泰勒公式及其应用

泰勒公式及其应用[摘要]文章简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式,针对泰勒公式的应用讨论了九个问题，即应用泰勒公式求极限，证明不等式，判断级数的敛散性，证明根的唯一存在性,判断函数的极值,求初等函数的幂级数展开式,进行近似计算,求高阶导数在某些点的数值,求行列式的值.[关键词]泰勒公式；极限；不等式；敛散性；根的唯一存在性；极值;展开式;近似计算;行列式.１引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明.２预备知识定义2.1]1[若函数f在0x存在n阶导数,则有'''200000()()()()()()1!2!fxfxfxfxxxxx()000()()(())!nnnfxxxoxxn（1）这里))((0nxxo为佩亚诺型余项,称(1)f在点0x的泰勒公式.当0x=0时,（1）式变成)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''nnnxoxnfxfxffxf,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.陕西理工学院毕业论文第1页共10页定义2.2]2[若函数f在0x某邻域内为存在直至1n阶的连续导数,则''()'20000000()()()()()()()...()()2!!nnnfxfxfxfxfxxxxxxxRxn,（2）这里()nRx为拉格朗日余项(1)10()()()(1)!nnnfRxxxn,其中在x与0x之间,称（2）为f在0x的泰勒公式.当0x=0时,（2）式变成''()'2(0)(0)()(0)(0)...()2!!nnnfffxffxxxRxn称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：12)!1(!!21nxnxxnenxxxe.)()!12()1(!5!3sin221253nnnxonxxxxx.24622cos1(1)()2!4!6!(2)!nnnxxxxxoxn.)(1)1(32)1ln(1132nnnxonxxxxx.)(1112nnxoxxxx2!2)1(1)1(xmmmxxm.定理2.1]3[(介值定理)设函数f在闭区间],[ba上连续,且)()(bfaf,若0为介于)(af与)(bf之间的任何实数,则至少存在一点0x),(ba,使得陕西理工学院毕业论文第2页共10页00)(xf.3泰勒公式的应用3.1利用泰勒公式求极限为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出.例3.1求极限2240coslimxxxex.分析：此为00型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cosx和22xe分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解由244cos1()2!4!xxxox,222242()21()22xxxeox得2444422111cos()()()4!22!12xxexoxxOx,于是244244001()cos112limlim12xxxxOxxexx.3.2利用泰勒公式证明不等式当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,往往使证明方便简捷.例3.2当0x时,证明31sin6xxx.证明取31()sin6fxxxx,00x,则'''''''''(0)0,(0)0,(0)0,()1cos,(0)0.ffffxxf陕西理工学院毕业论文第3页共10页带入泰勒公式,其中n=3,得31cos()0003!xfxx，其中10.故当0x时,31sin6xxx.3.3利用泰勒公式判断级数的敛散性当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则.例3.3讨论级数111(ln)nnnn的敛散性.分析：直接根据通项去判断该级数是正向级数还是非正向级数比较困难,因而也就无法恰当选择判敛方法,注意到11lnln(1)nnn,若将其泰勒展开为1n的幂的形式,开二次方后恰与1n相呼应,会使判敛容易进行.解因为2341111111lnln(1)234nnnnnnnn,所以11ln1nn,所以11ln0nnunn故该级数是正向级数.又因为陕西理工学院毕业论文第4页共10页332332322111111111111ln()()23422nonnnnnnnnnnnn,所以3322111111ln()22nnunnnnnn.因为31212nn收敛,所以由正向级数比较判别法知原级数收敛.3.4利用泰勒公式证明根的唯一存在性例3.4设f(x)在[,)a上二阶可导,且'()0,()0fafa,对''(,),0xaf,证明：()0fx在(,)a内存在唯一实根.分析：这里f(x)是抽象函数,直接讨论()0fx的根有困难,由题设f(x)在[,)a上二阶可导且'()0,()0fafa,可考虑将f(x)在a点展开一阶泰勒公式,然后设法应用戒指定理证明.证明因为''()0fx,所以'()fx单调减少,又'()0fa,因此xa时,''()()0fxfa,故f(x)在(,)a上严格单调减少.