江苏大学-常微分方程-3-5-可分离变量型方程及其解法

2.1可分离变量型方程的解法[教学内容]1.介绍导数、不定积分公式表及其意义;2.介绍求导和求不定积分的法则;3.引入齐次方程的概念及其求解方法;4.介绍其他可分离变量型方程及其解法.[教学重难点]重点是知道齐次方程如何引入新的因变量化为分离变量型方程，难点是如何根据方程的形式引入新的变量变换使得新方程为可分离变量型方程.[教学方法]自学1、2；讲授3、4，5课堂练习[考核目标]1.会熟记、记准导数公式和积分公式;2.知道求导法则和积分法则，并熟练、正确计算函数的导数和不定积分;3.知道齐次方程的形式)xyf(dxdy，并会用变换xyu，将原方程化为变量可分离型方程;4.知道探照灯形状设计问题及其求解步骤和方法;5.知道如何将函数方程或积分方程求解问题化归为微分方程来求解.1.导数公式和积分表的意义小学时大家熟记乘法口诀表，这是小学、中学数学乘、除运算的基础，要不然，买2斤苹果3斤梨子，都不知道该付给商贩多少钱。大学时大家关心的是函数，其中求导和求积分是两个重要的运算，函数的不少性质需要求助于这两种运算的结果，比如单调性、凸凹性、曲线的长度等.（导数表参见《数学分析上》P101基本初等函数的导数公式，积分表参见《数学分析上》P180列表）练习17.（1）合上书本，写出基本初等函数的导数公式和不定积分公式.（2）双曲正弦2eeshxxx，双曲余弦2eechxxx，(有的教材用sinhx和coshx表示).证明：1xshxchchx,(shx)'shx,(chx)'22.2.求导法则和积分法则碰到的函数成千上万，不可能记住所有这些函数的导数(积分)公式，但你要会将这些函数的导数（积分）转化为上面基本初等函数的导数（积分）来算，这就要知道求导（积分）法则.对于一元函数f(x)y而言，可导性和可微性是等价的，(x)'fdxdy(x)dx'fdy，导数也称为微商，原因是(x)'f是y的微分与x微分的商.下面就给出求导、求微分、求积分法则.设g(x)vf(x),u均可导，则(x)'g(x)'fg(x))'(f(x),dvduv)d(u；相应（1）dvduv)d(u;(x)'g)f(x(x)g(x)'fg(x))'(f(x),dvuduvv)d(u；于是相应地有（2）dvuduvv)d(u;(x)g'(g(x))'f(g(x))(fdxd，g(x)vdv,)v('fd(f(g(x)))；于是相应地有（3）(x)dxg'(g(x))'fdv(v)'fd(f(g(x)))（从左往右，从右往左，不同思路,都要会）例18.求下列积分(a)6)5x(x3)dx(2xI21;(b)221))(x1(x3)dx(2xI;(3)教材P32例3.解：(1)(a)记f(x)3)2)(x(x3)(2x6)5x(x3)(2x2，将f(x)分解为简单分式的和:3xB2xAf(x),其中,13x32xA2x32x32xB3x，于是，C|2x|ln|3x|3lndx3x3dx2x1I1.(b)记g(x)21))(x1(x3)(2x，23211)(xA1xA1xAg(x)，其中,4/11)(x32xA1x21,2/51)(x32xA1x3系数2A确定如下，取x=0(不同于-1,1)，则15/21A11/43g(0)2，解得1/4A2.因此，C1)(x125|1x|ln41|1x|ln41I2.例19.求下列积分(a)dtlnttI3;(b)dtsinttI4;(c)dtetIta5.(2)解：(a)C4t-lnt2tdtt12t-lnt2tlnt)d(2t-lnt2t/2)d(tlntI22222223.(b)...d(sint)2tsint2t)2td(sintI2224此路不通！Csinttcos-ttdtcostcostt)d(t)(-cost)cost(t)d(-costI4.(c)作为练习.例20.求下列积分(a)3/2266)3x(x3)dx(2xI;(b)dxx1I27.解：(a)令3)dx,2x(dv6,3xxv2于是有C2vCv13/21dvvvvdI1/213/23/23/26.(从右往左)(b)令dttcosdxsint,x，于是有C42tsin2t4d(2t)2tcosdt21dt22tcos1tdtcostcosI7.作业18.求下列方程的通解.(1)21)2)(x(x1)(xdxdy;(2)22x11)x(ydxdy;(3)2x2e1xxdxdy;3.可分离变量型方程形式、齐次方程形式及其求解方法（1）可分离变量型方程形式：(y)f(x)dxdy，其中(y)f(x),连续.求解方法：(1)求出0(y)的根0yy，常函数0yy也是方程的解；(2)0(y),分离变量f(x)dx(y)dyf(x)dx,(y)dy.例21.求解下列方程：(a)2y1dxdy;(b)ylnydxdy;(c)cotxytandxdy.解：(a)令2y1=0，得到1y；当0y12时，原方程改写为,dxy1dydx,y1dy22于是，C)sin(xyC,xyarcsin为所求的通解，此外，1y也是方程的解.(b)ylny的定义域为0}{y，令ylny=0，得到1y.当0ylny时，Cx|yln|ln,dxylnydydx,ylnydy即为所求通积分，另外1y也是方程的一个解.