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西安电子科技大学2012年大学生数学建模竞赛题目:江豚个体数量及灭绝时间预测模型参赛队员1参赛队员2参赛队员3姓名学号学院专业电话Email摘要本文解决的是对长江江豚灭绝时间的预测以及保护的问题。近20年来,江豚种群量快速衰减,如不抓紧保护,长江江豚将会在10~15年出现功能性灭绝。为了解决此问题,本文建立了长江江豚个体数量随时间的变化的模型和江豚突发性死亡原因评估的模型,通过江豚个体数量变化模型预测出江豚功能性灭绝和彻底灭绝时间,通过江豚突发性死亡原因评估模型我们推测出了江豚突发性死亡的原因,最后给出了保护江豚的措施。对于问题一,因为题中所给的数据较少,所以我们通过查找资料得到1996年的江豚数量,对数据进行级比检验和平移处理后,我们采用灰色预测法建立GM(1,1)模型,我们以五年为一个时间间隔,初略预测出了1991,1996,2001,2006,2011,2016,2021,2026年的江豚数量,经过误差检验通过后,用四次拟合方法,对求出的七组数据进行拟合,得到了江豚个体数量随时间变化的连续图像。然后,我们通过对江豚生活习性和繁殖条件和主要栖息地的查证,得出了江豚出现功能性灭绝时个体总数大概为760头,而我们得到的江豚个体数量变化曲线中显示出2024年江豚个体数量锐减到761头,所以我们预测江豚13年后(2024年)将出现功能性灭绝对于问题二,本文在问题一中的模型基础上,以2024年为初始时间,考虑到出现功能性灭绝后,江豚将无法进行正常的有生性繁殖,且人为活动造成江豚死亡的概率变大,江豚数量减少的速度将加快,我们建立了江豚数量的加速灭绝模型,求解得到江豚数量在2031年左右减小到0。因此,我们得出江豚出现功能性灭绝至彻底灭绝的时间为6年。对于问题三,本文主要从人为因素和生存环境因素考虑江豚的突发性大量死亡情况。从长江水质污染,人类肆意采挖江砂、非法使用渔具等方面考虑,建立了对江豚死亡原因的分析模型。针对三月份江豚的大量死亡,我们通过模型分析,得到结论:该情况说明了人为破坏活动更频繁和江豚生存环境的恶化。对于问题四,我们通过第三问的分析并结合实际情况,给出了建立自然保护区、国家立法保护、人工帮助繁殖、保护水资源、实施禁渔这五方面的保护措施。关键词:灰色预测法功能性灭绝二项拟合江豚保护一问题重述江豚是目前长江里唯一的淡水哺乳动物,分布于长江中下游干流以及洞庭湖和鄱阳湖等区域,近20年来种群量快速衰减。资料显示,1991年长江江豚数量是2700多头;2006年,国际联合科学考察组经一个多月调查发现,江豚数量已不足1800头;2011年,它们的数量可能仅为1200余头,洞庭湖仅剩85头江豚。截止2012年,由于长江流域水体污染加剧、人类肆意采挖江砂、非法使用渔具等原因,长江江豚的生存和繁育受到严重影响。长江江豚的数量只剩下1200头,并且每年以6.4%的速度在减少,如不抓紧保护,长江江豚将会在10~15年出现功能性灭绝。请你查找相关资料,建立数学模型研究长江江豚种群数量,并回答如下问题。(1)长江江豚出现功能性灭绝的时间和数量。(2)长江江豚出现功能性灭绝至彻底灭绝的时间。(3)今年3月份以来,洞庭湖连续发现江豚死亡,这说明什么?(4)根据你的分析,给出保护这一珍稀物种的建议。二问题分析本文关键在于预测长江江豚个体数量的变化,由于近20年来,江豚的数量急剧下降,如不进行保护,则在未来的10-15年将会发生功能性灭绝,因此江豚种群数量的预测是关系到江豚的生存和保护的大问题。由于江豚个体数量受出生率,死亡率,繁殖能力,长江水质的污染,自然灾害,人为的捕获,人类肆意采挖江砂与非法使用渔具等众多因素的影响,而这些因数也可能时刻发生变化,难以确定,更难确定这些因素与江豚数量变化的定量关系。