矿大数理统计试卷2011(答案)

第1页共7页中国矿业大学2011级硕士研究生课程考试答案考试科目数理统计考试时间2011.12研究生姓名学号所在学院任课教师中国矿业大学研究生院培养管理处印制成绩第2页共7页题号一二三四五六七总分得分一、（15分）设区域}0,10|),{(xyxyxG，随机变量),(YX在G上服从均匀分布，求(|)EXY.解：),(YX的概率密度为：othersGyxyxf,0),(,2),(于是),(YX关于X和Y的边缘概率密度为othersyyothersydydxyxfyfyY,010),1(2,010,2),()(1所以othersxyxyyfyxfyxfYYX,00,10,11)(),()|(|21)1(211111)|()|(21|yyydxyxdxyxxfyYXEyYX所以1(|)2YEXY二、（15分）将一颗骰子随机抛掷120次，观察其出现的点数，结果如下：点数123456频数212819241612试问这颗骰子的六个面是否均匀？)05.0(解0:{}1/6,1,2,,6HPXii统计量为()kiiiifnpnp221，拒绝域为()k221其中20.056,120,1/6,(5)11.071iknp第3页共7页2220.051()8.1(5)11.071kiiiifnpnp所以接受原假设，即可以认为这颗骰子的六个面是均匀的三、（15分）设某元件寿命X的概率密度为2()2,()(;)0,()xexfxx，求的极大似然估计量，并判别是否为优效估计量解：2()12,()()0,()inxiiexLx1ln()ln222niiLnnxln()20dLnd()L关于单调增加12ˆmin(,,,)nxxx下判别优效：(罗克莱美下界)2ln(,)()()fxIEln(,)2,()fxx,22ln(,)ln(,)()()()(,)4fxfxIEfxdx，故罗克莱美下界为11()()4RInIn令12min(,,,)nZxxx()1(1())nzXFzFx2()()2()nzzfznez1()2EZn2221()2EZnn2221()()()4DZEZEZn()()RID故不是优效估计量四、（15分）甲乙两个砖厂各生产一批机制红砖,抽样检查测量砖的抗折强度(千克),得到结果如下:甲厂1110,27.3,6.4nxS乙厂228,30.5,3.8nyS已知甲乙两厂生产的砖的抗折强度分别服从221122(,),(,)NN正态分布,试求两厂红砖抗折强度均值差12的置信区间?)05.0(第4页共7页解答：（1）检验假设2222012112:;:HH取统计量2122SFS，拒绝域为212(1,1)FFnn或1212(1,1)FFnn由22121210,8,40.96,14.4,nnSS0.0250.9750.0251(9,7)4.82,(9,7)0.283(7,9FFF得40.962.83714.44F显然0.2832.8374.82,所以接受原假设，认为抗折强度的方差没有显著差异。(2)对12做区间估计，1212211((2))(8.6478,2.2478)wXYtnnSnn(注：我只算了一遍，不知准确与否，自己判断吧，呵呵)22112212(1)(1)2wnSnSSnn五（20分，每小题10分）1、考虑过原点的线性回归模型1,1,2,,iiiYXin误差i仍满足回归模型基本假设，求1的最小二乘估计1ˆ，并推导出1ˆ的分布解：Q=21ˆ()niiiyy=211()minniiiyx，…………………………2分1ˆ10dQd得11ˆ2()0niiiiyxx……………………………....2分则1121ˆniiiniixyx………………………………………………………..1分1ˆ是iy的线性组合，由iy相互独立，服从正态分布，则1ˆ服从正态分布…..1分第5页共7页111111222111ˆnnniiiiiiiiinnniiiiiixyxEyxxEExxx………………………………2分221112222111ˆnniiiiiinnniiiiiixyxDyDDxxx…………………………………..2分则2112ˆ~,iNx2、在10块地中，测得某农作物的每亩穗数1x（单位：万），每穗实际粒数2x和每亩产量y（单位：公斤），数据见表一：表一1x26.731.830.433.934.633.330.427.033.330.42x73.859.065.958.264.664.662.171.464.565.1y525480536511548550480500540502利用软件，对y关于1x，2x做多元线性回归分析，结果如表二：表二自变量参数估计值t-检验值C（常数项）-354.7144X113.165885.928630X27.1133305.691042残差平方和968.8604F-检验值19.22835（1）写出回归方程并计算误差方差的估计2ˆ的值；（2）根据表二数据，分析回归效果（显著性水平0.05）.解：（1）回归方程12ˆ354144136588713330.7.1.1yxx----------------2分2968.8604ˆ138.408610217eS----------------------------------------2分第6页共7页（2）回归方程进行检验假设012:0Hbb~2,71RESpFFSnp0.0519.228352,74.74FF,故否定原假设，回归方程显著----------2分1200bb分别对、进行回归系数的检验查表：0.025(7)2.3646t，15.928630T落入拒绝域，1x与y有线性相关关系----2分而25.691042T落入拒绝域，2x与y有线性关系----------------------------2分六、（10分）车间里有5名工人，有3台不同型号的车床生产同一品种的产品，现在让每个人轮流在3台车床上操作，记录某日产量结果如下表（设各观测值总体服从同方差的正态分布、无交互作用）工人车床型号12345164736381782756661738037867806971根据上述统计结果解答下面两个问题。)05.0(（1）将下面的方差分析表补充完整。方差来源平方和自由度均方和F值车床型号10.13工人154.27误差综合628.93（2）试问这5个人技术之间和不同车床型号之间对产量有无显著影响。解答：1）将下面的方差分析表补充完整。方差来源平方和自由度均方和F值车床型号10.1325.0650.0872工人154.27438.56750.6642误差464.53858.06625综合628.9314(2)查表得：0.05(2,8)4.46F，故车床型号对产量的影响不显著第7页共7页0.05(4,8)3.84F工人技术对产量的影响也不显著----------------------------------------------------------------------------------------每空1分----------------------------------------------------------------------------------结论判断5分七、（10分）设12,,nXXX是来自总体X的简单的随机样本，X服从参数为的指数分布，已知22(2)nXn，试在以下三种假设下对做假设检验，推导其拒绝域，0010(1):;:HH；0010(2):;:HH；0010(3):;:HH，0是一个给定的常数。