矩阵论答案习题11

1习题1.11.解：除了由一个零向量构成的集合可以构成线性空间外，没有两个和有限（m）个向量构成的线性空间，因为数乘不封闭（k有无限多个，k∈p数域）.2.解：⑴是；⑵不是，因为没有负向量；⑶不是，因为存在两向量的和向量处在第二或第四象限，即加法不封闭；⑷是；⑸不是，因为存在二个不平行某向量的和却平行于某向量，即加法不封闭.3.解：⑴不是，因为当k∈Q或R时，数乘k不封闭；⑵有理域上是；实数域上不是，因为当k∈R时，数乘k不封闭.⑶是；⑷是；⑸是；⑹不是，因为加法与数乘均不封闭.4.解：是，因为全部解即为通解集合，它由基础解系列向量乘以相应常数组成，显然对解的加法与数乘运算满足二个封闭性和八条公理.5.解：（1）是线性空间；（2）不是线性空间（加法不封闭；或因无零向量）.6.解：（1）设A的实系数多项式Af的全体为正整数mRaAaAaIaAfimm,10封闭性：加法和数乘2显然，它满足两个封闭性和八条公理，故是线性空间.（2）与（3）也都是线性空间.7.解：是线性空间.不难验证tsin，t2sin，…，ntsin是线性无关的，且任一个形如题中的三角多项式都可由它们惟一地线性表示，所以它们是V中的一个组基.由高等数学中傅里叶（Fourier）系数知20sin1itdttci.8.解：⑴不是，因为公理2)'不成立：设r=1,s=2,α=(3,4),则(r+s)(3,4)=(9,4),而r(3,4)s(3,4)=(3,4)(6,4)=(9,8),所以(r+s)α≠rαsα.⑵不是，因为公理1）不成立：设α=(1,2),β=(3,4),则αβ=(1,2)(3,4)=(1,2),βα=(3,4)(1,2)=(3,4),所以αβ≠βα.⑶不是，因为公理2)'不成立：设r=1,s=2,α=(3,4),则(r+s)α=3(3,4)=(27,36)而rαsα=1(3,4)2(3,4)=(3,4)(12,16)=(15,20),于是(r+s)α≠rαsα.⑷是.9.证若,V，则)11(1111112223另一方面，111112因此，从而有于是得.10.解：先求齐次方程组的基础解系ξ1=(3,3,2,0)T,ξ2=(-3,7,0,4)T,即为解空间V的一组基.所以，dimV=2.11.解：考察齐次式0)1()()(32221xkxxkxxk即0)()(3321221kxkkkxkk,得线性方程组021kk0321kkk03k由于系数行列式不等于零，那么只有0321kkk时,上述齐次式才对x成立，所以xx2,xx2,1x线性无关，且任二次多项式cbxax2都可惟一地用它们来表示(因为相应的非齐次方程组有惟一解)，故为基.令33212212)()(372kxkkkxkkxx得3,1,3321kkk,即坐标为(3,-1,3).412.解：⑴因为(4321,,,)=(4321,,,)C,故C=(4321,,,)1(4321,,,)=100001000010000113101121163316502=3101121163316502.⑵显然，向量α在基4321,,,下的坐标为X=(1,432,,)T,设α在基4321,,,下的坐标为Y=(T),,,4321,则Y=C14321=310112116331650214321=2726319127732003127233194271911131944321=BX⑶如果X=Y,则有X=BX,即得齐次方程组(I-B)X=0,求其非零解为X=k(－1,－1,－1,1)T,k∈R,即为所求.13.解：(1)对nk,,2,1；nkkl,,1,令nnijklaF，其中1kla，其余的0ija，则klF为上三角矩阵空间的一组基，维数为121nn.（2）R+中任意非零元素都可作R+的基，dimR+=1.（3）I，A，A2为所述线性空间的一组基，其维数为3.514.解：（1）由已知关系式求得3242134212432112242284于是，由基（I）到基（II）的过渡矩阵为0012200112480124C（2）α在基（II）下的坐标为（2，-1，1，1）T，再由坐标变换公式计算α在基（I）下的坐标为C（2，-1，1，1）T=（11，23，4，-5）T.（3）不难计算得det（1·I—C）=0，所以1是C的特征值.不妨取过渡矩阵C的对应于特征值1的一个特征向量为η，则有Cη=1·η，那么α4321,,,η≠0，再由坐标变换公式知，α在基（I）下的坐标为ξ=Cη=η，即存在非零α4V，使得α在基（I）和基（II）下有相同的坐标.15.解：不难看出，由简单基E11，E12，E21，E22改变为基（I）和基（II）的过渡矩阵分别为22211120311112021C，11100111121211112C则有（B1，B2，B3，B4）=（E11，E12，E21，E22）C2=（A1，A2，A3，A4）11CC26故由基（I）改变到基（II）的过渡矩阵为1111100000111110211CCC.16.