矩阵论试卷

一、在4R中有两组基，12341,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,112342,1,1,1,0,3,1,0,5,3,2,1,6,6,1,3求（1）由基1234,,,到基1234,,,的过渡矩阵；（2）向量1234,,,x在基1234,,,之下的坐标；（3）在两组基下有相同坐标的非零向量。解：(1)因为12341234123420561336,,,,,,,,,11211013C所以由基1234,,,到基1234,,,的过渡矩阵2056133611211013C(2)112211234123412343344,,,,,,,,,xC所以向量1,0,1,0在基1234,,,之下的坐标为12134C（3）由（2）式有112213344C，则有12340CE，该方程组的通解为1,1,1,1Tk,对两个基有相同坐标的非零向量为1234kxxxx，k非零常数。二、设矩阵102011010A，计算：8542234AAAAE。证：3221fEA令854234g用f去除g，得5322245914243710gf则有5322245914243710gAfAAAAAEAAE由Hamilton-Cayley定理0fA，于是2348262437100956106134gAAAE三、证明：对于任意矩阵范数,||,||nnCAA在向量空间nC上必存在与之相容的向量范数,0||,||||||TXX其中nCX,是n维列向量。证：1.非负性：(1);0||||||||,0TnXXCX（2）.0||||0XX2.齐次性：.||||||||||||||)(||||)(||||||,,XkXkXkkXkXCkCXTTTn3.三角不等式：.||||||||||||||||||||||)(||||||,,YXYXYXYXYXCYXTTTTTn4.相容性：.||||||||||||||||||)(||||)(||||||,,,XAXAXAAXAXCACXTTTnnn从而，对于任意矩阵范数,||,||nnCAA在向量空间nC上必存在与之相容的向量范数,0||,||||||TXX其中nnCX,是n维列向量。四、设,AnnC若存在一种矩阵范数||,||使得,1||||A则.0limkkA证明：1..||A||||||||||||||||||0k11AAAAAkkk2..0||||lim0||A||lim1||||kkkkAA3..0lim0||0||lim0||||limkkkkkkAAA五、设,2)()(1)(,11.,3210tXtxtxCA，求解常微分方程组的初值问题CxtAxdttdx)0()()(.。解：1.1211201223IA，2.令01,,,tTtatatfte，由3.六、设,PQ分别为,mn阶实正交矩阵，mnAR。证明：(')'.PAQQAP证明：根据加逆的定义直接验证：(1),'''''(2),'''''(3),('')'(')'()'''(4),('')'(')'()''PAQQAPPAQPAAAQPAQQAPPAQQAPQAAAPQAPQAPPAQQAAQQAAQQAAQQAPPAQPAQQAPPAAPPAAP'''PAAPPAQQAP故有：(')'.PAQQAP七、假定200810280,022881Ab(1)，求矩阵A的满秩分解；(2)，求A；(3)，判断方程组Axb是否相容？若相容，求其最小范数解；若不相容，求其极小最小二乘解。解：(1):200810040280014022880000A行,故矩阵A的满秩分解为：20201004100402,02,014001402222ACDCD。(2)，112111211'(')(')'484102844ADDDCCC(3)，因容易验证AAbb，故方程组Axb相容，从而其极小最小二乘解为：01010344xAb八、令10.020.110.010.80.140.020.015A，500050001D。试用圆盘定理估计矩阵A的特征值分布范围，并在复平面上画出示意图；为了得到更精确的结果，请利用矩阵1DAD的盖尔圆盘来隔离矩阵A的特征值。解：（1）由矩阵盖尔圆的定义，易求A得三个盖尔圆分别为：123:|1|0.13;:|0.8|0.15;:|5|0.03GzGzGz。（2）显然，三个盖尔圆有两个在复平面上相交。(图略)（3）令110.020.0220.010.80.0280.10.055BDAD。于是此时可进一步求得B的三个盖尔圆分别为：'''123:|1|0.042;:|0.8|0.038;:|5|0.15GzGzGz。显然，此时三个盖尔圆两两不再相交。（4）因为AB,所以矩阵A与B具有相同的特征值。因为'33GG，所以矩阵A的特征值分布在三个孤立圆盘''123,,GGG中。