灰色—马尔可夫模型在遂宁地区降水量中的应用1

灰色—马尔可夫模型在遂宁地区降水量中的应用陆鸿彬游泳（遂宁气象局，四川遂宁，629000）摘要：本文根据遂宁地区1961-2000年的降水量资料，通过年降水量与灰色预测结论的比较进行分级建立降水序列的分级标准，采用规范化的各阶自相关系数为权重，通过状态转移概率矩阵预测未来时段的降水状态，并应用级别特征值计算具体的降水量。通过建立的马尔科夫模型对遂宁地区2001-2011年降水量进行预测和检验，准确率较高，能够较好地满足中长期降水预报的误差要求。该方法客观、准确、可靠、简便，为遂宁区中长期降水的预测提供了新的解决途径。关键词：灰色预测；加权马尔科夫链；年降水量；预测1引言降水量是影响区域气候的重要气象因子，与蒸发量、地表返照率、积雪量等各种气象要素密切相关，同时也对人类生产生活活动有重要影响。在气象学、水文学中，降水量预测都是一项重要的研究工作。由于气象系统的复杂性、多样性，使得降水过程具有不确定性、较难精确预测的特点，尤其是对于较长时间段内的降水量的预测，更难以通过物理成因的分析来准确预测该时段内的降水量值。鉴于此，本文引入了灰色-马尔科夫链模型，以遂宁地区1961-2010年的全年降水量资料为例，探讨了灰色-马尔科夫链模型在遂宁地区年降水量预测中的应用。2、物理机制2.1GM(1,1)模型建模机理灰色系统是既含有已知的、又含有未知的或非确定的信息系统。对灰色系统进行预测的方法即为灰色预测法。灰色系统理论是从信息的非完备性出发研究和处理复杂系统的理论，它不是从系统内部特殊的规律出发去研究系统，而是通过对系统某一层次的观测资料加以数学处理，达到在更高层次上了解系统内部变化趋势、相互关系等机制的。灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相依程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展的趋势。2.2马尔科夫链马尔科夫过程一种典型的随机过程。该过程是研究一个系统的状况及其转移的理论。它是通过对不同状态的初始概率以及状态之间的转移概率的研究，来确定状态的变化趋势，从而达到对未来进行预测的目的。马尔科夫过程有两个基本特征：一是“无后效性”，即事物将来的状态及其出现的概率的大小，只取决于该事物现在所处的状态，而与以前时间的状态无关；二是“遍历性”，是指不管事物现在出于什么状态，在较长时间内，马尔科夫过程逐渐趋于稳定状况，而且与初始状况无关。用数学语言描述马尔科夫过程就是：设(),XttT为随机过程，若在121121,,,,()nnnnttttttttT时刻对()Xt观测得到相应的观测值,,,,nnxxxx121满足条件11221111()(),(),,()()()nnnnnnnnnnPXtxXtxXtxXtxPXtxXtx或1221122111;,,,,;,,,,;;XnnnnnnXnnnnFxtxxxxttttFxtxt则称此类过程为具有马尔科夫性质的过程或马尔科夫过程，简称马氏过程。其中12211221;,,,,;,,,,XnnnnnnFxtxxxxtttt代表在112211(),(),,()nnnnXtxXtxXtx的条件下时刻()nXt取nx值得条件分布函数。若把nt1时刻看成“现在”，因为121nntttt则nt就可以看成“将来”，122,,,nttt就当做“过去”。因此上述定义可表述为现在的状态1()nXt取值为1nx的条件下，将来状态()nXt的取值于过去状态122(),(),,()nXtXtXt的取值是无关的。2.3加权马尔科夫链预测模型的方法和步骤计算年降水量误差序列的各阶自相关系数211()()/()nknkkttktttrxxxxxxrk表示第k阶自相关系数，表示第t年的年降水量，表示近51年北京市年降水量的平均值，n为年降水量序列的长度。规范化各阶自相关系数，即：wk为各种滞时的马尔科夫链的权。1/(5)mkkkkwrrm以前面的m个时段的状态为初始状态，转移步数为1，2，⋯⋯m。结合相应的状态概率矩阵所对应的行向量，组成一个新的概率矩阵。将同一个状态的m项预测概率与所对应的加权相乘之后求和，即：()1mkikikpwpmax(pi，i∈E)所对应的状态即为该时段指标值的预测状态。3、实例分析遂宁市地处四川盆地中部丘陵区，位于涪江中游，是典型的农业区，属四川盆地亚热带湿润季风气候区，气候温和，季风气候显著，具有冬暖春旱、夏热秋凉的特征。雨量较为充沛，但分布不均，年季变幅大；4~10月为雨季，降雨量占全年雨量的89%左右；盛夏（7~8月）易产生局地对流性天气，降雨最为集中，常有暴雨洪涝灾害；因其地形地势、气候变化和区域环流等的共同作用，也常造成春旱、夏旱、伏旱和冬干发生，其干旱具有种类齐全、发生频繁、危害面积广、损失程度重、季节性强等特点。由于降水时间分布极为不均，极端事件频发，给社会经济发展和粮食农作物的生产造成严重损失，因此深入分析遂宁地区近几十年来的降水特征、变化规律，对该地区短期气候预测和保障农业持续稳定增长具有重要意义。3.1灰色预测选取1961-2011年遂宁市年降水量的数据作为预测的原始时间序列，记为(0)(0)(2)(0)((1),(2),,(51)Xxxx，其中)()0(kx表示第k1960年的遂宁年降水量，1,2,,51k。