浅谈新课标全国卷导数命题背景

浅谈新课标全国卷导数命题背景.近几年高考题的导数压轴经常以微积分里的重要定理作为背景，但纵观命题人给的答案，很多是所谓结合高中知识巧妙构造等等，颇有把考生玩弄于股掌之间的味道.结合高等数学部分内容，我们来研究下近几年高考真题的本质：例1.（2014北京卷）已知函数()cossin,[0,]2fxxxxx，（1）求证：()0fx（2）若sinxabx在(0,)2上恒成立，求a的最大值与b的最小值第（1）问很简单，求导后容易得到结论第（2）问我们令sinπ02xgxxx，则2cossinxxxgxx，由⑴知，0gx≤，故gx在π02上单调递减，从而gx的最小值为π22πg，故2πa≤，a的最大值为2π.接下来b最大值肯定在x等于0处取到，代入x＝0，我们发现出现了00的情况，只用初等数学我们无法求解，其实本题就用到了微积分里两个重要极限之一0sinxlim1xx＝，接下来我们来证明一下这个结论令()fx＝sinx，由导数定义得fx＝0sinlimxxxxxxΔ（+Δ）（Δ）-＝cosx，那么0f＝0sinlim0-0xxxΔ（0+Δ）（Δ）＝0sinxlimxx＝0limxcosx＝1，那么显然第（2）小问里b的最小值就是1评注：本题结合了极限0sinxlim1xx＝进行命制，并且它的证明过程就是高中数学课本里对导数的定义，很多老师为了方便讲解直接跳过该定义讲解导数几何意义，笔者认为这是一个很大的失误，所以在复习时以前没有着重讲解的定义需要额外关心，考场上遇到所谓冷门知识时才能应付自如，游刃有余.高等数学里还有个重要极限就是lime1xxx＝（1+），稍后我们进行讨论.上面两个极限是导数与微分的内容，在上完导数与微分后，我们将会接触到3个微分中值定理：罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理罗尔中值定理：，曲线弧（方程为）是一条连续的曲线弧，如果弧的两端点纵坐标相等，那么弧上至少有一点，曲线在该点切线是水平的拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：1)在闭区间[a,b]上连续；2)在开区间(a,b)内可导。那么：在(a,b)内至少有一点ξ(aξb)，使等式fbfafba成立柯西中值定理：如果函数f(x)及F(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3)对任一x∈(a,b)，F'(x)≠0那么在(a,b)内至少有一点ξ，使等式''fbfafFbFaF成立其中，在柯西中值定理里当b→a时，我们会得到求取00不定式极限的洛必达法则：(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0，那么有aalimli'm xxfxFxFxfx＝注：洛必达法则也可以证明极限0sinxlim1xx＝，上下求导便可得下面我们来看一道用洛必达法则命制的高考题例2.（2011新课标全国卷）已知函数ln()1axbfxxx，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为230xy。（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当0x，且1x时，ln()1xkfxxx，求k的取值范围。第一问很简单，求导后解方程易得a＝1，b＝1第二问进行分离参数，可得22ln11xxkx＜，令22ln11gxxxx（）＝，求两次导后得到gx（）在（0，1）单调减，在（1，+）单调增，由洛必达法则得122lnlim11xxxx＝12lnlim1-2xxx（1+）＝0，，所以k（-，0），取k＝1代回原命题也成立，所以k（-，0]评注：本题原解法分类讨论极其复杂而且某些步骤不容易想到，显然这份标准答案是命题人结合洛必达法则得出答案后强行凑给考生看的，假如我们站在命题人的高度看问题，任何复杂的题目都会不堪一击.值得注意的是，新课标全国卷连续考了两年洛必达法则：例3.（2010新课标全国卷）设函数fx（）＝x2e1xax（1）若a＝0时，求fx（）单调区间（2）若当x≥0时，fx（）≥0，求a的取值范围本题第二问可以用洛必达法则求解，留做习题在学习完微分中值定理后，我们就会接触到由柯西中值定理推导出的泰勒公式，它在近几年高考中的命题地位比洛必达法则还要高高等数学里ex和ln1x（）的泰勒展开式特别优美：ex＝23........23xxx1+！！（1）ln1x（）＝234-........234xxxx（2）（1）式中我们对右边的幂级数求导发现它的导函数就是本身，我们都知道导函数是其本身的只有ex，所以ex和右边是相等的，证明它过程太复杂，所以我们不做证明，下面我们用一种不太严谨的方法来证明（2）式的弱命题令na＝nx,x(-1,1)那么其前n项和nS＝2345.......xxxxxnx＝n+11xxx＝n+111xxxx学习等比数列的和时我们就知道，当公比(-1,1)时，其前n项和是收敛的，有nn1limiia＝＝1xx，即2345.......xxxxxnx＝1xx，x（-1，1）两边同时积分得234n.......xxxxxdx＝1xdxx即234........234xxx＝-1lnx（）-x，1lnx（）＝234........234xxxx，x（-1，1）令x＝-x，得1lnx（）＝234-........234xxxxx（-1，1）那么泰勒公式怎么考呢？