220V直流电源上，这三种情况的后果分别如何？解析：这盏白炽灯的灯丝电阻为20260110'22PUR把它接在50Hz、220V正弦电源上和一个电阻相串联时，所串联电阻的阻值应与灯丝电阻相同，即R=202Ω；换接在直流上时情况不变。白炽灯在50Hz、220V正弦电源上和一个电感相串联时，其电感的数值为V191110220A545.01106022LNNUUPIH113.1314545.0191LIUL白炽灯在50Hz、220V正弦电源上和一个电容相串联时，其电容的电容量为F09.9314191545.0V19111022022CUICU5复功率5．1复功率本章在对正弦交流电路的功率进行讨论时，引入了复功率的概念，复功率的实部在数值上等于电路中的有功功率P，复功率的虚部在数值等于电路的无功功率Q，复功率的模值等于正弦交流电路中的视在功率S。要注意的是，电路中各个元件上的有功功率可以相加，无功功率可以相加减，但电路各部分的视在功率一般不能直接相加减，其中原因由读者自己考虑。5.2功率因数的提高由对功率的讨论我们引入了提高功率因数的问题。提高功率因数是指提高线路总电压与总电流之间的相位差的余弦值。应明确，用并联电容法提高功率因数，对感性负载本身的功率因数是没有影响的，提高的是我们所研究的整个二端网络的功率因数。例5.电路如图所示。已知电容C=0.1μF，输入电压U1=5V，f=50Hz，若使输出电压U2滞后输入电压60°，问电路中电阻应为多大？解：根据电路图可画出相量示意图如图所示，由相量图中的电压三角形又可导出阻抗三角形，由阻抗三角形可得向量法在电路中的应用分析9551655773.0318473030318471.0314101CC6CtgXRRXtgCX电路中电阻约为55KΩ。因此引入相量的优点是：（1）把时域问题变为复数问题；（2）把微积分方程的运算变为复数方程运算；需要注意的是：（1）相量法实质上是一种变换，通过把正弦量转化为相量，而把时域里正弦稳态分析问题转为频域里复数代数方程问题的分析；（2）相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。（3）相量法用来分析正弦稳态电路。参考文献：[1]于百炼:关于使用向量法计算交流电路的条件[J];电气时代;2002年02期.[2]李仲明:正弦交流电路相量图的绘制[J];继电器;1997年05期.[3]童先军:论相量定义的科学性[J];阜阳师范学院学报(自然科学版);1997年04期.[4]姜运生:张国祥;向量代数在正弦交流电路分析中的应用[J];职大学报;2000年04期.ZI30阻抗三角形RUR60相量图2U2UC11U