解：（1）由简单基1，32,,xxx改变到基（I）和基（II）的过渡矩阵为11111111111C，10110111111011012C故由基（I）改变为基（II）的过渡矩阵为1011110010010011211CCC（2）设3xpxf在基（I）和基（II）下的坐标分别为T4321,,,，T4321,,,，则有C且，即有0CI，该齐次方程组的通解为Tk0,1,0,0,k.于是，在基（I）和基（II）下有相同坐标的全体多项式为234321,,,kxkxkxkgxgxgxgxgxf.17.解：⑴设n的子集合为L，对任意L，有),...,,(21naaa,niia10，对任意L,，),...,,(21naaa,),...,,(21nbbb有7nininiiiiinnbabababa111110)(),,...,(又niniiinakkakakak1110),,...,(,所以LkL因此L是V的子空间.⑵对任意,L，),...,,(21naaa,),...,,(21nbbb,有niia11,niib11故2)(),,...,(11111nininiiiiinnbabababa于是可知L，因此L不是V的子空间.18.解：),,('3'2'1Span的基为'3'2'1,,的一个最大无关组，'3'2'1,,在基321,,下的坐标依次为(1,-2,3)T,(2,3,2)T,(4,13,0)T该列向量组的一个最大无关组为(1,-2,3)T,(2,3,2)T.因此，'3'2'1,,的一个最大无关组为'2'1,，即),,('3'2'1Span的一个基为'2'1,.19.解：（1）因为10Vnn，所以V1非空.设A，1VB，则有AP=PA，BP=PB.又因为（A+B）P=AP+BP=PA+PB=P（A+B），（kA）P=k（AP）=k（PA）=P（kA）（k），所以1VBA，1VkA，故V1是nnR的子空间.（2）取0001A，B1000，则detA=detB=0，从而1VA，1VB，8但1001BA，0detBA，所以1VBA，故V1不是子空间.又AA2，从而2VA，00022A，AA2000422，所以22VA，故V2也不是子空间.20.证：因为（2，-1，3，3）=（-1）（1，1，0，0）+3（1，0，1，1），（0，1，-1，-1）=（1，1，0，0）+（-1）（1，0，0，1）即生成的子空间有相同的基，所以它们生成的子空间相同.21.解：(1)设14321VxxxxA，则由AP=PA可得齐次方程组03003303334213xxxxxx求得基础解系为（1，-3，0，0）T，（1，0，0，1）T，从而V1的基为00311A，10012A，dimV1=2.(2)V1的矩阵一般形式2121221103kkkkAkAkARkk21,.22.证：若V1的维数为0，则V1与V2都是零空间，当然相等；若V1的维数是0m，由于21VV，故V1的任一组基meee,,,21都是9V2的线性无关组.又因V2与V1的维数相同，故这个线性无关组也是V2的一组基，即V1与V2有相同的基，因此V1=V2.23.解：设WVaaaa4321,,,，则有0,043214321aaaaaaaa由此相加或相减可得031aa，042aa，从而31aa，42aa，故得1,0,1,00,1,0,1,,,212121aaaaaa.但（1，0，-1，0），（0，1，0，-1）线性无关，即为所求的基.24.解：（1）设22ijaA，VbBij22，则02211aa，02211bb,因为22ijijbaBA，022221111baba，22ijkakA，02211kaka，所以VBA，VkA，又V220，所以V是22的子空间.（2）在V中取10011A，01102A，01003A它们线性无关.因为02211aa即1122aa，于是321212111AaAaAaA，因此，V的一组基为A1，A2，A3，从而dimV=3.25.解：（1）3,,,dim2121Span,2,dim21Span,2,dim21Span故交的维数为2+2-3=1，交的一组基为（-5，2，3，4）T，和的维数为3，121,,为一组基.（2）4,,,,dim21321Span,102,dim,3,,dim21321SpanSpan故交的维数为1，基为1；和的维数为4，2321,,,为一组基.26.证：（1）设1,V，且niniiiiixex11,niiiiniiyey11则niniiiiiiiyxeyx11niniiiiikxekxk11（k是数）即与k在两组基下的坐标也是相同的，所以1V，1Vk，故V1是子空间.（2）因V中每个向量