比与比例

比与比例一.基础知识比1、比的相关定义：两个数a与b或两个同类的量相除，叫做a与b的比。记作a:b或ba。读作a比b或a与b的比。a叫做比的前项，b叫做比的后项。前项a除以后项b所得的商叫做比值。2、比与比值：比指的是两个数或两个同类量相除，而比值指的是两个数或两个同类量相除所得的商3、比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变。4、最简整数比：a：b中，a和b为互质的整数，a：b即为最简整数比。5、比、分数与除法三者之间的关系比：前项:后项=比值分数：分母分子分数值除法：被除数除数=商比例1.比例定义：表示两个比相等的式子叫做比例。写成a:b=c:d,其中两端的a、d叫做比例的外向，里面的b、c叫做比例的内向。2.比例性质：前后两个比的最简整数比相同；两外项之积等于两内向之积。比例中项：acbcbba2::比例改写：abcdacbddbcadcba::::::::3、比例方程：含有未知项的比例叫做比例方程。解比例：求比例中的未知项叫做解比例。方法：先利用比例性质两外项之积等于两内向之积转化成一般方程后再求解。4、连比：表示三个或三个以上数量进行比率比较，一般写作a:b:c或a:b:c:d将两个比改写成连比，如a:b、c:d中b、c表示同一数量，可转化成连比ac:bc:bd5、比例的应用图形的放大和缩小：利用方格纸按一定比把一个简单图形按指定的比放大或缩小。判断两个图形是否组成比例，放大或缩小的图形和原来的比较，对应边长、高等的比值相同。比例尺：图上距离：实际距离=比例尺，实际距离=图上距离比例尺，图上距离=实际距离×比例尺。实物缩小到图上，比例尺小于1；实物扩大到图上，比例尺大于1.比例应用题：整理题中的数量组成比例，求出比例中的未知项。6.规律归纳①图形缩放：将图形按照给定比放大或缩小，对应边长、高之比等于给定比。面积比等于给定比的平方。②比例尺：比例尺=图上距离÷实际距离；图上距离=实际距离×比例尺；实际距离=图上距离÷比例尺。缩小，比例尺＜1；放大，比例尺＞1③比例应用题：整理题中的数量组成比例，求出比例中的未知项。二、巩固练习A、比1、计算比值0.5:52=7m:3.5cm=32：94=0.3:0.02=2、化简比132:88=35:511=5.1:25.0=375:25.1升毫升=3、判断。①某班男生有8人，女生有10人，男生与女生人数之比是0.8。（）②甲、乙二人同时走同一条路，甲走完需20分钟，乙走完需30分钟，甲和乙的速度比是2∶3。（）③在比例尺是8∶1的图纸上，2厘米的线段表示零件的实际长16厘米。（）④两个圆的周长比是2∶3，面积之比是4∶9。（）4、415:87的比值是_____________.5、如果5x=3y，则x:y=_____________.6、把一个底是4厘米、高是3厘米的三角形按3:1的比放大后，三角形的底是（）厘米，高是（）厘米。7、甲、乙两数的比是5:2，乙数是40，甲数是（）。8、在一个比例里，两个内项互为倒数，其中一个外项是2，另一个外项是（）。9、将线段比例尺改写成数值比例尺（）。10、一个零件的实际长度是7毫米，但在图上量的长是3.5厘米，那么这幅图的比例尺是（）。11、12的4个因数组成的比例是（）。12、如图，阴影部分面积占大圆面积的51，占小圆面积的73，那么大圆面积与小圆面积的比是（）.13.学校把购进的图书的60％按2∶3∶4分配给四、五、六3个年级。已知六年级分得56本，学校共购进图书（）本。B、比例1、化成最简整数比：211:1.2:57=2、若整数x能与2、6、15这三个数组成比例，x的值是。3、若5:2:ba且acb2，则cb:=4、已知yx32，则yx:=；yxyx22=；若x比y大4，则x=，y=。5、比例尺通常写成前项是（）的比。除数值比例尺之外，还有（）比例尺。6、学校操场长800米，宽500米，如果画在比例尺是1：1000的图纸上，长应画（）厘米，宽应画（）厘米，图形面积是实际面积的（）。