材料物理化学习题

共13页第1页一、限做题（每题10分计70分）1、计算FCT（晶格常数为a,a,c）与BCT（晶格常数为a,a,c）晶格中（hkl）晶面的晶面间距d(hkl)与d(hkl)，并图示说明FCT晶格与BCT晶格是等价的。答：考虑一个正交Bravais晶格，图中所示的是与通过坐标原点的(hkl)晶面最近邻的(hkl)晶面，该晶面在x,y,z三个坐标轴上的截距分别为a/h,b/k和c/l。晶面间距d(hkl)是上述两晶面间的垂直距离。假定(hkl)晶面的法向矢量d(hkl)与x,y,z三个坐标轴的夹角为1，2和3，had/cos1，kbd/cos2，lcd/cos3为d(hkl)的方向余弦。由于1coscoscos322212，故22222221clbkahdcdlbdkadh因而2222221)(clbkahhkld（3分）对FCT：222221)(clakhhkld（1分）对BCT：222221)(clakhhkld（1分）xyz123da/hb/kc/l共13页第2页（3分）两个FCT单胞ABCD-A’B’C’D’和BEFC-B’E’F’C’，G与H和G’与H’为上下表面中心原子，O为BB’C’C面中心原子。可见，GBHC-G’B’H’C’为一个BCT单胞，其中O为体心位置。AB=BC=a,AA’=c,GB=BH=a22=a’,BB’=c=c’,GBH=BHC=GG’B=90。因此，FCT与BCT是等价的。（2分）2、考虑一个在T0K具有N个原子与NL(V)个空位的一维单原子固体，说明空位浓度分数nv(T)=NL(V)/N可以近似地表示为nvΔl/l0-Δa/a0，其中l0=Na0，为固体在T=0K时的长度，Δl为长度的变化，a0固体在T=0K时的晶格常数，Δa为晶格常数的变化。答：O=原子，V=空位T=0K时：N个原子，无空位。OOOOOOOO原子间距为a0，总长度为l0=Na0（2分）T0K时：N个原子，NL(V)个空位。OVOOOOVOO原子间距为a，总长度为l=l0+Δl（2分）Δl=l–l0=Δl热膨胀+Δl空位（1分）Δl热膨胀NΔa（1分）Δl空位NL(V)a（1分）因此，ΔlNΔa+NL(V)a（1分）由于aa0故nv(T)=NL(V)/N00aallaaNal（2分）3、分别在FCC与BCC金属中图示出称为“哑铃”的双原子Frenkel对间隙的位置。答：图中给出了FCC与BCC晶体结构中稳定的“哑铃”状的双原子Frenkel对间隙的位置，两个黑色的原子分享一个晶格位置。FCC中“哑铃”的轴沿100方向，BCC中“哑铃”的轴沿110方向。共13页第3页FCCBCC（5分）（5分）4、用Debye模型计算二维晶体的潜热。答：总模数为2N，其中N为原子数，2为可能的激化数。因此，2/2/22222DDAkkkkAdN，其中A为二维晶体的面积。故有：ANkD/2内能可表示为：1exp/2/222kkkAdUD应用skc并引进变量kcxs，有：DxxsdxexcAU023221单位面积的热焓为dTdUACA//1，因此1133022223DDxDsxxSBAeTkcdxexCTkC（8分）因此，对二维晶体在低温极限：22236SBACTkC（1分）在高温极限：ANkCBA/2（1分）共13页第4页5、考虑一个厚度为Δx的无限大平板状固体，其中某一元素的浓度梯度dC/dx在空间的分布不为常数。由于扩散作用，该元素原子以净流量J1由平板的一侧流入，以净流量J2由平板的另一侧流出。试由Fick第一定律推导出Fick第二定律。答：考虑如下图所示的浓度分布C(x,t)，其中浓度梯度dC/dx在空间的分布不为常数，因此净流量J(x,t)将随空间位置变化。由Δx=x2-x1薄层的一侧流进其中的净流量为J1，由另一侧流出其中的净流量为J2。（3分）由扩散产生的浓度分布随时间的变化率可由一维连续性方程给出：xJJxJJttxC21,（2分）由Fick第一定律有：dxdCDtxJ,（2分）因此，xCDxxdxdCxDdxdCxDttxC2211,（2分）此即dC/dx在空间的分布不为常数的情况下扩散的Fick第二定律。（1分）6、对一个具有四方对称性的晶体，如果让边长为a的立方样品达到热平衡，人们发现晶体外形会变为边长为a,b和b的四方形，求a与b。已知晶体(100)与(100)面的表面能为1，(010)、(001)、(010)和(001)面的表面能为γ2。答：ΔxJ1J2C(x)Cxaaa122a’b’b’122共13页第5页如图，假定初始态立方体的边长为a，故体积为Vi=a3。此时表面能为：222142aaUi（2分）发生四方变形后，对上下表面'ba，对高度'aa，故体积为2''baVf，此时表面能为：''4'2221babUf（2分）假定变形时体积不发生变化，32''abaVVVfi'/4'2221bVbUf（2分）将此式对b’求极小值，有：221'4'40'bVbbUf（2分）因此，3/112/'ab，3/221/'aa（2分）7、计算Si在1300K升华反应Si(s)Si(g)的平衡常数与Si(g)的平衡蒸气压Peq[Si(g),1300K]。