江苏省南京市苏教版高一数学下期末复习系列(五)必修四

第1页共12页高一下期末复习系列（五）必修四部分一．填空题1..函数2()sinsincos1fxxxx的最小正周期是，单调递减区间是．2．已知α∈π2，π，sinα＋cosα＝－15，则tanα＋π4＝________.3．已知α，β∈π3，5π6，若sinα＋π6＝45，cosβ－5π6＝513，则sin(α－β)的值为________．4.将函数()sin2fxx的图像向右平移(0)2个单位后得到函数()gx的图像，若对满足12()()2fxgx的1x，2x，有12min3xx，则5．已知cos4α－sin4α＝23，且α∈0，π2，则cos2α＋π3＝________.6．有下列命题：①已知a，b是平面内两个非零向量，则平面内任一向量c都可表示为λa＋μb，其中λ，μ∈R；②对平面内任意四边形ABCD，点E，F分别为AB，CD的中点，则2EF→＝AD→＋BC→；③a＝(1，－1)，A，B为直线x－y－2＝0上的任意两点，则AB→∥a；④已知a与b夹角为π6，且a·b＝3，则|a－b|的最小值为3－1；⑤a∥c是(a·b)·c＝a·(b·c)的充分条件.第2页共12页其中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．7.已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值与最小值的和为________．8.设O是△ABC的外心(三角形外接圆的圆心)．若AO→＝13AB→＋13AC→，则∠BAC的度数等于________．9.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在CD上，若AB→·AF→＝2，则AE→·BF→的值是________．10．已知|OA→|＝1，|OB→|＝2，∠AOB＝2π3，OC→＝12OA→＋14OB→，则OA→与OC→的夹角大小为________．11.如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，BG→＝2GO→，若CD→∥AG→，且AD→＝15AB→＋λAC→(λ∈R)，则λ的值为________．12.在Rt△ABC中，CA＝CB＝2，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝2，则CM→·CN→的取值范围为________．13.在等腰梯形ABCD中,已知//,2,1,60ABDCABBCABC,动点E和F分别在线段BC和DC上,且,1,,9BEBCDFDC则AEAF的最小值为.第3页共12页14.若tan2tan5，则3cos()10sin()5_________15.已知1,,ABACABACtt，若P点是ABC所在平面内一点，且4ABACAPABAC，则PBPC的最大值等于_____________二．解答题16.已知函数22sinsin6fxxx，Rx(I)求()fx最小正周期；(II)求()fx在区间[,]34pp-上的最大值和最小值.17.某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2fxAx在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x0π2π3π22π第4页共12页xπ35π6sin()Ax0550（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()fx的解析式；（Ⅱ）将()yfx图象上所有点向左平行移动(0)个单位长度，得到()ygx的图象.若()ygx图象的一个对称中心为5π(,0)12，求的最小值.18.在平面直角坐标系xoy中，已知向量22,22m，sin,cosnxx，0,2x．（1）若mn，求tanx的值；（2）若m与n的夹角为3，求x的值．19.已知向量OA→＝(λcosα，λsinα)(λ≠0)，OB→＝(－sinβ，cosβ)，其中O为坐标原点．(1)若β＝α－π6，求向量OA→与OB→的夹角；(2)若|AB→|≥2|OB→|对任意实数α，β恒成立，求实数λ的取值范围．第5页共12页20..已知函数f()x的图像是由函数()cosgxx=的图像经如下变换得到：先将()gx图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2p个单位长度.(Ⅰ)求函数f()x的解析式，并求其图像的对称轴方程；(Ⅱ)已知关于x的方程f()g()xxm+=在[0,2)p内有两个不同的解,ab．（1)求实数m的取值范围；（2)证明：22cos)1.5mab-=-(第6页共12页答案一、填空题1.【答案】，]87,83[kk，Zk.【解析】1cos2sin223()1sin(2)22242xxfxx，故最小正周期为，单调递减区间为]87,83[kk，Zk.2.解析由sinα＋cosα＝－15两边平方得1＋2sinαcosα＝125，∴2sinαcosα＝－2425，∵π2＜α＜π，此时sinα＞0，cosα＜0，sinα－cosα＝－2＝1－2sinαcosα＝1＋2425＝75，联立得sinα＋cosα＝－15，sinα－cosα＝75，解得sinα＝35，cosα＝－45，∴tanα＝sinαcosα＝－34，∴tanα＋π4＝1＋tanα1－tanα＝1－341＋34＝17.3.解析由题意可得α＋π6∈π2，π，β－5π6∈－π2，0，所以cosα＋π6＝－35，sinβ－5π6＝－1213，所以sin(α－β)＝－sinα＋π6－β－5π6＝－45×513－－35×－1213＝1665.