7、一张设计图的比例尺是20：1，在图纸上量得一个零件长40厘米，这个零件实际长（）。8、景山学校操场长200米，宽150米，画在练习本上，选择（）的比例尺比较合适。9、如下图，两个完全相等的三角形，把每个三角形分成两部分，并标有各自的面积。则（）x=（）y，x：y=（）：（）。10、一列火车3小时可行240千米，按照这样的速度继续行驶560千米，还需小时。三.例题讲解例1、甲数是乙数的23，乙数是丙数的45，甲、乙、丙三数的比是（）：（）：（）。解析：甲、乙两数的比2：3乙、丙两数的比4：5甲、乙、丙三数的比8：12：15练习1、甲数是乙数的45，乙数是丙数的58，甲、乙、丙三数的比是（）：（）：（）。2、光明小学将五年级的140名学生，分成三个小组进行植树活动，已知第一小组和第二小组人数的比是2：3，第二小组和第三小组人数的比是4：5。这三个小组各有多少人？例2、甲、乙两校原有图书本数的比是7：5，如果甲校给乙校650本，甲、乙两校图书本数的比就是3：4。原来甲校有图书多少本？解析：选择不变量甲、乙两校图书总数为单位1.甲校先后两次图书本数占两校图书总数的77+5和33+4，其分率差量对应650本图书。两校共有书650÷（433577＋－＋）=4200（本）甲校原有4200×577＋=2450（本）答：略。练习、小明读一本书，已读的和未读的页数比是1：5。如果再读30页，则已读和未读的页数之比为3：5。这本书共有多少页？例3、从前有个农民，临死前留下遗言，要把17头牛分给三个儿子，其中大儿子分得12，二儿子分得13，小儿子分得19，但不能把牛卖掉或杀掉。三个儿子按照老人的要求怎么也不好分。后来一位邻居顺利地把17头牛分完了，你知道这到底是怎么回事吗？解析：因为12+13+19＝1718﹤1，所以不能按照分率来分。先求出三个儿子分得牛得头数的连比，再按比例分配。三人分得牛只数比为91:31:21=9:6:2按比例分配：大儿子17×2699＋＋＝9（只）；二儿子17×2696＋＋＝6（只）三儿子17×2692＋＋＝2（只）答：略。练习、图书室取出一批书，按照一年级得12，二年级得13，三年级得17，三个年级共分得41本，各年级各得多少本？例4、两个相同的瓶子装满酒精溶液。一个瓶中酒精与水的体积之比是3：1，另一个瓶中酒精与水的体积之比是4：1。若把两瓶酒精溶液混合，混合液中酒精与水的体积之比是多少？解析：以每个瓶子的容积为单位1，分别算出酒精和水的总体积，再建立比。酒精体积为2031144133＝＋＋＋，水的体积为2－2031=209酒精与水的体积比为2031：209=31:9答：略。练习：两块一样重的合金，一块合金中铜与锌的比是2：5，另一块合金中铜与锌的比是1：3。现将两块合金合成一块，求出锌合金中铜与锌的比。例5、甲、乙两个学生放学回家，甲要比乙多走15的路，而乙走的时间比甲少111，求甲、乙两人速度的比。解析：速度比＝甲路程甲时间：乙路程乙时间=乙时间甲时间：乙路程甲路程。甲与乙的速度比为11:1211111515－：＋。答：略。练习1、小明和小芳各走一段路。小明走的路程比小芳多15，小芳用的时间比小明多18。求小明和小芳速度的比。2、制造一个零件，甲需6分钟，乙需5分钟，丙需4.5分钟。现在有1590个零件的制造任务分配给他们三个人，要求在相同的时间内完成，每人应该分配到多少个零件？【提示：效率比=（甲工作量÷甲工作时间）：（乙工作量÷乙工作时间）】3、两个服装厂一个月内生产服装的数量是6：5，两厂西服价格的比是11：10。已知两厂这个月内总产值为6960万元。两厂的产值各是多少万元？【提示：产值比=（甲厂产量×甲厂服装价格）：（乙厂产量×乙厂服装价格）】例6、A、B两种商品的价格比是7：3。如果它们的价格分别上涨70元，它们的价格比就是7：4，这两种商品原来的价格各是多少元？解析：两种商品的价格差相同，选作做单位“1”。