泰勒公式在高等数学中的应用研究定稿

乐山师范学院毕业论文（设计）1泰勒公式在高等数学中的应用研究曾璐数学与信息科学学院数学与应用数学1229S002【摘要】本文主要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的泰勒展式在高等数学应用中的六个问题，即用泰勒公式求极限，证明不等式，进行近似计算，求高阶导数在某些点的数值、泰勒公式在常微分方程数值求解及敛散性判断中的应用。【关键词】极限不等式近似计算敛散性高阶导数及常微分方程,。1引言泰勒公式是高等数学中一个重要的公式，它有带皮亚诺余项和带拉格朗日余项两种形式。这两种形式对解决高等数学中的一些复杂的问题有很大的帮助，下面对它具体的应用进行分析，以此来说明泰勒公式的基本思想及其重要性。2基本知识点2.1泰勒公式介绍由一般的函数f,它在某点0x存在有n阶导数，我们把求得的各阶导数组合，则可以重新构成一个n次多项式为：nnnxxnxfxxxfxxxfxfxT0020000!...!2''!1'0'，这个多项式称为函数f在该点0x处的泰勒(Taylor)多项式,其中每一项的系数......,...,2,1!0nkkxfk被称为多项式的泰勒系数。如果一般的函数f如果在某点0x处存在到n阶导数，这时构成新的一个多项式：nnnxxxxnxfxxxfxxxfxfxf00020000!...!2''!1'0'它为函数f在该点0x处的泰勒公式，而xTxfxRnn为泰勒公式的余项。2.2麦克劳林公式的推导以上提到的泰勒公式是在任意点0x处得到的，如果点0x是一个特殊的点，那乐山师范学院毕业论文（设计）2函数f是否可得到新的一个多项式组合。我们以00x时来进行推导：当00x时，可得原函数f的泰勒公式转变为新的形式，如下：nnnxxnfxfxffxf!0...!20002'''所以当00x时的函数f的泰勒公式就是函数f的麦克劳林（Maclaurin）公式。利用以上的麦克劳林公式，可间接的求得其他一些函数的麦克劳林公式或泰勒公式。例1求xln在2x处的泰勒公式。解：由于221ln2ln22lnlnxxx，由已知函数泰勒公式nnnxnxxxxx1321...321ln则nnnnxxnxxx222211...22212212lnln122，例2写出函数221xxxxf在0x时的幂级数展开式。解：该函数不是基本初等函数，所以应先换为基本初等函数的形式，再利用已知的基本初等函数的泰勒展式进行展开。xxxxxxxxxf2111131211212，根据已知的函数展开式得1110xxxnn，21212110xxxnnn；所以21x时：0022131211113121nnnnnxxxxxxxnnnx02131所以函数221xxxxf在0x的幂级数展开式为：xfnnnx02131乐山师范学院毕业论文（设计）33泰勒公式的六个应用3.1应用一——求极限对比较复杂函数的极限运算,可用已知的基本函数的泰勒展式来代替,让原来的函数变的简单并且是我们熟悉的,这样就能容易的求出.例3求极限.coslim4202xexxx解：本题可以用已学过的求极限的方法（洛必达法则）来求解，只是计算量较大，计算过程中易出错。在这里我们采用泰勒公式来求解。由于极限式的分母为4x，所以进行变换可得：5422421cosxxxx54228212xxxex5426cos2xxexx所以6161limcoslim45404202xxxxexxxx例4求极限.sincossinlim30xxxxx解：本题也是利用已知初等函数的泰勒展式来进行变换，因为极限的分母是x3sin，所以可得到：.!3sin33xxxx.!2cos33xxxxx乐山师范学院毕业论文（设计）4则.3cossinlim33330xxxxxxxx利用等价无穷小量进行转换，可得极限.3sincossinlim33330xxxxxxxx3.2应用二——证明不等式若证明的不等式比较复杂，特别是不等式中既有多项式又有初等函数的，对这样的不等式不能再应用移项、判号方法来证明，可以利用已知的条件对其构造一个新的函数，然后利用初等函数已知的泰勒公式来替换，再对这个新的函数进行证明。例5证明不等式3sin3xxx，其中0x证明：构造3sin3xxxxf，当00x，即00f，00'f，00''f，xxfcos2'''，00'''f，由泰勒公式得，当3n时，3!3cos2000xxxf，其中10所以在0x时，不等式3sin3xxx成立。例6：证明不等式82112xxx，其中0x证明：构造xxxxf18212，00x，有00f，00'f，23''14141xxf，00''f，乐山师范学院毕业论文（设计）5由泰勒公式得，当2n时，22321414100xxxf，所以在0x时，不等式82112xxx成立。