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-1-0、前言:到目前为止已经有不少人对Bessel方程进行了讨论,但对Bessel方程的特定边界条件下的特解情况的讨论却很少。本文主要是针对一类零阶Bessel方程在如下边界条件右边界条件左边界条件001RyorRyQdxdybxyaxx的特解进行讨论并用Matlab程序实现绘制特解的变化图像。Matlab是类似于Fortran和C的一种语言,虽然很难简短描述其特点,但对于科学计算而言,其主要特色有:1)易于编程2)整数、实数、复数之间的统一性3)高精度及扩充的数值范围4)综合性的数学工具库5)包含图形用户界面在内的功能完备的图形工具6)与传统编程语言的接口7)Matlab程序的可移植性本文便是利用的强大图形工具绘制出方程特解的图像,以便形象地描述Bessel方程特解的振荡性、衰减性、周期性等。-2-1、数学模型的求解及分析:数学模型:.1,0,,,0001122RRbaRyorRyQdxdybxyaydxdyxdxydxx均为常数;且其中:右边界条件左边界条件1.1方程通解的求解过程首先对方程0122ydxdyxdxyd(1)进行化简。引入xt,则有txdxdy=dtdydxdtdtdy*(2)22dxyd=22)(dtyddxdtdtdydtd将方程(1)两边同时乘以2x后,经整理后得:02222yxdxdyxdxydx(3)将方程(2)代入到方程(3)有:022222ytdtydtdtdty(4)-3-对比Bessel标准方程0)(22222ynxdxdyxdxydx(这里n是非负常数,不一定是正整数)知,方程(4)其实就是一个0n的Bessel方程;即零阶的Bessel方程。根据参考文献⑴158页定理11:若方程0)()(22yxqdxdyxpdxyd①中系数)(),(xqxp具有这样的性质,即)(xxp和)(2xqx均能展成x的幂级数,且收敛区间为Rx,则方程①有形如0kkkxaxy即0kkkxay②的特解,这里00a,是一个特定的常数。级数②也以Rx为收敛区间。将方程(4)改写成01222ydtydtdtdy易见,它满足定理11的条件,且1)(ttp,0)(2tqt,按x展开成幂级数,它的收敛区间为x,由定理11,方程有形如0kkkxay(5)-4-的解.这里00a。而ka和是待定常数。将(5)代如(4)有212)1()(kkktakkt11)(kkktakt002kkktat按t的同幂次项整理有:0)()1)((020kkkkkktatakkk令各项系数等于零,得一系列的代数方程:,.....3,20)(0)1(0)(222120kakaaakk(6)因为00a,故从(6)的第一个方程解得:0考虑0时方程(4)的一个特解.这时总可以从(6)中逐个地确定所有的系数ka。把0代入(6)得到01a22kaakkk=2,3,……对讨论奇偶两种情况,分别有-5-21212)12(kaakkk=1,2,3,……..2222)2(kaakk从而求得012kak=1,2,3,……..112202aa24024)!2(2)1(aa26036)!3(2)1(aa……………………2202)!(2)1(kaakkkk=1,2,3,……将各ka代入方程(5)得到方程(4)的一个解kkkktkaay222010)!(2)1((7)不妨令)1(210na2则(7)变为)()2()1(!)1()2()1()!()1(01201220tJtkkatkaykkkkkk-6-根据参考文献⑵P404(7.9):knnknntkknttJtY210)2(!)!1(12ln)(2)()1()!(!1)1(10knknkkkkntk2)2()1((n=0时,右边第二项不存在)可以得到)2)(ln(2)(00CttJtYkkktkk202)2)(1......211()!(1)1(2(8)当t为实数时,)(tJn是一个衰减振荡函数,)(tYn在0x有奇性。)(tJn、)(tYn都是Bessel方程的解,且其中任意两个都是线性无关的。所以Bessel方程(4)的通解可写成:)()(00tBYtAJy(9)1.2在左右边界条件下方程特解的求解过程1.2.1左边界条件根据Bessel函数性质有10JJ10YY即有)()(00tBYtAJy-7-)()(11tBYtAJy(12)现在将(8)和(12)代入(11)有)()()()())()(())()(())()(())()((101011001100YbaYBJbaJABYAJbBYAJatBYtAJbttBYtAJaQt(13)1.2.2当右边界条件为0)(RYx时有)()(RYRYtx)()(11RBYRAJ=0(14)将(13)和(14)组成方程组联合求解A和B有)()()()(1010YbaYBJbaJAQ0)()(11RBYRAJ)()(11RJRBYA(15)代入(13)得:)()()()()()()()())()()(()()()()()()()()(1101101110110101011RJJbaJRYYbaYRJBRJJbaJRYYbaYBYbaYBJbaJRJRBYQ即-8-)16()()()()()()