流体静力学基础

§2.1流体的受力分析固体在确定的剪切力的作用下产生固定的变形，流体在剪切力作用下产生连续的的变形，即连续运动。先看看一般物体所受到的力。§2.1流体的受力分析风鼓起帆，船破水前行，海鸟在天空飞翔，流体的力在我们的生活中无处不在。§2.1流体的受力分析流体力学中习惯按照作用形式将物体受到的作用力分为两类：一类是不需要接触，作用于全部流体上的力，称为体积力或质量力；另一类是直接与物体相接触而施加的力，称为表面力。§2.1流体的受力分析重力（万有引力）和磁力都属于体积力，如果分析问题时采用非惯性坐标，则惯性力也是一种体积力。压力和粘性力都属于表面力，压力是正应力，就是说流体中任何表面上的压力都与该面垂直。流体内部的切应力完全由粘性力产生，而正应力中也有粘性力的贡献。在多数情况下，粘性正应力比起压力来说小到可以忽略，所以通常认为粘性只产生切应力。§2.1流体的受力分析在静止的流体中或者运动的无粘流体中，任一点的压力大小与其作用方向无关。这个性质使流体的压力具有标量属性，可以看作是流体的一种状态参数。我们可以这样理解压力与方向无关的特性：对于静止的或者运动的无粘流体，压力是唯一的表面力。对流体中的某一点而言，体积力（重力和惯性力）趋向于零，来自四面八方的表面力之间要达成平衡，就必须全部相同。§2.1流体的受力分析右图帆船上所受的力，包括风给予帆船推进力，帆船前进的阻力主要由水产生，同时帆船浮在水面上，浮力与重力平衡。在这些力之中，只有重力是体积力，浮力、推进力、阻力都是表面力的合力。当风突然加大时，推进力增大，与当时水的阻力之间不平衡，船就会加速前进，这时推进力除需要克服阻力外，还需要克服船本身的惯性。以运动的船为参照物，惯性表示为惯性力，惯性力是体积力。体积力直接作用于流体体积上的力称为体积力,体积力与该流体微团周围有无流体无关。体积力又称质量力。流体力学中经常采用的是单位质量的体积力，用表示。如作用于体积上的体积力为，体积中的流体密度为，则fFFf0lim外界作用于该团流体上的体积力为。绝大多数流体力学问题中，流体是处于重力场中，令为重力加速度，则dfggf§2.1流体的受力分析§2.1流体的受力分析表面力为具有直接分子起因的所谓短程力。它们随着互相作用的微元间距离的增大而急剧减小，而且仅仅在量级为流体的分子间距的距离上它们才是显著的。因此，除非在两个互相接触的微元间存在直接的机械接触，如同两个刚体互相作用那样，短程力都是可以忽略不计的。如果流体质元受到此微元以外的物质的反作用产生的短程力作用，这些短程力仅仅能够作用在紧贴该流体微元边界的很薄一层内，薄层厚度等于力的穿透深度。因而作用在微元上的总的短程力就决定于微元的表面积，而与微元的体积没有直接关系。§2.1流体的受力分析只要短程力的穿透深度与此面元的线性尺度相比是小量，通过此面元作用的总力就正比于其面积，在时刻，位置为的面元上这个力的值可写为向量一般来说，体力对于固体或流体局部特性的影响是明显的，至少对重力或由于采用加速坐标参照系引起的虚拟力而言是如此的，但是面力对于流体局部性质及运动的影响则需要仔细加以考虑。Atx(,,)fnxtA§2.1流体的受力分析物体由于外因而变形时，在物体内各部分之间产生相互作用的内力，以抵抗这种外因的作用，并力图使物体从变形后的位置回复到变形前的位置。在所考察的截面某一点单位面积上的内力称为应力。静止流体保持恒定的变形，不存在任何方向的变形速率，所以没有用以抵抗不断变形的切向应力，流体表面的作用力只有法向应力。由于流体除承受很小的表面张力外，不能承受切应力，所以法向应力只能是压应力，于是静止流体的应力只有法向的压应力。§2.1流体的受力分析再看一个有点诡异的实验§2.1流体的受力分析“诸位，我只用一点水，就可以把这个木桶撑裂……”你可以给出解释吗?还是从看起来简单一些的处于静止状态的流体的受力开始§2.1流体的受力分析流体的静止状态指的是流体各部分之间没有相对运动，或者说流体的形状不发生改变。