表11961~2010年遂宁市年降水量（单位：毫米）年份原始值年份原始值年份原始值年份原始值年份原始值1961891.51971753.719811191.7199110062001877.819621092.91972771.419821146.71992975.120021097.51963935.319731186.71983889.419931215.120031072.11964925.619741096.419841064.91994722.12004837.419651313.61975964.519851195.91995602.920051058.91966741.51976735.31986833.81996648.52006549.81967790.91977907.11987929.81997610.42007933.71968909.51978832.21988954.919981037.820088591969857.919791013.61989913.21999892.320099901970959.91980997.61980866.72000871.920101146.9为了消除序列的随机性，对原始序列进行一次累加，得到累加生成列)1(X，如图1所示。从图中能明显看出序列)1(X的平滑的指数增长形式。图1年降水量累加为此，利用上述灰色预测法，作序列)1(X的预测模型。计算过程通过在MATLAB软件中进行。图2年降水量实际值与灰色预测值对比从图2中可以看出，灰色预测的结果恰当的反映了遂宁年降水量的长期趋势。在进行模型的残差检验时，模型的相对残差序列中有较大的数，导致相对误差较大的原因是由于指标的上下波动，而不是预测值与实际值曲线的严重偏离，基于此，不采用灰色预测法进行模型修正，因为灰色预测得到的残差已经不是一组符号相同的数，根据灰色预测的原理，这样的修正已经没有什么意义了。因此本文根据年降水量波动的特点，采用马尔科夫法进行模型修正。3.2利用马尔科夫状态转移矩阵修正遂宁年降水量预测值从图2中可以获得，灰色模型预测得到的预测结果呈现递减的指数分布，恰当的反映了实际值的长期趋势，但没有反映出实际值本应出现的波动情况。此问题可以通过对灰色预测模型的结果进行马尔科夫链改进来提高其预测的准确性。马尔科夫链过程是以其发现者俄国著名的数学家马尔科夫命名的，其目的是根据某些变量的现在状态及其变化趋向，来预测它在未来某一特定期间可能出现的状态，从而提供某种决策的依据。在本文中，将利用长度为40年的降水时间序列对年降水量进行预测，并与实际观测值进行对比，评估加权马尔科夫链模型对遂宁地区降水量的预测效果。首先，本文以1961~2000年遂宁年降水量序列来预测2001年的年降水量，并与2001年的年降水量实际观测值进行对比。经计算，遂宁1961~2000年年降水量的均值为932.6mm，均方差为166.3mm，为了获得状态转移矩阵，首先需要确定遂宁年降水量的状态。根据马尔科夫链分析方法的应用经验和实际情况，按照年降水量与灰色预测结论的比较，可以划分为5种状态，详细情况列表如表2：表2遂宁年降水量状态划分状态名称状态特点状态区间包括年份年份总数1F旱ˆ20%XXX196619711976199419951996199720068年2F偏旱ˆ20%5%XXX1961196719691972197819831986199020049年3F正常ˆ5%5%XXX19631964196819701975197719871988198919992000200120072008201115年4F偏涝ˆ5%20%XXX19621974197919801984199119921998200220032005200912年5F涝ˆ20%XXX19651973198119821985199320107年注：表中X表示实际年降水量，Xˆ表示灰色预测值，X表示实际年降水量均值。在进行降水量的预测时，主要考虑利用步长为1~5的概率转移矩阵进行计算。转移矩阵P(k)的第i行第j列元素表示由状态i经k步转移至状态j的概率。统计得到步长为1~5的各概率转移矩阵。3.3对2001年遂宁年降水量预测和检验1996~2000年分别经过5~1步（年）状态转移即到达2001年，为了求得2001年的年降水量预测值，可根据1996~2000年降水量所处状态。根据公式，可以得到自相关系数，r1=0.1962，r2=-0.0386，r3=-0.0145.，r4=-0.106.，r5=0.0141，从而得到权重，w1=0.5311，w2=0.1045，w3=0.0392，w4=0.2871，w5=0.0381。据1996-2000年降水量及其相应的状态转移概率矩阵对2001年的降水量状态及其降水量进预测。计算结果见表3。表32001年加权马尔科夫预测结果初始年滞时权重12345200010.53110.09660.14480.193100.0483199920.10450.00950.01900.02850.01900.0095199830.03920.00980.00490.009800.0098199740.2871000.16400.08200199650.03810.010900.010900.0054pi加权求和0.12680.16870.40640.10100.0730由表3可知：当i=3时，pi=0.4064为最大值，这说明2001年的降水量状态为3（正常），即降水量区间为[868.4,959.8]，而2001年实况降水量为877.8mm。当η=1.15时，级别特征值为2.901，可以求出预测降水量为877.5mm，误差为0.04%。3.32001年到2011年遂宁年降水量预测和检验表42001~2011年降水量预测值与实际观测值对比表（单位：mm）年份马尔科夫预测值实况值误差(%)2001年877.5877.8-0.042002年910.11097.5-17.12003年966.91072.1-9.82004年971.6837.4162005年971.91058.9-8.22006年851.2549.854.82007年844.3933.7-9.62008年888.98593.52009年889.1990-102010年983.01146.9-14.32011年833.9892.4-6.6分析表4中的数