()(1011011JbaJRYYbaYRJRJQB将(16)代入(15)有)()()()()()()(1011011JbaJRYYbaYRJRYQA(17)将A和B代入(9)有)()()()()()()()()()(1011010101JbaJRYYbaYRJtJRYQtYRJQy1.2.3当右边界条件是Y(R)=0时有令xt有tx并且00)(0)(RYRY0)()(00RBYRAJy(18)将方程(13)和(18)组成方程组求解A和B)()()()(1010YbaYBJbaJAQ)()(000RBYRAJ由(18)得:)()(00RJRBYA(19)代入(13)有-9-)()()()()()()()())()()(()()()()()()()()(0100100010010101000RJJbaJRYYbaYRJBRJJbaJRYYbaYBYbaYBJbaJRJRBYQ即)20()()()()()()()(1001000JbaJRYYbaYRJRJQB将(19)代入(20))()()()()()()(1001000JbaJRYYbaYRJRYQA将A和B代入(9)有)()()()()()()()()()(1001000000JbaJRYYbaYRJtJRYQtYRQJy2、Matlab程序实现2.1当右边界条件为0)(RYx时2.1.1用Matlab对方程在边界条件下根据a的变化来分析方程的解①程序代码a=[-10,-6,-4,0,6,10],u=40,R=13;fori=1:6title('Bessel函数在a变化时的情形')xlabel('自变量X')ylabel('函数值Y')-10-b=1-a(i);t=sqrt(u);Q=60;B=besselj(1,t*R)*Q/(besselj(1,t*R)*(a(i)*bessely(0,t)-b*t*bessely(1,t))-bessely(1,t*R)*(a(i)*besselj(0,t)-b*t*besselj(1,t)));A=-bessely(1,t*R)*Q/(besselj(1,t*R)*(a(i)*bessely(0,t)-b*t*bessely(1,t))-bessely(1,t*R)*(a(i)*besselj(0,t)-b*t*besselj(1,t)));x=0:0.05:50;y=A*besselj(0,x)+B*bessely(0,x);switchicase1,plot(x,y,'r-');case2,plot(x,y,'g:');case3,plot(x,y,'b-.');case4,plot(x,y,'y-');case5,plot(x,y,'m:');case6,plot(x,y,'c-.');end;holdon;end;holdoff;-11-legend('a=-10','a=-6','a=-4','a=0','a=6','a=10',0);②形成方程解的变化图像:③图像分析1、从方程解的变化图像中很容易看出Bessel方程(1)在a变化时y随x的增加具有衰减振荡性,即y的振幅随x值增大而减小。2、并且方程解y随x的变化是成周期性的,变化的周期T的大小跟a的大小无关。3、方程(1)在a变化时,方程解y随x的变化图像有固定交点,并且交点位置与a的大小无关。2.1.2用Matlab对方程在边界条件下根据R的变化来分析方程的解①程序代码a=6,u=50,R=[30,40,100,130,170,200];-12-fori=1:6title('bessel函数在R变化时的情形')xlabel('自变量X')ylabel('函数值Y')b=1-a;t=sqrt(u);Q=60;B=besselj(1,t*R(i))*Q/(besselj(1,t*R(i))*(a*bessely(0,t)-b*t*bessely(1,t))-bessely(1,t*R(i))*(a*besselj(0,t)-b*t*besselj(1,t)));A=-bessely(1,t*R(i))*Q/(besselj(1,t*R(i))*(a*bessely(0,t)-b*t*bessely(1,t))-bessely(1,t*R(i))*(a*besselj(0,t)-b*t*besselj(1,t)));x=0:0.05:50;y=A*besselj(0,x)+B*bessely(0,x);switchicase1,plot(x,y,'r-');case2,plot(x,y,'g:');case3,plot(x,y,'b-.');case4,plot(x,y,'y-');case5,plot(x,y,'m:');case6,plot(x,y,'c-.');-13-end;holdon;end;holdoff;legend('R=30','R=40','R=100','R=130','R=170','R=200',0)②形成方程解的变化图像:③图像分析1、从方程解的变化图像中很容易看出Bessel方程(1)在R变化时y随x的增加具有衰减振荡性,即y的振幅随x值增大而减小。2
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