在a点展开一阶泰勒公式有''2()()()()()()()2ffxfafaxaxaax由题设''()0,()0faf,于是有limx,从而必存在ba,使得()0fb,又因为()0fa,在[,]ab上应用连续函数的介值定理,存在0(,)xab,使0()0fx,由f(x)的严格单调性知0x唯一,因此方程()0fx在(,)a内存在唯一实根.3.5利用泰勒公式判断函数的极值陕西理工学院毕业论文第5页共10页例3.5]4[(极值的第二充分条件)设f在0x的某邻域);(0xU内一阶可导,在0xx处二阶可导,且0)(0'xf,0)(0''xf.(i)若0)(0''xf,则f在0x取得极大值.(ii)若0)(0''xf,则f在0x取得极小值.证明由条件，可得f在0x处的二阶泰勒公式))(()(!2)()(!1)()()(20200''00'0xxoxxxfxxxfxfxf.由于0)(0'xf,因此200''0))](1(2)([)()(xxoxfxfxf.(*)又因0)(0''xf,故存在正数',当);('0xUx时,)(210''xf与)1()(210''oxf同号.所以,当0)(0''xf时,(*)式取负值,从而对任意);('0xUx有0)()(0xfxf,即f在0x取得极大值.同样对0)(0''xf,可得f在0x取得极小值.3.6利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式利用基本初等函数的幂级数展开式,通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函数的幂级数展开式.例3.6求211xx的幂级数展开式.解利用泰勒公式231111xxxx369346791034679100(1)(1)1233333333()22222222322(1)[sin]33nnxxxxxxxxxxxxxxxxxxnx3.7利用泰勒公式进行近似计算陕西理工学院毕业论文第6页共10页利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,利用)(xf麦克劳林展开得到函数的近似计算式为'''2(0)(0)()(0)(0)2!!nnfffxffxxxn,其误差是余项()nRx.例3.7计算Ln1.2的值,使误差不超过0.0001解先写出f(x)=Ln(1+x)带拉格朗日型余项的麦克劳林展开式：231(1)(1)()23nnnxxxLnxxRxn,其中11(1)()(1)(1)nnnnxRxn（在0与x之间）.令2.0x,要使111(0.2)|()|(0.2)0.0001(00.2)(1)(1)nnnnRxn则取5n即可.因此5ln1.20.20.020.002670.000400.000060.1823||0.0001R其误差当要求的算式不能得出它的准确值时,即只能求出其近似值,这时泰勒公式是解决这种问题的最好方法.例3.8求210xedx的近似值,精确到510.解因为210xedx中的被积函数是不可积的（即不能用初级函数表达）,现用泰勒公式的方法求210xedx的近似值.在xe的展开式中以2x代替x得24221(1)2!!nxnxxexn逐项积分,得242111112000001(1)2!111111(1)32!52n111111111310422161329936075600nxnnxxedxdxxdxdxdxnn！！陕西理工学院毕业论文第7页共10页上式右端为一个收敛的交错级数,由其余项()nRx的估计式知27101||0.0000157560011111110.7468363104221613299360xRedx所以3.8利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值如果f(x)泰勒公式已知,其通项中的加项nxx)(0的系数正是)(!10)(xfnn,从而可反过来求高阶导数数值,而不必再依次求导.例3.9求函数xexxf2)(在x=1处的高阶导数)2()100()1(f.解设x=u+1,则eeueuugxfuu2)1(2)1()1()()(,)0()1()()(nngf,ue在u=0的泰勒公式为)(!100!99!9811001009998uouuuueu,从而))(!100!99!981)(12()(10010099982uouuuuuueug,而g(u)中的泰勒展开式中含100u的项应为100100!100)0(ug,从g(u)的展开式知100u的项为100)!1001!992!981(ue,因此10101)0(),!1001!992!981(!100)0(100100egeg,egf10101)0()1(100100.3.9利用泰勒公式求行列式的值若一个行列式可看做x的函数（一般是x的n次多项式）,记作f(x),按泰勒公式在某处0x展开,用这一方法可求得一些行列式的值.例3.10求n阶行列式陕西理工学院毕业论文第8页共10页D=xzzzyxzzyyxzyyyx（1）解记Dxfn)(,按泰勒公式在z处展开：nnnnnnzxnzxfzxzfzxzfzfxf)(!)()(!2)()(!1)()()()(2''',（2）易知1)(00000000000000kkyzzyzyyzyyzyyzyyzD阶（3）由（3）得,时都成立nkyzzzfkk,,2,1,)()(1.根据行列式求导的规则,有).)((1)(),(2)(,),()1()(),()(1'11'22'11'xxfxfxfxfxfnxfxnfxfnnnn因为于是)(xfn在zx处的各阶导数为21'')()(|)()(