那么A商品原价分率377，现价分率477，上涨了70元，对应分率为477-377，即可求出差价，再分别求出A、B的原价。70÷（477-377）=120（元）A:120×377=210(元)B:210-120=90（元）练习1、甲、乙两个建筑队原有水泥重量的比是4：3。甲队给乙队54吨水泥后，甲、乙两队水泥重量的比是3：4。原来甲队有水泥多少吨？例7、如图是甲、乙、丙三地的线路图，已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地的路程比是1：2。王刚以每小时4千米的速度从甲地步行到丙地，李华同时以每小时10千米的速度从乙地骑自行车去丙地，他比王刚早1小时到达丙地。甲、乙两地相距多少千米？甲丙乙解析：根据路程的比和速度的比求出时间的比，利用时间差1小时求出王刚和李华所用的时间，再求出各自所走的路程。王刚与李华所用时间比为4:510241：，李华所用时间为1÷4445小时，所以甲乙两地路程为4×（4＋1）＋4×10=60（千米）。答：略。练习1、一辆汽车在甲、乙两站间行驶，往返一次共用去4小时（停车时间不算在内）。汽车去时每小时行45千米，返回时每小时行30千米。甲、乙两地相距多少千米？例8、一个分数，分子和分母的和是122，如果分子、分母都减去19，得到的分数化简后为51，求原来的分数是多少？解析：倒推法。现在分子、分母的和是122－19×2=84，分子为84×14151＋，则原分子为14＋19=33，原分母为122－33=89，所以原分数为8933。答：略。练习：用弹簧称物体，称两千克的物体时弹簧全长12.5厘米，称6千克物体时弹簧长13.5厘米。那么，弹簧全长15厘米时，所称物体重多少千克？提示：称重质量与弹簧伸长量成正比。但考虑除去弹簧原有长度。例9、有两袋大米共重440千克，甲袋米吃了31，乙袋米吃了21，这时甲袋米的重量与乙袋米的重量之比为8：5，问甲、乙两袋大米原来各有多少千克？解析：方法一，方程法。等量关系为甲袋米×)311(：乙袋米×)211(＝8:5解设甲袋大米x千克。)311(x：(440－x)×)211(＝8:5，解得x=240，乙袋大米440－240=200方法二，甲袋米的)311(为8份，其全部相当于8÷)311(=12份，乙袋米的)211(为5份，其全部相当于5÷)211(=10份，甲袋米：乙袋米=12:10=6:5，按比例求出甲袋大米为千克－千克，乙袋大米为＋200240440240566440。练习1、学校某次入学考试，参加的男生人数与女生人数之比4：3，结果录取91人，其中男生与女生人数之比是8：5。在未被录取的学生中，男生与女生人数人数之比为3：4，那么报考的共有多少人？例10、如图，A、B、C三个齿轮咬合，当A转4圈时，B恰好转3圈，当B转4圈时，C恰好转5圈，那么这三个齿轮的齿数最小数分别是多少？解析：齿轮数和转的圈数成反比。先算出两两之间的齿轮数之比，在整合成连比。齿轮数的比为A:B=3:4,B:C=5:4,A:B:C=(3×5):(4×5):(4×4)=15:20:16所以A、B、C三个齿轮数最少为15个、20个、16个。四、课后作业1、红旗小学在校运会上买了甲乙两种钢笔作为单项第一、第二名的奖品，若两种钢笔共买了100支，甲钢笔每支9元，乙钢笔每支6元，且甲乙两种钢笔所用的钱总数相等，甲种钢笔买了_________支，乙种钢笔买了___________支。2、甲数与乙数比值是2720，甲数与丙数比值是2516，乙数与丙数比值是_________,3、三批货物共值152万元，第一、二、三批货物的重量比为2：4：3，单位重量的价格比为6：5：2，这批货物各值______、_________、_______万元。4、甲走的路程比乙走的路程多31，乙用的时间却比甲多41，则甲、乙的速度之比为______.5、一个长方形的长是宽的521倍，且这个长方形与一个正方形的周长之比为6：5，则这个长方形