双曲线的简单性质课件ppt

第三章§33.2理解教材新知把握热点考向应用创新演练知识点考点一考点二考点三如图是阿联酋阿布扎比国家展览中心(ADNEC)．阿布扎比是阿联酋的首都，这个双曲线塔形建筑是中东最大的展览中心．它的形状就像一条双曲线．这是双曲线在建筑学上的应用，要想让双曲线更多更好的为生活、工作所应用，我们必须研究双曲线的性质．问题1：双曲线的对称轴、对称中心是什么？提示：坐标轴原点．问题2：双曲线的离心率越大，双曲线就越开阔吗？提示：是．离心率越大，ba越大，双曲线就越开阔．标准方程图像x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)双曲线的性质标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)性质焦点焦距范围顶点对称性对称轴：、对称中心：轴长实轴长＝，虚轴长＝*渐近线离心率F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)|F1F2|＝2cx≥a或x≤－a，y∈Ry≥a或y≤－a，x∈R(－a,0)，(a,0)(0，－a)，(0，a)x轴、y轴坐标原点2a2bxa±yb＝0或y＝±baxxb±ya＝0或y＝±abxe＝(e＞1)1椭圆有四个顶点，而双曲线有两个顶点．2．双曲线有两条渐近线，双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为x2a2－y2b2＝0(a0，b0)．3．双曲线的中心、虚轴的一个端点和实轴的一个端点构成一个直角三角形，这个直角三角形的三边满足关系式c2＝a2＋b2.[例1]求双曲线4x2－y2＝4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程．[思路点拨]先将双曲线的形式化为标准方程，再研究其性质．[精解详析]将双曲线方程4x2－y2＝4化为标准方程x2－y24＝1，∴a＝1，b＝2，∴c＝5.因此顶点为A1(－1,0)，A2(1,0)；焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)；实半轴长是a＝1，虚半轴长是b＝2；离心率e＝ca＝51＝5；渐近线方程为y＝±bax＝±2x.[一点通]由双曲线的标准方程，求双曲线的有关性质的步骤是：先将双曲线方程化为标准形式x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1，再确定a，b的值(注意它们的分母分别为a2，b2，而不是a，b)，进而求出c，再对照双曲线的几何性质得到相应的答案．1．已知双曲线x216－y2b2＝1(b0)的实轴的一个端点为A1，虚轴的一个端点为B1，且|A1B1|＝5，则双曲线的方程是()A.x216－y225＝1B.x216－y225＝－1C.x216－y29＝1D.x216－y29＝－1解析：由双曲线方程知A1(4,0)，B1(0，b)，由|A1B1|＝5得42＋b2＝25，∴b＝3.故双曲线方程为：x216－y29＝1.答案：C解：把方程化为y216－x29＝1，∴a＝4，b＝3，c＝5.∴实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3，焦点坐标(0，－5)，(0,5)；离心率e＝ca＝54，渐近线方程为y＝±43x.2．求双曲线16x2－9y2＝－144的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程．[思路点拨]由双曲线的几何性质，列出关于a、b、c的方程，求出a、b、c的值．[例2]求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)实轴长为16，离心率为54；(2)双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)．[精解详析](1)设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．由题意知2a＝16，ca＝54，c2＝a2＋b2，解得c＝10，a＝8，b＝6，所以双曲线的标准方程为x264－y236＝1或y264－x236＝1.(2)设双曲线方程为：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．由已知得a＝3，c＝2，∴b2＝c2－a2＝1.∴双曲线的标准方程为：x23－y2＝1.[一点通]根据双曲线的性质求双曲线的标准方程时，一般采用待定系数法，首先要根据题目中给出的条件，确定焦点所在的位置，然后设出标准方程的形式，找出a、b、c的关系，列出方程求值，从而得到双曲线的标准方程．3．如果双曲线的两个焦点分别为F1(－3,0)，F2(3,0)，离心率e＝3，则该双曲线的方程为________．解析：设双曲线方程为：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．∵ca＝3，c＝3，∴a＝3，b2＝6，双曲线方程为：x23－y26＝1.答案：x23－y26＝14．(1)已知双曲线的焦点在y轴，实轴长与虚轴长之比为2∶3，且经过P(6，2)，求双曲线方程；(2)已知焦点在x轴上，离心率为53，且经过点M(－3，23)的双曲线方程．解：(1)设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．依题意可得ab＝23，4a2－6b2＝1，⇒a2＝43.b2＝3.故所求双曲线方程为34y2－13x2＝1.(2)设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．∵e＝53，∴e2＝c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2＝259，∴ba＝43.9a2－12b2＝1，解得a2＝94，b2＝4.∴所求的双曲线方程为x294－y24＝1.[例3]已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，求双曲线C的离心率．[思路点拨]确定四边形中为60°的内角，通过解三角形得a，b，c的关系，进而求出离心率．[精解详析]设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，如图所示，由于在双曲线中cb，故在Rt△OF1B2中，只能是∠OF1B2＝30°，所以bc＝tan30°，c＝3b，所以a＝2b，离心率e＝ca＝32＝62.[一点通]双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)中有三类特殊点：焦点(±c,0)、顶点(±a,0)、虚轴的两个端点(0，±b)，求双曲线的离心率的关键是找出双曲线中a、c的关系，在用几何图形给出的问题中要善于利用几何图形的性质分析解决．5．双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为()A．(1,3)B．(1,3]C．(3，＋∞)D．[3，＋∞)解析：由双曲线的定义知，|PF1|－|PF2|＝2a.又|PF1|＝2|PF2|，∴|PF2|＝2a，|PF1|＝4a.∵|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|(当P为双曲线右顶点时取等号)．，∴6a≥2c.∴ca≤3.又e1，∴1e≤3.答案：B解析：由题意得4a＝2b＋2c，即b＝2a－c，则b2＝4a2－4ac＋c2＝c2－a2，∴5a－4c＝0，e＝ca＝54.答案：546．双曲线的虚轴长、实轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率为________．7．双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两个焦点分别为F1、F2，以F1F2为边作等边△MF1F2.若双曲线恰好平分三角形的另两边，则双曲线的离心率为________．解析：如图，点N为MF2的中点，且在双曲线上，利用双曲线的定义即可求解．|F1N|＝3c，|NF2|＝c.又∵|NF1|－|NF2|＝2a，即3c－c＝2a.∴e＝ca＝23－1＝3＋1.答案：3＋11．由已知双曲线的方程求双曲线的性质时，注意首先应将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点所在的位置，防止将焦点坐标和渐近线方程写错．2．注意双曲线性质间的联系，尤其是双曲线的渐近线斜率与离心率之间的联系，并注意数形结合，从直观入手．3．椭圆、双曲线的标准方程都可写成Ax2＋By2＝1的形式，当A0，B0且A≠B时表示椭圆，当AB0时表示双曲线．