淳安中学高一数学竞赛班选拔考试试题[整理]

1淳安中学高一数学竞赛班选拔考试试题（考试时间100分钟，满分100分）班级姓名得分一、选择题（每题3分，30分）1．已知a为给定的实数，那么集合M＝｛x∈R|x2-3x-a2+2=0｝的子集的个数是（A）2（B）8（C）4（D）32.若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a5}，B={x|3≤x≤22}，则能使A（AB）成立的所有a的集合是()(A){a|1≤a≤9}(B){a|6≤a≤9}(C){a|a≤9}(D)3．根据图中骰子的三种不同状态显示的数字，推出？处的数字是（）A．1B．2C．3D．651?4123454．已知有理数x、y、z两两不等，则,,xyyzzxyzzxxy中负数的个数是()A.1个B.2个C.3个D.0个或2个5．乘积22221111(1)(1)(1)(1)23910等于().(A)125(B)21(C)2011(D)1076．某公司从2001年起每人的年工资主要由三个项目组成并按下表规定实施：若该公司某职工在2005年将得到的住房补贴与医疗费之和超过基础工资的25%，到2005年底这位职工的工龄至少是（）（A）2年（B）3年（C）4年（D）5年项目计算方法基础工资2003年1万元，以后每年逐增10%住房补贴按工龄计算：400元×工龄医疗费每年1600元固定不变27.若F(11xx)=x则下列等式正确的是（）.（A）F(-2-x)=-1-F(x)（B）F(-x)=11xx（C）F(x-1)=F(x)（D）F（F（x））=-x8．已知cba、、是实数，条件0:abcp；条件0:aq，则p是q的（）(A)必要不充分条件(B)充分不必要条件(C)充分必要条件(D)不充分也不必要条件9．已知四边形ABCD在映射f：),(yx→)2,1(yx作用下的象集为四边形DCBA。四边形ABCD的面积等于6，则四边形DCBA的面积等于（）A．9B．26C．34D．610.甲乙两人轮流在黑板上写下不超过10的正整数，规定禁止在黑板上写已经写过的数的约数，最后不能写的为失败者，如果甲写第一个，那么，甲写数字（）时有必胜的策略A．10B.9C.8D.6二、填空题（每题3分，30分）11．如果}66{}42,3,2,1{}2,{22aaaa，则a的值是。12.已知一个函数f(x),满足22))((2)()(yfxfyxf对任意的x和y都恒成立且0)1(f,则(2005)f=_____________.13．甲、乙、丙、丁、戊五位同学，看五本不同的书A、B、C、D、E，每人至少要读一本书，但不能重复读同一本书，甲、乙、丙、丁分别读了2、2、3、5本书，A、B、C、D分别被读了1、1、2、4次。那么，戊读了_______本书，E被读了______次。14.已知函数1,()0xfxx为有理数，，为无理数.0,()xgxx为有理数，1，为无理数.当xR时，_______,fgx_______.gfx15.方程)1|1(|322xxx的根是__________________.16．已知a为给定的实数，那么集合M＝｛x∈R|x2-3x-a2+2=0｝的子集的个数是17．已知：a、b、c都不等于0，且|abc|abc|c|c|b|b|a|a的最大值为m，最小值为n，则(m+n)2004＝_________.18．若n是正整数，定义n！=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1,设m=1！+2！+3！+4！+…+2003！+2004！，则m的末两位数字之和为19.小华、小亮、小红3位同学分别发出新年贺卡x、y、z张，如果已知x、y、z的最小公倍数是60；x、y的最大公约数是4；y、z的最大公约数是3，已知小华至少发出了5张贺卡,那么，小华发出的新年贺卡是张.20．不等式|x|32x24|x|+3＜0的解集是__________3三、解答题（40分）21.甲、乙两人到物价商店购买商品，商品里每件商品的单价只有8元和9元两种．