最简单的考法之一就就是舍去展开式一些项，把等号变为不等号以函数放缩形式考察对（1）式舍去第三项及其之后，得ex≥1+x，xR（3）对（2）式舍去第三项极其之后，或者对（3）式两边取对数，得1lnx（）≤x，x（-1，+）（4）对（4）中令1+x＝11x（），上式便可加强为1-11x≤1lnx（）≤x（5）（3）（4）（5）式均当且仅当x＝1时取等号，我们将其称为泰勒不等式或者基本函数不等式，另外细心的同学也发现例3中的函数fx（）＝x2e1xax便是ex的泰勒展开式取前3项后加上个参数a，所以本题的命制背景就是洛必达法则+泰勒公式，如果你知道ex的泰勒展开，那么本题答案一眼就看得出来是a≤12，所以对于学有余力的同学，提前学习一些微积分对高考是大有裨益的注：补充泰勒展开式以及对应不等式sinx＝......357xxxx！！！（6），舍去第二项及其之后得sinx≤x，当且仅当x＝0取等，由（6）也可以证明极限0sinxlim1xx＝，请读者自行证明下面我们来看一道例题，本题在微积分的课本里经常当作经典例题或习题，而命题人直接就拿出来当压轴题考察学生例4.证明：1111.....234n1＜1nln（）＜1111.....23n分析：左右都是和，中间的1nln（）也将其拆做和的形式，证明通项不等关系即可证明：注意到1nln（）＝n1n32nn-121lnlnlnln（）+（）+.....+（）+（），故只需证1n1＜11nln（）＜1n即可，由（5）式令x＝1n显然成立评注：使用泰勒不等式时要注意不等号方向，并且本题也可以通过定积分的几何意义证明，证明过程留做习题前面我们提到后面我们会证明极限lime1xxx＝（1+），接下来我们用基本函数不等式1lnx（）≤x来给出精彩的证明对原命题取对数，即只需证明1lnlimxxx（1+）＝1，注意到1lnx（）≤x，当且仅当x＝0取等，那么当x趋近于0，即1x趋近于时，有11lnlimlimxxxx（1+）＝，即1li1lmlimnxxxxxx（1+）＝＝1这几个基本函数不等式可以衍生出一大批高考题，下面我们挑几道进行分析：例5（2013新课标全国卷II）已知函数fx（）＝exlnxm（）（1）设x＝0是fx（）的极值点，求m并讨论fx（）的单调性（2）证明：当m≤2时，fx（）＞0第一问很简单，求导后代入x＝0求出m，然后进而求取单调区间第二问我们根据不等式1lnx（）≤x来轻松秒杀.因为lnmx（）≤x+m-1，故exlnxm（）≥ex-x-m+1，当x+m＝1取等，令gx（）＝ex-x-m+1，求导易得gx（）在（0，+）单调增，在（-m，0）单调减故mingx（）＝g（0）＝2-m≥0，即fx（）≥gx（）≥0，故fx（）＞0评注：本题标准答案是对fx（）求导对极值点设而不求并讨论其存在性最后得出答案，其实本题本质就是泰勒不等式的运用，标答只起了欲盖弥彰的作用下面我们对应用泰勒不等式中比较复杂的形式进行讲解：（2007辽宁卷节选）已知fx（）＝222e2e21xxtxxt（+）+，证明：fx（）≥32由（3）式可知ex-x≥1，那么2exx（）≥1，由不等式22ab（）≤22ab，得12≤2e2xx（）＝122exttx（）+（）≤2ext（）+2tx（）=222e2e2xxtxxt（+）+两边同时加1得原命题.评注：本题结合了基本不等式推论之一22ab（）≤22ab，在了解泰勒不等式时也需要对课本知识牢牢掌握.例6（2014新课标全国卷一）已知fx（）＝12eexxlnxx，证明：fx（）＞1分析：对泰勒不等式掌握很好的同学应该会发现，其好用之处就是把复杂函数的证明问题转化为简单函数的证明问题，本题出现多个复杂结构，故需要多次运用这几个不等式解：原不等式两边同时乘以x，即证1e2exxxlnx＞x，因为1ex≥x，故只需证1eexxxlnx＞0，考虑到ex＞0恒成立，故只需证1exlnx≥0，因为xlnx最小值在x等于e处取到为-1e，所以1exlnx≥0，考虑到前面的放缩不可同时取等号，有fx（）＞1.评注：本题标答是一个巧妙的等价变换后再对新函数求导，这步非常不好想到，显然是命题人掩盖了他如何命制本题，以上解答过程反过来即为命题人命制此题的思路。并且里面有经常遇到甚至背得的xlnx的单调性和最值，这也是基础的考察.例7（2012新课标全国卷）已知fx（）＝11exf（）-212fxx（0）（1）求fx（）的解析式以及单调区间（2）fx（）≥212xaxb，求1ab（）的最大值第（1）问很简单，求导后对x赋值可以得到fx（）＝21e2xxx，求导后易得单调区间（-，0）单调减，（0，+）单调增解：由题e10xaxb（），令gx（）＝e1xaxb（），gx（）≥0等价于若gx（）在R单调增，那么gx（）不存在零点若gx（）在R不单调，那么其极小值≥0对gx（）求导，有gx＝e1xa（），当a≤-1时，gx＞0恒成立，gx（）在R单调增，此时gx（）一定存在一个零点，不符合题意当a大＞-1时，令gx＝0，则1xlna＝（），故gx（）在（-，1lna（））单调减，在（1lna（），+）所以只需1glna（（））≥0即可，即1a（）-1a（）1lna（）-b≥0.即b1a（）≤21a（）-21a（）1lna（），令hx（）＝21a（）-21a（）1lna（），求导后易得其最大值为2e，故bmax1a（）＝2e评注：12年全国卷被认为近几年最难，但你只要站在命题者的角度去看待问题，注意到本题也是通过泰勒公式改编，后面的步骤就顺理成章泰勒公式除了舍去一些项当不等式考察，其本身的存在也可以估算某些超越数的近似值，所以便有了14年新课标二卷的这道题：例8（2014新课标全国二卷节选）已知fx（）＝ee2xxx已知1.4142＜2＜1.4143，估测ln2的近似值（精确到0.001）解法一：注意到1lnx（）＝234........234xxxx,1lnx