泛函分析小论文

泛函分析论文泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学等分科中都有应用，是20世纪发展起来的一门新学科，其中泛函是函数概念的推广，对比函数是数与数之间的对应关系，我们发现泛函是函数和数之间的对应关系。在学习泛函分析前，我们先确定学习目标：理解和掌握“三大空间和三大定理”。学习中慢慢体味泛函分析的综合性及专业性。。§1度量空间§1.1定义：若X是一个非空集合，:dXXR是满足下面条件的实值函数，对于,xyX，有（1）(,)0dxy当且仅当xy；（2）(,)(,)dxydyx；（3）(,)(,)(,)dxydxzdyz，则称d为X上的度量，称(,)Xd为度量空间。【理解】度量空间就是：集合+距离；（满足非负性、对称性及三点不等式）其实度量空间是在实变函数中接触的知识，但其在泛函分析学科中的重要性，我们可以通过度量空间的进一步例子来感受。§1.2度量空间的进一步例子例：1、离散的度量空间(,)Xd，设X是一个非空集合，,xyX，当1,(,)0,=xydxyxy当当。2、序列空间S，i=1i|-|1(,)21+|-|iiiidxy是度量空间3、有界函数全体()BA，(,)sup|(t)-(t)|tAdxyxy是度量空间4、连续函数[a,b]C，(,)max|(t)-(t)|atbdxyxy是度量空间5、空间2l，122=1(,)[(-)]kkidxyyx是度量空间§1.3度量空间中的极限，稠密集，可分空间§1.3.1极限：类似数学分析定义极限，如果nx是(,)Xd中点列，如果xX，使nlim(,)=0ndxx，则称点列nx是(,)Xd中的收敛点列，x是点列nx的极限。同样的类似于nR，度量空间中收敛点列的极限是唯一的。§1.3.2稠密子集与可分空间:设X是度量空间，E和M是X中两个子集，令MMM表示的闭包，如果E,那么称集M在集E中稠密，当E=X时，称M为X的一个稠密子集，如果X有一个可数的稠密子集，则称X是可分空间。即：,,.()nnMExExMstxxn在中稠密对§1.3.3例子1、n维欧氏空间nR是可分空间；2、坐标为有理数的全体是nR的可数稠密子集；3、l是不可分空间。§1.4连续映射§1.4.1定义：设(,),(,),0,X(,)(T,T),ooooXXdYYdTXYxXdxxxdxxTx是两个度量空间，是到中映射，如果对于任意给定的正数，存在正数使对中一切满足的，有则称在连续。§1.4.2证明映射连续性的方法1、定义法2、邻域法：对oTx的每一个—邻域U,必有ox的某个—邻域V使TVU,其中TV表示V在映射T作用下的像。3、极限观点（定理一）：,T()nonoTxxxTxn连续则4、定理二:度量空间X到Y中的映射T是X上连续映射Y中任意开集M的原像1TM是X中的开集。5、定理二（变式）：把“开集”改为“闭集”，定理二仍成立。§1.4.3例题例1、设X,Y,Z为三个度量空间，f是X到Y中的连续映射，g是Y到Z的连续映射，证明复合映射()()=((x))gfxgf是X到Z的连续映射。证明：设G是Z中开集，因g是Y到Z的连续映射,1gG是Y中开集，又因f是X到Y中的连续映射，-11()fgG是X中的开集，即-1(gf)G是X中的开集，即(gf)连续。【分析】此题就是利用定理二来证明的。§1.5柯西点列和完备度量空间§1.5.1定义：设(,)XXd是度量空间，nx是X中点列，如果对0，正整数()NN,使当,nmN时，必有(,)nmdxx，则称nx是X中的柯西点列，如果度量空间(,)Xd中每个点列都在(,)Xd中收敛，那么称(,)Xd是完备的度量空间。§1.5.2相关结论1、Q全体按绝对值距离构成的空间不完备2、柯西点列不一定收敛，但是度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列3、柯西点列一定是有界点列4、定理：完备度量空间X的子空间M是完备空间的充要条件是M为X中的闭子空间。