且题中所给的数据数量较少,我们只能在一定的假设条件(往往是一些经验及常识)下按照某种逻辑推理演绎而得到模型。这种模型并非是粮食作物生产问题在理论认识上的“翻版”,而只能看作是人们在认识上对实际问题的一种“反映”或“逼近”,也就是说它是一个抽象的灰色系统。因此,针对问题一,可以采用灰色预测法建立GM(1,1)模型,因为,灰色预测法至少需要4个数据,我们通过查找资料,得到了1996年江豚在长江中下游的数量.由于数据限制,灰色预测模型在分析江豚出现功能性灭绝和彻底灭绝时是以五年为一个时间间隔的,要得到具体每一年的江豚个体数量,可以通过拟合所得预测数据,得出具体每一年的江豚数量,与出现功能性灭绝的数量进行对比,就可以确定功能性灭绝的时间。针对问题二,江豚在出现功能性灭绝后,其个体数量变化规律必将发生较大变化,可以从江豚死亡速度在出现功能性灭绝后随时间大幅增加的角度出发,建立微分方程模型,对江豚从功能性灭绝到彻底灭绝进行重新精确的预测。针对问题三,可以从人为因素和环境因素(包括打沙船、捕鱼船和农药的影响,江豚的栖息地锐减,以及由于食物匮乏而导致的江豚死亡)角度出发,建立以人为和环境因素为主导的原因评估分析模型,定性研究他们与江豚突发性大量死亡之间的关系。针对问题四,可以考虑从建立自然保护区、国家立法保护、人工帮助繁殖、保护水资源、实施禁渔这五方面给出保护措施建议。三模型的假设(一)江豚在预测的时间内生活环境保持现有状况,没有人为改变。(二)江豚数量不因环境变化而发生急剧变化。(三)江豚是小群体形势生存。(四)江豚失去有生繁殖能力则出现功能性灭绝。(五)江豚小群体丧失有生繁殖能力,则江豚物种丧失有生繁殖能力。(六)使江豚在一个地域丧失有生繁殖能力的最少小群体数为2个。(七)江豚每个小种群的平均个体数为20个。四符号的约定(0)()xi江豚个体的实际数量()k在检验数据是否能进行灰色预测诗的偏差级比(0)Xi经平移处理后的江豚个体数目(0)ˆ()Xi江豚个体数量的预测值0()i预测江豚个体数量时产生的残差N功灭江豚出现功能性灭绝时的个体数目K栖长江江豚的主要栖息地个数min江豚产生功能性灭绝时,每个栖息地的最小群体个数n每个江豚小种群中个体的平均个数五模型的建立与求解5.1种群数量变化的灰色预测模型我们首先以五年为一个时间先给出一个时间间隔,建立灰色预测模型,对江豚种群数量以五年为一个周期进行一个大致的预测。5.1.1模型的分析本题给出了江豚种群在1991年、2006年、2011年的种群统计数量,具体值如下表:时间199120062011数量270017501250从数据看,江豚数量呈大致递减趋势,但由于数据较少,我们在采用灰色预测法时,至少需要四组数据,因此,我们还将查阅资料,得到几组江豚种群数量的数据。5.1.2模型准备根据本题已给的三组江豚种群在某一年的种群数量数据,和我们查阅资料得到的两组数据,我们最终得到五组江豚种群和时间的数据,如下表:时间19911996200120062011数量27002400200017501250我们假设时间1991年为1k,1991年的种群数量(0)(1)2700x,依此类推可得五组数据的相应表示为:00000(1)=2700(2)2400(3)=2000(4)=1750(5)=1250x、x、x、x、x下面计算这组数的级比:(0)(0)(1)()()xkkxkk=2,3,……,n由以上数据求得:()=(2)=1.13(3)=1.20(4)=1.14(5)=1.40k、、、而当n=5时,可容覆盖区间为:22,5+25+1=ee(,)(0.71,1.39)但是()k(0.71,1.39),则对该组数据进行平移变换:令0(0)()()100Xkxk则