研究生试题单2006(答案)

西南科技大学研究生试题（参考答案）年级2006专业信息与控制工程专业2006-2007学年第1学期考试科目应用泛函分析命题人杨汉生共2页第1页一、简要叙述下列概念（每小题3分，共计10小题，总计30分）:1.内积空间（参考答案P40）2.Banach空间(参考答案P94)3.开集(参考答案P100)4.集合A在X中稠密(参考答案P48)5.自列紧集(参考答案P108)6.紧集(参考答案P112)7.赋范线性空间(参考答案P93)8.X可分(参考答案P48)9.集合A为闭集(参考答案P47)10.有界线性算子(参考答案P75)二、证明如下命题（共计7小题，总计70分）:1.（本小题10分）压缩映象原理:设E是Banach空间X的非空子集,存在正数1使得映象XXT:满足Xyxyxyx,,则映象T在X中存在唯一的不动点.(参考答案P192)2.（本小题10分）设M是Hilbert空间H的闭线性子空间，Hh，且Mf0是满足hxMhdfhMzinf),(0的唯一元素，那么，Mfh0。(参考答案P52)3.（本小题10分）设H是数域F上的Hilbert空间。f是H到F上的线性泛函。若kerf是闭集，那么f是H上有界（常数0C，使得Hx，xCTx）。(参考答案P56-57)4．（本小题10分）设H是数域F上的Hilbert空间。f是H到F上的线性泛函。若f在某点Hx0连续，那么f在H上连续。(参考答案P56)5.（本小题10分）设H是数域F上的Hilbert空间。f是H到F上的线性泛函。若f是连续的，那么kerf必是闭集。(参考答案P56-57)6.（本小题10分）证明：FHf:是Hilbert空间H到数域F上的有界线性泛函，则存在唯一的点Hx0，使得对任意的Hx，有0,)(xxxf。(参考答案P59)7．（本小题10分）证明：设X是Banach空间,存在正数210，使得映象XXT:满足XyxyTyxTxTyTx,),(，则映象T在X中存在唯一的不动点.(参考答案张石生：《不动点理论及其应用》，P11-12)