水动力弥散方程数值解的研究现状

水动力弥散方程数值解的研究现状数值解法可以应用于复杂的情况，在实际应用中起着很好的效果。就书上的数值解法做一些简单介绍。（1）有限差分法有限差分法的基本思想是：将研究空间划分成许多小的网格，把时间分成许多小段t，每个网格中心点处的未知变量视为该网格上的平均值，然后利用差商近似代替微商，形成研究区域上离散分布的有限个代数方程，求解方程组便可得该t时刻上各格点上的取值。然后按照一个个的t逐个往前求解。其基本原理：就是将某点处的浓度函数的导数用该点处和其n个相邻点处的浓度值及其间距近似表示，常通过泰勒展开式建议浓度导数的近似。其求解地下水动力弥散问题的基本步骤：1）剖分渗流区，确定离散点；2）建立水的动力弥散问题的差分方程；3）求解差分方程。I、一维水动力弥散的差分解法根据一维水动力弥散方程，根据差分原理，采用向前、向后和中心差分3种不同的差分格式进行差分，可分别得到显式、隐式和Crank-Nicolson等3种不同的差分格式。显式是有稳定条件要求的，而隐式和Crank-Nicolson式都是无条件稳定的，都可以利用“追赶法”解三对角方程组求1nt时候的浓度值II、二维水动力弥散的差分解法以一维流动二维水动力弥散方程为依据，用差分近似代替方程中的偏导数，同理得到二维水动力弥散方程的显式、隐式和Crank-Nicolson3种不同的差分格式。III、一、二维水动力弥散的差分解法的比较相同点：都采用类似的差分原理进行差分，得到的差分格式的基本类型一致。区别：一维条件下3种格式采用“追赶法”求解，的三对角线方程组。而二维条件下所给出的三种格式组成的方程组是五对角线方程组。为了避免解五对角线方程组的困难，特提出交替方向隐式法，简称ADI方法。它的优点是：不是一次对整体矩阵求逆，而是分两次对三对角线矩阵求逆，这样就把二维问题简化为多次解一维问题。（2）有限单元法与有限差分法相同，有限单元法也是根据区域剖分和插值方法将水动力弥散的定解问题化为代数方程组进行求解的。本书主要介绍一维稳定流场中二维水动力弥散问题伽辽金有限单元法，伽辽金有限单元法在伽辽金法的基础上发展而来，是伽辽金法与有限单元法的结合。I、迦辽金法是寻找一个级数形式的试探函数作为微分方程的近似解，并使其满足给定的边界条件，并令剩余的加权积分为零，经过积分，最终得出伽辽金方程：dNJdxdyNtCNxCuyNyCDxNxCDLDDLLLTLL)(~~~~nL,...,3,2,1迦辽金法属于加权剩余法，且由于其他加权剩余法，应用更普遍。II、有限单元法用有限单元法求解地下水水动力弥散问题，首先要将区域单元均质剖分，常用的单元形状有三角形单元和矩形单元。本书中介绍的矩形有限元。在单元剖分后，随即构造单元基函数NL，且矩形单元满足：在L结点处，NL=1；在其他结点处，NL=0.基函数NL在各个矩形单元中都按双线性规律变化。III、伽辽金有限单元法将迦辽金方程与有限元剖分思想结合起来，就建立了矩形单元的迦辽金有限元方程。最终得出：①当L为内结点，则NL=0，故FL=0；②当L为第二类结点时，,,1122LDiLDLjFiLJLjJ。式中，,DiLJ为边界iL段上的弥散通量；,DLjJ为边界Lj段上是弥散通量。（3）修正方法在求解弥散方程中常出现过量和数值弥散，为克服它们引起的误差，提高数值解法的精确性和稳定性，课本中特意提出几种修正的数值方法（上游加权法、特征值方法、动坐标系方法方法与网格变形方法、随机步行法、引入人工扩散量的方法）。每一种方法都有各自的特点，因此在求解一个具体的对流-弥散问题时，究竟采用哪种方法，要分析具体的情况而确定。