00000(1)=2800(2)2500(3)=2100(4)=1850(5)=1350X、X、X、X、X相应的级比为:()=(2)=1.12(3)=1.19(4)=1.14(5)=1.37k、、、此时()(0.71,1.39)k,则以(0)()Xk作为GM(1,1)模型的观测值5.1.3模型的建立灰色模型GM(1,1)建立设时间序列(0)X有n个观测值(0)(0)(0)(0)(1),(2),,()XXXXn,通过累加生成新序列(1)(1)(1)(1)(1),(2),,()XXXXn,则(1,1)GM模型相应的微分方程为:1(1)dXaXdt()······(1)其中:a为发展灰度,为内生控制灰度。设为待估参数向量,a,利用最小二乘法求解可得:(1)ˆˆ()ˆTTnaBBBY······(2)其中:(1)(1)(1)(1)(1)(1)1[(1)(2)]21[(2)(3)]21[(1)()]2XXXXBXnXn,(0)(0)(0)(2)(3)()nXXYXn,求解微分方程,即可得到预测模型:ˆ(1)(0)ˆˆˆ(1)[(1)](0,1,2,)ˆˆakXkXeknaa······(3)5.1.4模型检验校正灰色预测模型检验一般有残差检验、关联度检验和后验差检验。我们采用后验差检验:原始序列的标准差:(0)(0)21[()]1XiXSn残差为:000ˆ()()()iXiXi绝对误差序列的标准差:(0)(0)22[()]1iSn方差比:21SCS小误差概率:(0)(0)1()0.6745PpiS,令(0)(0)()iei,010.6745SS,则0iPpeS。表10后验差检验表PC后验差0.950.35好0.800.50合格0.700.65勉强合格0.700.65不合格后验差检验都能通过,则可以用所建模型进行预测,否则要进行残差修正。5.1.5模型的求解我们选取经级比检验通过的五组数据带入模型,数据如下:00000(1)=2800(2)2500(3)=2100(4)=1850(5)=1350X、X、X、X、X(一)则累加生成数据为:11011(1)=2800(2)5300(3)=7400(4)=9250(5)=10600X、X、X、X、X(二)构造矩阵B和数据向量nY:40501635018325199251B,2500210018501350Y(三)计算ˆ:(1)ˆ0.186ˆ()ˆ3286.7TTnaBBBY(四)得到预测模型:0.181ˆ1)17611.514811.5*kXke()((五)预测模型的检验按预测模型计算(0)ˆ()Xi得:(0)ˆ(2800,2521.5,2092.3,1736.1,1440.5)X残差为:00,21.5344,7.7362,113.927,90.5208计算原始数据的标准差:(0)(0)21[()]1XiXSn255计算残差的标准差:(0)(0)22[()]84.99781iSn计算方差比:2184.99780.33255SCS则得到010.6745171.9975SS则:23.93,5.3362,111.527,92.9208ie0100%iPpeS对比后验表值,0.95,0.35PC,则后验差好因而模型0.181ˆ1)17611.514811.5*kXke()(具有较好的精(六)江豚种群数量的预测当4k时,得到相应的1ˆX()的预测值,由公式:1ˆˆˆkkkXXX(0)(1)(1)可算出ˆkX(0),由于我们对数据进行了平移处理,则实际的种群数量的预测值通过如下计算公式求得:0(0)ˆˆ100kkxX经对应的时间与相应的值算出如下表:种群数量预测表年份1991199620012006
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