3.3应用三——近似运算利用泰勒公式对一些函数的近似运算,就是利用函数xf的在0x的泰勒展式得到的，实质就是函数的麦克劳林展式，即：nnxnfxfxffxf!0...20002'''，期误差项为xRn例7lg11准确到510解：1.1lg11.1lg10lg)1.01(10lg11lg由于)15432(10ln11lg55432xxxxxxx所以0413.1)41.031.021.01.0(43429.0111lg432；期误差不超过555101.011.0例8估计82112xxx，]1,0[x的绝对误差。解：由原式可建立新的函数82112xxxxf，312211!322112121xxxf32531!3231xx所以1611161325xxxRn例9求pdxex54498710.02102的绝对误差。乐山师范学院毕业论文（设计）6解：从题我们可以看出被积函数2xe的泰勒展式很容易求得：......!......!3!2126422nxxxxexpnx根据题意我们取到6x处，则!3!216422xxxexpx，这样原积分就近似的转换为：53761320124121!3!21210642dxxxx0544987767.0p可得出450105.010942561.0pp，所以其实0p的近似值的误差是很小的，我们也可以通过Matlab来验证函数21xexfy与xpy2的误差00.511.512345678910由图我们可以看出两个函数之间的误差为两曲线间的面积，在区间[0,0.5]两曲线几乎重合，由此可知用泰勒公式来进行误差非常小，几乎达到完全精确的程度。乐山师范学院毕业论文（设计）73.5应用五——某高阶导数在一些点的值已知函数xf的泰勒展开式,通过函数xf展开式我们可知nxx0的系数是0!1xfnn,然而很容易我们就可求出该函数在某阶导数的值。不需要在逐一求导，那样会让计算变的复杂。例10函数xxxf1ln，则求0nf，2n解：函数x1ln的泰勒展式是已知的，即：nnnxnxxxxx1321.......321ln，所以：]1......32[232nnnxnxxxxxxf，oxnnnxnxxxx11......321432，oxnnnxnxxxx11......322432，ox所以11!02nnfnn例11设xexxf1，求090f，0n解：由已知xe的泰勒公式：nnnxxxnxxe!11......!21!1112，由此可得：nnnxxnxxxxf!11......!21!111[12，oxnnnxxxnxxxxx]1!11......)1(2111[2，ox=nnnxxnnxx]!11......31211[132,ox所以1101nfnn；得89090f3.6应用六——常微分方程数值求解乐山师范学院毕业论文（设计）8在许多科学研究领域对数学问题的研究越来越多，经常会需要对常微分方程初值进行求解，可是对微分方程求解初值问题一般比较复杂，大多数都不可能求出来。但可以用数值方法求其特解，最后用程序在Matlab软件来实现其算法。该程序的理论是用逐步逼近法来进行,在这过程中泰勒公式有很大的作用。用泰勒公式求解有给定x和y初值的联立方程：tyxGdtdytyxFdtdx,,,,给出初值000,,tyx(1)求以上方程组(1)通过点000,,tyx的特解,其中已知000,,tyx。用逐步逼近计算求出在下列各点khtthtthttk00201,......,2,处yx,的近似值,其中h为t轴上选取的步长。设在ktt处,求出yx,的近似值,为kktxx，kktyy则由泰勒公式可知：......!3!23'''2'''htxhtxhtxtxhtx......!3!23'''2'''htyhtyhtytyhty(2)令ktt,即可得出计算1,1kkyx值的公式......3,2,1,0k......!3!23'''2'''1htxhtxhtxtxhtxxkkkkkk......!3!23'''2'''1htyhtyhtytyhtyykkkkkk(3)其中dtdxx'kkkktyxFx,,'dtdyy'kkkktyxGy,,'ttyxFyytyxFxxtyxFxkkkkkkkkkkkk,,,,,,''''乐山师范学院毕业论文（设计）9ttyxFyytyxFxxtyxFykkkkkkkkkkkk,,,,,,''''……1111,,nkkknnknnnttyxFxtFx1111,,nkkknnknnnttyxFytFy所以给定了初值条件000,,tyx时,由方程(3),令0k,可得出：......!3!23'''02''0'001hxhxhxxx......!3!23'''02''0'001hyhyhyyy其中11,yx再取近似值时的保留一定的项数,在求出11,yx后,再令1k,可求出22,yx,后面依次类推。例12求)30(,12'xxyy满足条件1)0(y的