根据流体的定义可知，这时粘性完全不发生作用，流体中的表面力只有压力，因此流体静力学的核心问题就是压力与体积力的平衡关系。§2.2流体静止时的受力分析流体静力学研究处于静止状态的流体（简称静止流体）应遵循的规律，它主要讨论静止流体的压力以及静止流体与它的边界之间的作用力。因为体积力一般为重力和惯性力，所以静力学的问题主要分两类：一类是重力场中静止的流体的问题；另一类是流体不变形地做变速运动的问题。§2.2流体静止时的受力分析当流体处于静止状态时，流体内部没有相对运动，根据牛顿内摩擦定律，静止流体的切应力为零，显然，这时流体也不呈现粘性。因此流体静力学所得出的结论对理想流体（）或实际流体（）都是适用的。00§2.2流体静止时的受力分析对于任何一个静止的处于其他微团包围之下的流体微团而言，四周流体给予它的表面力（压力）之和必然和它所受的体积力相互抵消。在直角坐标系中，压力产生的合力沿任一坐标方向的投影都与那个方向的体积力大小相等方向相反。下面我们将针对一个流体微团进行分析，并导出一般形式的关系式。§2.2流体静止时的受力分析如图所示，在静止的流体内部取一个六面体，让其六个面分别垂直于3个坐标轴。3个方向的边长分别为dx，dy和dz，于是该六面体的体积为dxdydz，质量为ρdxdydz。如果用Fb表示体积力，用fb表示单位质量的体积力，则有如下关系式：在直角坐标系中，上式可以写成分量形式，即：§2.2流体静止时的受力分析与体积力平衡的压力具有标量属性。也就是说对于一点来说，压力沿任何方向的大小都是一样的。压力与其作用的面积相乘是表面力，表面力是有方向的，因为压力的作用面是有方向的。比如对于浸入水中的物体来说，只有作用在朝下的面的水压力才能产生向上的浮力，而朝上的面上作用的水压力都是向下的。由于要平衡作用于其内部的体积力，环绕微元体外表面的压力不能相同，而是有压差，正是这个压差产生的力与体积力实现平衡。§2.2流体静止时的受力分析对于图中所示的流体微团来说，如果在x方向上有图中所示向右的体积力的话，则微团右侧面的表面力一定要大于左侧面的力才能平衡。假定微团中心处的压力是p，则其左侧面上的压力小于p，右侧面上的压力大于p。那如何将侧面上的压力用中心点处的压力表示出来呢？这就要用到一种数学中常用的方法——泰勒展开，如右上图。即使物理量的变化规律不是线性，只要两点距离足够近，只用线性来表示，泰勒展开也是足够精确的。应用泰勒展开，并忽略二阶以上小量后，左、右侧面的压力可以写为§2.2流体静止时的受力分析结合我们已经得到的体积力和表面力，就可以的得到相应的x方向的力的平衡关系式：§2.2流体静止时的受力分析结合我们已经得到的体积力和表面力，就可以的得到相应的x方向的力的平衡关系式：化简x方向的力的平衡关系式得：类似地，可得到y和z方向的平衡关系式，于是我们就得到了直角坐标系下分量形式的力平衡关系式：§2.2流体静止时的受力分析直角坐标系下分量形式的力平衡关系式：可将上述分量形式的力平衡关系式写成矢量形式：根据梯度的定义：无论是分量形式还是矢量形式，反映的是静止的流体内部压力与体积力的关系，称为欧拉静平衡方程，是欧拉最先得出的。§2.2流体静止时的受力分析直角坐标系下的力平衡关系式：即欧拉静平衡方程。可以看到，当流体处于静止状态时，其内部的压力分布只与体积力相关，压力沿体积力作用方向增加。在重力场中下层流体的压力比上层的高，在离心力场中旋转半径大的地方的流体压力比旋转半径小的地方的大。这也可以这样理解：在重力场中上层流体的重量全靠下层流体来支撑，在离心力场中内层流体的向心力全靠外层流体提供。下面讨论重力场中的静止流体§2.3重力场中的静止流体当静止或做匀速运动（内部无相对运动）的流体处于重力场中时，其内部的压力分布只受到重力的影响。对于右图所示的处于重力场中的液体而言，根据欧拉静平衡方程若取垂直向上为坐标z的正向，则欧拉静平衡方程可以写为当认为重力加速度g与流体密度ρ都为常数时，上式积分得到液体内的压力公式：式中，p0为液面处的大气压力，h为深度。