答案16654.【解析】向右平移个单位后，得到)22sin()(xxg，又∵2|)()(|21xgxf，∴不妨kx2221，mx22222，∴)(221mkxx，又∵12min3xx，∴632第7页共12页5.解析∵cos4α－sin4α＝(sin2α＋cos2α)(cos2α－sin2α)＝cos2α＝23，又α∈0，π2，∴2α∈(0，π)，∴sin2α＝1－cos22α＝53，∴cos2α＋π3＝12cos2α－32sin2α＝12×23－32×53＝2－156.答案2－1566.解析对于①，注意到当a，b共线时，结论不正确；对于②，注意到EF→＝EA→＋AD→＋DF→，EF→＝EB→＋BC→＋CF→，EA→＋EB→＝CF→＋DF→＝0，因此2EF→＝AD→＋BC→，②正确；对于③，取点A(0，－2)，B(2,0)，则AB→＝(2,2)，此时AB→＝(2,2)与a不共线，因此③不正确；对于④，依题意得|a|·|b|cosπ6＝3，|a|·|b|＝2，|a－b|2＝|a|2＋|b|2－23≥2|a|·|b|－23＝4－23，因此|a－b|的最小值是4－23＝3－1，④正确；对于⑤，注意到，当a∥c时，若a，c中有一个为0，等式显然成立，若a，c均不为0，可设c＝ka，则有(a·b)·c＝(a·b)·ka＝a·(b·ka)＝a·(b·c)，即由a∥c可得(a·b)·c＝a·(b·c)；反过来，由(a·b)·c＝a·(b·c)不能得知a∥c，因此“a∥c”是“(a·b)·c＝a·(b·c)”的充分不必要条件，⑤正确．综上所述，其中正确的是②④⑤.答案②④⑤7.解析由题意可得a·b＝3cosθ－sinθ＝2cosθ＋π6，则|2a－b|＝－2＝4|a|2＋|b|2－4a·b＝8－8cosθ＋π6∈[0,4]，所以|2a－b|的最大值与最小值的和为4.答案48.解析取BC的中点D，连接AD，则AB→＋AC→＝2AD→.由题意得3AO→＝2AD→，∴AD为BC的中线且O为重心．又O为外心，∴△ABC为正三角形，∴∠BAC＝60°.答案60°9.解析依题意得AE→·BF→＝(AB→＋BE→)·(AF→－AB→)＝AB→·AF→－AB→2＋BE→·AF→－BE→·AB→＝2－2＋1×2－0＝2.答案210.解析以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，与OA垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系．则A(1,0)，B(－1，3)，OC→＝12OA→＋14OB→＝14，34.设OA→，OC→的夹角为θ，θ∈[0，π]，则cosθ＝OA→·OC→|OA→||OC→|＝1412＝12，所以θ＝π3.答案π311.解析因为CD→∥AG→，由向量共线定理可得存在实数k，使得CD→＝kAG→.又CD→第8页共12页＝AD→－AC→＝15AB→＋(λ－1)AC→，又由BO是边AC上的中线，BG→＝2GO→得点G为△ABC的重心，所以AG→＝13(AB→＋AC→)，所以15AB→＋(λ－1)AC→＝k3(AB→＋AC→)，由平面向量的基本定理可得15＝k3，λ－1＝k3，解得λ＝65.答案6512.解析以点C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(2,0)，B(0,2)，斜边AB所在直线的方程为x＋y＝2，x∈[0,2]．因为MN＝2，则可设M(x,2－x)，N(x＋1,1－x)，且x∈[0,2]，x＋1∈[0,2]，所以x∈[0,1]，此时CM→·CN→＝x(x＋1)＋(2－x)(1－x)＝2x2－2x＋2，x∈[0,1]，由二次函数图象可得x＝12时，CM→·CN→取得最小值32；当x＝0或1时，CM→·CN→取得最大值2，所以CM→·CN→的取值范围是32，2.13.【答案】2918【解析】因为1,9DFDC12DCAB，119199918CFDFDCDCDCDCAB，AEABBEABBC，19191818AFABBCCFABBCABABBC，221919191181818AEAFABBCABBCABBCABBC19199421cos1201818211721172929218921818当且仅当2192即23时AEAF的最小值为2918.第9页共12页BADCEF14.由已知，3cos()10sin()533coscossinsin1010sincoscossin5533costansin1010tancossin5533coscos2sinsin510510sincos55=155(coscos)(coscos)21010101012sin253cos103cos1015.【解析】以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)Bt，(0,)Ct，1AP（，0)+4(0,1)=(1,4)，即1P（，4)，所以11PBt=（，-4)，1PC=（，t-4)，因此PBPC11416tt117(4)tt，因为114244tttt，所以PBPC的最大值等于13，当14tt，即12t时取等号．二、解答题16.【解析】(I)由已知，有1cos21cos211313()cos2sin2cos2222222xxfxxxx311sin2cos2sin24426xxx.所以()fx的最小正周期22T.(II)因为()fx在区间[,]36pp--上是减函数，在区间[,]64pp-上是增函数，第10页共12页113(),(),()34624