（即完备性关于闭子空间具有可遗传性）【注意】开子空间不完备。例：1、[a,b]C是完备度量空间；2、2l是完备度量空间；3、nR是完备的度量空间；4、实系数多项式全体[,]Pab，[,]Pab作为[a,b]C的子空间不是完备度量空间；§1.6度量空间的完备化定理1（度量空间的完备化定理）：设(,)XXd是度量空间，那么一定存在一完备度量空间(,)XXd，使X与X的某个稠密子空间W等距同构，并且X在等距同构意义下是唯一的，即若(,)Xd也是一万倍度量空间，且X与X的某个稠密空间等距同构，则(,)Xd与(,)Xd等距同构。（其中：若(,)=(,)dTxTydxy，称(,)XXd与(,)Xd等距同构。）定理1可以通过图形象表达定理'1：设(,)XXd是度量空间，那么存在唯一的完备空间(,)XXd，使X为X的稠密子空间。§1.7压缩映射原理及其应用§1.7.1定义：设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果,01，.st,xyX，(,)(,)dTxTydxy，则称T是压缩映射。§1.7.2定理1（压缩映射定理）设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T有且只有一个不动点（就是说，方程Txx，有且只有一个解）。定理2（隐函数存在定理）设函数(,)fxy在带状域,axby中处处连续，且处处有关于y的偏导数'(,)yfxy。如果常数m和()oXx(,)xdW稠密(,)xdV稠密M，满足'0(,),ymfxyMmM，则方程(,)0fxy在区间[,]ab上必有唯一的连续函数()yx作为解：(,())0,[,]fxxxab§1.8线性空间§1.8.1定义：设X是一非空集合，在X中定义了元素的加法运算和实数（或复数）与X中元素的乘法运算，满足下列条件：（一）关于加法：(1)交换律（2）结合律（3）有零元（4）有负元，（二）关于数乘：（1）分配律（2）结合律（3）xX，均有1xx，满足这样性质的集合X称为线性空间。例：1、nR按自身定义的加法和数乘成线性空间2、[a,b]C按自身定义的加法和数乘成线性空间3、空间(0)plp按自身定义的加法和数乘成线性空间§2赋范线性空间§2.1赋范线性空间和巴拿赫空间§2.1.1定义：设X是实（或复）的线性空间，如果对xX，都有确定的一个实数，记为x与之对应，并且满足：1o0x，且0x等价于0x；（非负性）2o||xx其中为任意实（复）数；3o,,xyxyxyX，（三角不等式）则称x为向量x的范数，称X按范数x成为赋范线性空间。注意：1、x是x的连续函数2、||||0(,)0nnxxdxx（诱导距离）§2.2重要结论：1、完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间X是赋范线性空间，且nx是柯西点列。2、要判断一个空间是否为巴拿赫空间，有三点：（1）是否为线性空间（2）是否为赋范线性空间（3）是否完备3、任何有限维赋范线性空间都同维数欧氏空间拓扑同构，相同维数的有限维赋范线性空间彼此拓扑同构。（即拓扑同构范数等价）4、定理1：[,](1)pLabp按范数1(|()|)bpppafftdt成赋范线性空间。定理2：[,](1)pLabp是巴拿赫空间。例题：1、nR按范数221||...||nx成巴拿赫空间2、空间[a,b]C按范数max|()|atbxxt成巴拿赫空间3、空间pl是巴拿赫空间区别与联系：1、任意赋范线性空间都是度量空间2、赋范线性空间是一种特殊的度量空间，当它完备时称之为巴拿赫空间。第八章有界线性算子和连续线性泛函§1有界线性算子和线性泛函的定义§1.1定义：设X和Y是两个同为实（或复）的线性空间，D是X的线性子空间，T为D到Y中的映射，如果对,xyD及数，有()TxyTxTy，()TxTx，则称T为D到Y中的线性算子，其D称为T的定义域，记为()DT，TD称为T的值域，记为()RT，当T取值于实（或复）数域时，就称T为实（或复）线性泛函。