矩阵理论第2章习题解答

第二章习题答案1．设a1，a2，…，an均为正数，nCx，且Tnxxxx),,,(21.证明函数2/112][)(niiixaxf在Cn上定义了一个向量范数.证明：(1)正定性：对0x，有f(x)0，当x=0时，f(x)=0.(2)奇次性：)(][][)(2/1122/112xfxaxaxfniiiniii.(3)三角不等式：])([][)(122122niiiiiiiiniiiiyxyxyxayxayxf)2()()()2()()(122122niiiiniiiiyxayfxfyxayfxfniiiniiiniiiiiyaxayfxfyaxayfxf12/1212/1222122)()(2)()()2()()(222)]()([)()(2)()(yfxfyfxfyfxf.所以函数f(x)是一个向量范数.2.证明：在R1中任何向量范数x，一定有xx0.证明：对任意向量范数x，根据向量范数的定义和性质，又因为1Rx，有xxxx11，其中01.3.设x是Pn中的向量范数，nnPA，则Ax也是Pn中的向量范数的充要条件为A是可逆矩阵.证明：必要性：如果矩阵A不可逆，则存在0x，使得0Ax，即0Ax，这与向量范数的正定性矛盾，所以矩阵A可逆.充分性：矩阵A可逆，对0x，则0Ax，所以0Ax，正定性满足；AxAx，奇次性满足；AyAxAyAxyxA)(，三角不等式也满足，故Ax是向量范数.4.证明(1)2/1)]([2AAtrAHm;(2)2mA与2x是相容的；(3)aA与1x、2x均相容；(4)22222min,mmmmABABAB.证明：(1)设nnPA，令),,(1nA.根据定义有ninjijmaA11222，niijja1222，nj,,1，所以有njmjA1222，同时有，nHnHnnHHnHnHHAA111111)(，所以有212)(mnjjHjHAAAtr.(2)见课本61页下.(3)令Tnxxxx,,,21，nnijPaA)(.因为jninjijjininjjijxaxaAx11,111max11,11,}{maxmaxxAxanxaaijjinjjniijji.所以，aA与1x相容;因为ninjjnjijninjjnjijnininiixaxaxaxaxaAx112121121212221122)()(22222}{max}{maxxanxanijijijij.所以，aA与2x相容.(4)令),,,,(1njB，因为222jjAA，nj,,1，同时有222222212222221212222)(),,(mnnmnmBAAAAAAB有上述结果有2222222)(mmHHmHHmHmABABABABAB，所以(4)成立.5.若rmPA，且rHEAA，则12A，rAm2.证明：根据定义1)()(2ErAArAH；rEtrAAtrAHm)()(2.6.设x，Ax的向量范数为2，证明：它对应的算子范数是nxAxA,,,maxmax212122.证明：对任意矩阵A，存在酉矩阵U，V，得到矩阵A的奇异值分解A=UDV.其中n,,1是矩阵A的奇异值，D=diag(n,,,21).根据定义，有)()())(()(222DrVDVrUDVUDVrAArAHHH=max{n,,,21}.7.若是算子范数，则(1)1E;(2)11AA;(3)xAxAx011min.证明：根据算子范数定义xAxAx0max，(1)1maxmax00xxxExExx;(2)111AAAAE，11AA；(3)xxAAx101max，令xAy1，则Ayx，得AyyAy01max，从而xAxyAyAyyAxyy00011minminmax1.8.设vA，A是对应于两个向量范数vx，vBxx的算子范数，B可逆，则1BABA.证明：根据定义，有xAxAx0max，把Bxx代入上式，得到BxBAxAx0max，令y=Bx，则yBx1，则110maxBAByyBABAy.9.设ax，bx是Cn上的两个向量范数，a1，a2是两个正实数，证明(1)cbaxxx},max{;(2)dbaxxaxa21都是Cn上的向量范数.证明：需要证明(1)和(2)满足范数定义中的三个条件即可.(1)(正定性)当0x时，0ax，0bx，则0cx；当x=0时，0ax，0bx，则0cx.奇次性显然成立.(三角不等式)},max{},max{bbaabacyxyxyxyxyxccbabayxyyxx},max{},max{.(1)证毕.(2)正定性和奇次性同(1)，容易得到.下面证明三角不等式：ddbbaabadyxyxayxayxayxayx)()(2121.证毕.10.证明FFAAAn21.证明：因为22122)()()(FHnHAAAtrAArA，即FAA2，其中i为半正定矩阵AHA的特征值.又由于22212)()(AnAArnAHnF，即21AAnF.证毕.11．设aA是nnC上的相容矩阵范数，B，C都是n阶可逆矩阵，且aB1及aC1都是小于或等于1，证明对任何nnCAabBACA定义了nnC上的一个相容矩阵范数.证明：首先证明abBACA是一个矩阵范数。(正定性)对任意0A，则0BAC，即0aBAC，且0aBAC当且仅当A=0.(奇次性)baabABACCABA)(.(三角不等式)bbaaabAACBACBACAABAA21212121)(.下面证明相容性.aaaaabCBABCCBACBABCCBACAABAA211121112121)()()(bbaaaaaaAACBACBACBABCCBA21212111.证毕.12.设aA是nnC上的矩阵范数，D是n阶可逆矩阵，证明对任何nnCAabADDA1是nnC上的一个矩阵范数.证明：证明同11题的前面部分.