(c)令0ytan，解得Zk,kπy.当0ytan时，xcossinxdxysinydycos,xcossinxdxysinydycos,cotxdxytandy，于是得到CeC~,xcos1C~ysinC,|xcos|ln|ysin|ln为所求的通积分，另外，Zk,kπy也是方程的解.作业19.求解如下方程：)yx(1dxdyy2.(2)齐次方程的形式及其解法称形如xyfdxdy为齐次方程，解法如下：令dxduxudxdyux,y,xyu，于是新方程为xuf(u)dxdu，这是可分离变量型方程.例22.求解方程(a)xytanxydxdy;(b)0xy,xy2dxdyx.解：（a)令utanudxduxudxdyux,y,xyu，于是utandxdux.令0utan，解得Zk,kπu.当0ytan时，xdxusinuducos,xdxusinuducos,xdxutandu，于是C|x|ln|usin|ln.返回原变量得到，C|x|ln|xysin|ln.另外Zkx,kπy也是方程的解.(b)改写原方程为xyxy2dxdy，这是个齐次方程.令u2udxduxudxdyux,y,xyu，即u2dxdux.当0u时，xdxu2du，C|x|lnu,xdxu2du，返回原变量得到，C|x|lnxy为所求的通积分.另外，u=0对应的y=0也是方程的一个解.例23.求解方程(a)yxyxdxdy;(b)3-yx1yxdxdy.解：(a)这是改写为齐次方程y/x1y/x1dxdy，令u1u1dxduxudxdyux,y,xyu，即u1u-2u1dxdux2.(i)令0u-2u12，解得212442u.(ii)当0u-2u12时，xdxu-2u1u)du2(2-21-,xdxu-2u1u)du(122，于是-2C|x|2ln|u-2u1|lnC,|x|ln|u-2u1|ln21-22，得到2C22e)u-2u1(x，返回原变量得到，原方程的通积分为2C22eC~,C~y2xyx为任意正实数.另外，21u对应两条直线)x21(y也是方程的解.(b)通过线性变换可以将原方程化为(a)的情形.具体做法(参见教材P38例7.)作业20.教材P42习题1（6）、（9）；教材P43习题2(3)、(7).（3）常见可经变量替换化为可分离变量型方程例25.求解下列方程：(a)yxexydxdy;(b)2yx5yxdxdy;(c)2522336y3yy3xx012xy2xdxdy.解：(a)令dxdyxydxdvy,xv，改写原方程为yxexydxdyx，于是，vexdxdv.(以下略)(b)令v7v7v1dxdy1dxdv2,yxv，新方程为.v7dxdv.(以下略)(c)改写方程为2yx5yx2xdxdy3y32322，令23xv,yu，新方程为2vu5vudvdu.注解：更多通过变换化为可分离变量型方程的例子（参见教材P38第一段，P43习题3.）4.应用题例26.探照灯反射镜面的形状设计问题（参见教材P41例9）思路：（1）将三维空间曲面约化为平面曲线；（2）建立坐标系，将曲线放在坐标系内，讨论曲线的方程；（3）根据设计要求建立曲线的微分方程；（4）方程求解参见例24.例27.物体在空气中下落与特技跳伞假设质量为m的物体在空气中下落，空气阻力物体速度的平方成正比，比例系数为k0.以铅直向下直线为正向，建立坐标轴x轴，记x(t)表示时刻t时2物体的位置，则由牛顿第二定律有2xkgmxm，引入速度xv，则v满足的方程为2vmkgdtdv.先考虑特技跳伞问题，假设跳伞员开伞前阻尼系数为1k，开伞后阻尼系数为12kk，在给定高度1T00T,f(t)dtH1为落地时间，如何掌握开伞时间T使得降落时间1T最小且有安全的降落速度1v这是一个有趣的数学问题.（参见丁同仁、李承治《常微分方程教程》P27例3）例24.求解方程22yxxydxdy.解：(1)当x0时，改写为2y/x)(11y/xdxdy.令2u11udxduxudxdyux,y,xyu，即22u11u1udxdux.(i)当u0时，xdxu1u)duu1(1,xdxu1u)duu1(12222.)1u1u1-ln(uln1u1)u1d(-uln1u1uduulnu1uduudu22222+C于是，Clnx)u1ln(-12，返回原变量得到C)yxln(-x22，-C22eC~x,C~yx，化简得到x.C~2C~y22(ii)当u0时，xdxu1u)duu1(1,xdxu1u)duu1(12222.)1u1u1ln(u)ln(-1u1)u1d(u)ln(-1u1udu-ulnu1uduudu22222+C，于是，Clnx)u1ln(-12，返回原变量同样得到x.C~2C~y22(iii)当u=0时，y=0也是方程的一个解.(2)当x0时，改写为2y/x)(11y/xdxdy.令2u11udxduxudxdyux,y,xyu，即22u11u1udxdux.(i)当u0时，xdxu1u)duu1(1,xdxu1u)duu1(12222.)1u1u1ln(uln1u1)u1d(-uln1u1uduulnu1uduudu22222+C,于是，Cx)ln(-)u1ln(1-2，返回原变量