例：相似算子、微分算子、乘法算子、积分算子都是线性算子【值得一提】1、在有限维空间上，当基选定后，线性算子与矩阵是相对应的；2、n维线性空间上线性泛函与数组12(,,,)n（向量）相对应。定义：T为赋范线性空间X的子空间()DT到赋范线性空间Y中的线性算子，称0()supxxDTTxTx为算子T在()DT上的范数。定理1：设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y中的线性算子，则T为有界算子的充分必要条件是T为X上的连续算子。这一定理说明，对于线性算子连续性与有界性是两个等价概念。定理2：设X是赋范线性空间，f是X上线性泛函，那么f是X上连续泛函的充要条件为f的零空间()Nf是X中的闭子空间。相关结论：1、若T有界T2、TTxTx3、若T有界TxTx§2有界线性算子空间和共轭空间定义：1、有界算子全体：设X和Y是两个赋范线性空间，我们以()BXY表示由X到Y中有界线性算子。2、共轭空间：设X是赋范线性空间，令'X表示X上连续线性泛函全体所成的空间，称为X的共轭空间。定理1当Y是巴拿赫空间时，()BXY也是巴拿赫空间定理2任何赋范线性空间的共轭空间是巴拿赫空间相关结论：1、1l的共轭空间为l有界序列全体，即1'()ll，但1()'ll2、,,nxXxX且,',nxxfX则()(),nfxfx其中f连续3、设(),()ABZYBBXZ，令()()ABxABx，xX，则AB为线性算子4、(1)plp的共轭空间为ql，其中111pq，'()qpll，当2p时，2'2()ll1122111,+=1)1(),()2(),()3()ppqqpLppqLLLLLLLLLL5、同样，也类似，（（）（）（）6、X是赋范线性空间，则dimX（有限维）X上的任意线性泛函均连续总结：在第七章中，我们只研究一个赋范线性空间X，而在第八章中，就开始研究从一个赋范线性空间X到另一个赋范线性空间Y中的映射——算子，并对两个赋范线性空间构成的有界线性算子全体进行线性运算（加法运算及数乘运算），同样构成赋范线性空间，并使得巴拿赫空间的知识进一步拓展到了有界线性算子全体。总而言之，第七章和第八章的完成了“两大空间“的学习——度量空间和赋范线性空间的学习。应用篇泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科，是从变分问题，积分方程和理论物理的研究发展起来的。它综合运用函数论、几何学、代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数算子和极限理论。泛函分析在数学物理方程等分科中都有应用。线性空间X上的全体有界线性泛函X称为X的共轭空间.现以函数为例,说明共轭空间的重要性.设想在无限长的细棒上有一质量分布，只集中在一点0x处，总质量为1个，也就是说，有一假象密度函数()x，当0x时，()0,x，在0x处，密度为无限大，而密度函数的积分为总质量1：()1xdx，这种函数已超出通常函数概念的框架。函数是由物理学家狄拉克(Dirac)最先引进的,其表示式是-0,0,()()=1,0xxxdxx，这样表示的函数与数学命题=0.fae,则=0f矛盾,因此函数的上述表示一直不能被数学家接受.数学家经过长期的努力,在共轭空间中找到了函数的位置和理论依据.我们来看数学家是怎样定义函数的.对C[-1,1]中任意一个连续函数()ft,对应一个C[-1,1]的泛函1-1()=()()fxftxtdt线性性是显然的,现证其连续性.对任意的C[-1,1],有100-110-1-1110-1()-()|=|()[()()]|max|()()||()|=||-|||()|tfxfxftxtxtdtxtxtftdtxxftdt000,||-||0()()xxxxf