答：molkJKgSiGf/766.2571300;0（1分）01300;0KsSiGf（1分）molkJTsSiGTgSiGTGffr/766.257,;000(T=1300K)（2分）而TsSiaTgSiPRTTGTKeqr,,exp0（2分）因此，K(1300K)=4.4Χ10-11（2分）假定固体Si的活度为1，即a[Si(s)]=1，那么Peq[Si(g),1300K]=K=4.40Χ10-11atm=4.85Χ10-6Pa（2分）共13页第6页二、选做题（选做2题，每题15分；共30分）1、考虑一个沿易轴方向磁化在零外加场下M=Ms的单畴单轴铁磁颗粒，其磁各向异性能密度为Ea=Ksin2，其中K0，为磁化强度M与易轴Ha之间的夹角。现在与易轴呈90的方向加一外加磁场H：（1）试说明颗粒各向异性能与静磁能密度的和为u()=Ksin2-μ0MHsin；（2）求与外加磁场大小H之间的关系；（3）画出磁化曲线。答：（1）在外加磁场H下，M=Ms的铁磁颗粒的静磁能密度为：sin)2cos(000HMHMHMussmag因此，各向异性能与静磁能密度的和为u()=Ksin2-μ0MHsin，（2）令0cossincos20HMKus，有两种可能的情况：情况1：cos=0（=90º），情况2：KHMs2sin0。为验证结果的稳定性，令0sincos2sin202222HMKKus，情况1.（=90º）：时成立，仅当KssHMKHHMKu00222.002情况2：将KHMs2sin0代入022u，得到0222Ku，也就是K0。所以由KHMs2sin0确定，直到sKMKHH02，当HHK时，=90º。（4）沿外加磁场H方向的磁化强度，即MSsin的磁化曲线见下图：HaHMs由第（2）问知，KHMs2sin0，即KHMMss2sin20，直到H=HK，这是一条斜率为KHMs220的直线。当HHK时，=90º，M平行于H。注意此处没有损失。按粗糙界面的连续方式进行；而以形成二维晶核方式进行的长大，在任何情况下其可能性都是很小的。这是因为在过冷度很小的时候，二维晶核不可能形成；当过冷度增大时，又易于按连续长大方式进行。（2分）8、推导成分过冷的判别式并求出成分过冷的过冷度。答：设液相线的斜率为Lm，则液相熔点温度分布梯度可表示为：''dxdCmdxdTLLL要保持平界面凝固，界面处液相中的实际温度梯度LG应大于等于液相熔点分布的梯度：0''xLLLdxdCmG（2分）共13页第7页由式)exp(1)'exp(1100NLLLLDvxDvCCCC求出'/dxdCL，)exp(1'00'NLLLxLDvCCDvdxdC（2分）将式)exp()1(000NLEDvkkkk整理后得稳定态凝固LC：)exp()1(000NLLDvkkCC（2分）最后得：)exp(1000NLLLLDvkkCDmvG（2分）此乃“成分过冷”判别式的通用式。对于液相中没有对流的情况，N→∞，LLLLDTkDkCmvG0000)1(式中0000/)1(kkCmTL为结晶温度间隔，即)()(000CTCTTSL，说明结晶温度间隔愈大，“成分过冷”的倾向愈大，平界面愈容易破坏。（2分）固液界面前沿不同位置处，其“成分过冷”的程度可表示为：qLTTxT)('式中qT为液相中的实际温度，'xGTTLiq，其中iT为界面处的实际温度，LG为液相中的实际温度梯度；液相线温度LT可表示为：LLmLCmTT。（2分）共13页第8页另外，当平界面、液相只有扩散情况下达到稳定态生长时，固-液界面的iT可表示为：00/kCmTCmTTLmLLmi。所以)]'exp(1[)1(000xDvkkCmTTLLiL将LT及qT的表达式代入式qLTTxT)('得')'exp(1)1(000xGxDvkkCmTLLL为求该C区间内的最大过冷度，令0'/dxTd，得000)1(ln'kDGkCvmvDxLLLL此处的最大“成分过冷”度为：])1(ln1[)1(000000maxkDGkCvmvDGkkCmTLLLLLL（4分）9、三个成分相同，但铸造温度和铸模材料不同的铸件得到三种横截面：A.粗等轴晶B.细等轴晶C.典型三层晶带组织，试解释为何产生不同的组织。其中A为高的浇注温度，导热性差的砂模；B为低的浇注温度，导热性差的砂模；C为适中的浇注温度，导热性好的砂模。答：在合金成分一定的情况下，通过控制温度梯度与凝固速度，可使结晶以平界面方式转变为宏观的胞状晶形式。随生长速度的增加，胞状晶转变为胞状树枝晶。从胞晶组织的发展过程看，随着vG/的减小，胞晶的生长方向开始转向优势的结晶方向，胞晶的横断面受晶体学因素的影响而出现凸缘结构；当vG/进一步减小，凸缘上又会出现锯齿结构，即通常所说的二次晶臂，出现二次枝晶臂的胞晶称为胞状树枝晶；当凝固速度足够大时，二次臂还会长出三次臂，通常将这种一次臂与热流方向平行高度分枝（三次及三次以上）的晶体称为柱状树枝晶。（10分）浇注温度高则温度梯度大，砂模导热性差则凝固速度慢，因此三个成分相同、但铸造温度和铸模材料在凝固过程中满足条件：（vG/）A（vG/）B（vG/）C，所以出现三种横截面：A.粗等轴晶B.细等轴晶C.典型三层晶带组织。（6分）共13页第9页10、根据凝固理论说明材料铸态晶粒度的控制方法。答：细化晶粒不仅能提高材料的强度和硬度，还能提高材料的塑性和韧性。工业上将通过细化品粒来提高材料强度的方法称为细晶强化。（3分）控制铸件的晶粒大小，是提高铸件质量的一项重要措施。细化铸件晶粒的基本途径