§2.3重力场中的静止流体当静止或做匀速运动（内部无相对运动）的流体处于重力场中时，其内部的压力分布只受到重力的影响。液体内的压力公式式中，p0为液面处的大气压力，h为深度。可见，液体内的压力只与大气压、液体密度和深度有关。根据该公式可以有如下的论述：形状不同而底面积相等的容器，内装有深度相等的水，虽然容器中水的重量不同，但水对底面的力却是相同的。例如右下图给出了四种不同形状的容器，水对底面的力都是相等的。§2.3重力场中的静止流体可见，液体内的压力只与大气压、液体密度和深度有关。图中四种不同形状的容器，水对底面的力都是相等的。帕斯卡提出的，在当时是令人迷惑的，后被人们称为“流体静力学悖论”很显然，图中的各个容器内水的重量相差很大，因此对桌面施加的力也各不相同。然而其内部的水对容器底部的力却是相同的，均为(P0+ρgh)A，这两者是不是矛盾呢？§2.3重力场中的静止流体图中的各个容器内水的重量相差很大，而其内部的水对容器底部的力却是相同的，均为(P0+ρgh)A，这两者是不是矛盾呢？回答是不矛盾。因为水对容器底部施加的力与容器对桌面施加的力并无直接关系。设想容器如果是密封的，其内部的水是上百个大气压，显然水对容器底部施加的力是很大的，但水对容器的上部也施加力。这两者方向相反，大部分都相互抵消了，最终水对容器的作用力的合力也就是水的重量而已。敞口容器也是一样的道理。§2.3重力场中的静止流体敞口容器也是一样的道理。图中用小箭头表示了各壁面上的水压力作用方向，可见容器(b)中的水虽然多，但在底面积投影之外部分的水是被杯壁支撑着的，容器(c)和(d)中的水虽然少，但其容器内部有被水向上支撑的表面，这部分的力会抵消一部分水对庶部的力。还记得本章开始时的那个神奇的实验吗？§2.3重力场中的静止流体帕斯卡曾经利用液体压力的特性进行过一个有趣的表演：在一个密闭的葡萄酒桶的桶盖上插入一根细高的管子，事先在桶内装满水，细管内也预装一定高度的水。表演时，他站在梯子上向细管内灌水，结果只用一杯水就把桶压裂了，这就是历史上有名的帕斯卡桶裂实验。对当时的人们这是不可思议的，即使是现在，这个实验也颇具表演性。这个实验的关键是管子要比较细，一杯水就可以让水增加足够的深度，从而在桶内产生很大的压力。§2.3重力场中的静止流体帕斯卡桶裂实验这个实验的关键是管子要比较细，一杯水就可以让水增加足够的深度，从而在桶内产生很大的压力。还记得我们前面给出的静止流体的压力公式（欧拉静平衡方程）吗上述公式是不是可以解释这个不可思议的实验呢！§2.3重力场中的静止流体帕斯卡桶裂实验，我再提一个问题：实验所用到的额外的那一点水能不能少到极致（充分少）？也就是说当细管的直径充分小时，帕斯卡桶裂实验能否成功？回答是当直径小到一定程度时，水的表面张力将不可忽略，并抵消重力场中的压力，从而管中的水根本不会流出。也许，你在生活中也利用过表面张力来达到目的呢！能想起来吗？可以用实验的方法，也可以用理论推导的方法得出当细管的直径小到一定程度时，帕斯卡桶裂实验将失败！！§2.3重力场中的静止流体我们身边的大气压力和深海中的压力是两个由重力引起的巨大压力的例子。空气的密度虽然很小，但厚厚的大气层还是会在地面附近产生很大的压力。计算大气压力不能使用简单的P=ρgh，因为大气的密度与压力和温度都相关，不同高度的密度相差是很大的。一般来讲，认为平流层的大气温度是恒定的，在对流层内温度则随着高度线性降低。根据这个关系，以及完全气体的状态方程，就可以使用欧拉静平衡方程式计算得到不同高度的大气压力。§2.3重力场中的静止流体当一个民航客机在1.1万米的高度飞行对，飞机外面大概是0.2个大气压多一点。人是无法适应这样的低压缺氧环境的，于是机舱内要进行增压。我们坐过飞机就会知道，起降过程中机舱内的压力是变化的，也就是说在高空飞行时机舱内并没有增压到地面的大气