已知两人购买商品的件数相同，且两人购买商品一共花费了172元，求两人共购买了两种商品各几件？（6分）22.长方形四边的长度都是小于10的整数(单位:厘米),这四个长度数可以构成一个四位数,这个四位数的千位数字与百位数字相同,并且这个四位数是一个完全平方数,求这个长方形的面积.（6分）23.在七数-1，-2，-3，1，2，3，4中任选一个数、两个数的积、三个数的积、…、七个数的积，试求它们的和.（6分）424.已知x，y，z是实数，a≥0且满足①x+y+z=a，②.212222azyx求证：0≤x≤,32a0≤y≤,32a0≤z≤.32a（6分）25．已知函数f(x)=x,222xx[t,t+1]的最小值是g(t),写出函数s=g(t)的表达式，并求g(t)的最小值。（8分）26.设P={不小于3的自然数}，在P上定义函数f如下：若nP,f(n)表示不是n的约数的最小自然数，例如f(7)=2,f(12)=5等等。现记集合f(n)的值域为集合M，求证：19M,88M.514.已知在凸五边形ABCDE中，∠BAE=3α,BC=CD=DE，且∠BCO=∠CDE=180°-2α，求证：∠BAC=∠CAD=∠DAE.（10分）15.某种绘图装置可沿横、纵、斜方向以每秒1cm的速度移动，该装置可在纸面上描出线来，也可以离开纸面在空中运行．现用这个装置绘制右边的图形，问至少要用几秒？图中各角均系直角，该装置离开纸面的时间略而不计．（1995年日本数学奥林匹克预选赛题2）（10分）参考解答一、选择题:ACCBAD二、填空题7.2或48.2005.59.1，510.[(]1fgx[()]0gfx11.2或3或0或－1三、解答题12.解（1）任选一个数的和：1+（-1）+2+（-2）+3+(-3)+4=4.(2)任选二个数的积(由于4×(-3)与4×3,…成对出现,这些积的和为0)的和为:1×(-1)+2×(-2)+3×(-3)=－14.(3).任选三个数的积(由于4×(-3)×(-2)与4×3×(-2),…成对出现，这些积的和为0)的和为：4×1×（-1）+4×2×（-2）+4×3×（-3）=-－56.（4）任选四、五、六、七个数的积的和分别为：1×（-1）×2×（-2）+2×（-2）×3×（-3）+1×（-1）×3×（-3）=49；1×（-1）×2×（-2）×4+2×（-2）×3×（-3）×4+（-1）×3×（-3）×4×1=1961×2×3×（-1）×（-2）×（-3）=－36；1×2×3×（-1）×（-2）×（-3）×4=－144.所以，所求的和为-1.法2（1+a）(1+b)(1+c)…（1+g）＝1＋（a＋b+c+…＋g）＋（ab＋bc＋…＋fg）＋…＋abc…g，取a＝－1，b＝－2，…，g＝4得（a＋b+c+…＋g）＋（ab＋bc＋…＋fg）＋…＋EABDC6abc…g＝－113.证明由①得z=a-x-y，代入②整理得.0)44()(44222aaxxyaxy此式可看作关于y的实系数一元二次方程，据已知此方程有实根，故有△=16（x-a）2-16（4x2-4ax+a2）≥0)23(16axx≥00≤x≤.32a同理可证：0≤y≤a32，0≤z≤a32法2：（z－a）2＝（x＋y）2，222212xyaz，由柯西不等式（x＋y）2≤2222(11)()xy（z－a）2≤2(2212az),∴3z2－2az≤0，a≥0∴0≤z≤a32同理0≤x≤,32a0≤y≤2.3a14.证明连结BD、CE.∵BC=CD=DE，∠BCD=∠CDE，∴△BCD≌△CDE.又∠BCD=180°-2α,∴∠CBD=∠CDB=∠DCE=∠DEC=α,∠CDE＝180°-3α∴∠CDE＋∠CAE=180°-3α+3α＝180°∴A、C、D、E四点共圆，同理A、C、D、B四点共圆.由于过A、C、D有且只有一个圆，∴A、B、C、D、E共圆.∵BC=CD=DE∴∠BAC=∠CAD=∠DAE=α.15解当图形成一笔画时用时最少．但上图有4个奇顶点，要使之成为一笔画，须用一条线段连接其中两个奇顶点．显然，用线段将AB连接，则由C开始到D结束构成一笔画图形，其中该装置在A到B部分离开纸面，这样用时最少，总共须用12+2秒.