椭圆的参数方程

课前自主学习课堂讲练互动课堂达标测练教材超级链接2.3椭圆的参数方程2.4双曲线的参数方程课前自主学习课堂讲练互动课堂达标测练教材超级链接椭圆的参数方程(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1的参数方程为____________(φ为参数)，参数的几何意义是____________________________________________________________．(2)中心在C(x0，y0)的椭圆的参数方程是x＝x0＋acosφ，y＝y0＋bsinφ(φ为参数)．1.x＝acosφ，y＝bsinφ以a为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与x轴正半轴的夹角课前自主学习课堂讲练互动课堂达标测练教材超级链接双曲线的参数方程中心在原点，焦点在x轴上的双曲线x2a2－y2b2＝1的参数方程为____________________，规定φ的取值范围为________________________________．x＝acosφy＝btanφ(φ为参数)φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠32π2．课前自主学习课堂讲练互动课堂达标测练教材超级链接【思维导图】【知能要点】1．椭圆的参数方程．2．双曲线的参数方程．课前自主学习课堂讲练互动课堂达标测练教材超级链接题型一椭圆的参数方程和圆的参数方程x＝rcosθ，y＝rsinθ中的参数θ是半径OM的旋转角不同，椭圆参数方程x＝acosφ，y＝bsinφ中的参数φ是椭圆上点M的离心角．椭圆（x－m）2a2＋（y－n）2b2＝1(ab0)的参数方程为x＝m＋acosφ，y＝n＋bsinφ(φ为参数)．1．2．课前自主学习课堂讲练互动课堂达标测练教材超级链接【例1】已知A、B分别是椭圆x236＋y29＝1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹的普通方程．解由动点C在该椭圆上运动，故据此可设点C的坐标为(6cosθ，3sinθ)，点G的坐标为(x，y)，则由题意可知点A(6，0)，B(0，3)．由重心坐标公式可知x＝6＋0＋6cosθ3＝2＋2cosθ，y＝0＋3＋3sinθ3＝1＋sinθ.由此消去θ得到（x－2）24＋(y－1)2＝1即为所求．课前自主学习课堂讲练互动课堂达标测练教材超级链接【反思感悟】本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性．运用参数方程显得很简单，运算更简便．课前自主学习课堂讲练互动课堂达标测练教材超级链接(2)设P是(1)中椭圆上的动点，求线段F1P的中点的轨迹方程．解(1)由椭圆上点A到F1、F2的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2.设F1、F2分别为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点．(1)若椭圆C上的点A1，32到F1、F2距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；1．又点A1，32在椭圆上，课前自主学习课堂讲练互动课堂达标测练教材超级链接因此14＋322b2＝1，得b2＝3，于是c2＝a2－b2＝1，所以椭圆C的方程为x24＋y23＝1，焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)．(2)设椭圆C上的动点P的坐标为(2cosθ，3sinθ)，线段F1P的中点坐标为(x，y)，则x＝2cosθ－12，y＝3sinθ＋02，所以x＋12＝cosθ，2y3＝sinθ.消去θ，得x＋122＋4y23＝1，这就是线段F1P的中点的轨迹方程．课前自主学习课堂讲练互动课堂达标测练教材超级链接题型二双曲线的参数方程【例2】与椭圆类似，双曲线的参数方程x＝acosφ，y＝btanφ(φ为参数)中φ的几何意义也是双曲线上一点M的离心角．直线AB过双曲线x2a2－y2b2＝1的中心O，与双曲线交于A，B两点，P是双曲线上的任意一点．求证：直线PA，PB的斜率的乘积为定值．课前自主学习课堂讲练互动课堂达标测练教材超级链接证明如图所示，设Pacosα，btanα，Aacosθ，btanθ.∵AB过原点O，∴A，B的坐标关于原点对称，于是有B－acosθ，－btanθ，从而：kPA·kPB＝b（tanα－tanθ）a1cosα－1cosθ·b（tanα＋tanθ）a1cosα＋1cosθ＝b2（tan2α－tan2θ）a21cos2α－1cos2θ＝b2a2为定值．课前自主学习课堂讲练互动课堂达标测练教材超级链接【反思感悟】本例的求解充分利用了双曲线的参数方程．一般地，当与二次曲线上的动点有关时，可将动点用参数形式表示，从而将x，y都表示为某角θ的函数，运用三角知识求解，可大大减少运算量，收到事半功倍的效果．课前自主学习课堂讲练互动课堂达标测练教材超级链接已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的动弦BC平行于虚轴，M，N是双曲线的左、右顶点，求直线MB，CN的交点P的轨迹方程．2．解设点Bacosφ，btanθ，则Cacosφ，－btanθ，又M(－a，0)，N(a，0)．∴直线MB的方程为y＝btanθacosφ＋a(x＋a)直线CN的方程为y＝－btanθacosφ－a(x－a)．将以上两式相乘，得点P的轨迹方程为x2a2＋y2b2＝1.课前自主学习课堂讲练互动课堂达标测练教材超级链接设飞机以匀速v＝150m/s做水平飞行，若在飞行高度h＝588m处投弹(假设炸弹的初速度等于飞机的速度)．(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程；(2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标．分析这是物理学中的平抛运动，选择合理的参变量将炸弹(看作质点)的水平方向和竖直方向的运动表示出来．题型三参数方程的应用【例3】若曲线的参数方程x＝2pt2，y＝2pt(t为参数)，由于yx＝1t，因此t的几何意义是曲线上的点(除顶点外)与曲线的顶点连线的斜率的倒数．课前自主学习课堂讲练互动课堂达标测练教材超级链接解(1)如图所示，A为投弹点，坐标为(0，588)，B为目标，坐标为(x0，0)．记炸弹飞行的时间为t，在A点t＝0.设M(x，y)为飞行曲线上的任一点，它对应时刻t，炸弹初速度v0＝150m/s，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向的路程，得x＝v0t，y＝588－12gt2(g＝9.8m/s2)，即x＝150t，y＝588－4.9t2，课前自主学习课堂讲练互动课堂达标测练教材超级链接这是炸弹飞行曲线的参数方程．(2)炸弹飞行到地面目标B处的时间t0满足方程y＝0，即飞机在离目标约1643m(水平距离)处投弹才能击中目标．【反思感悟】准确把握题意，分析物理学中运动过程，选择适当的坐标系及变量，将物理问题转化为数学问题．利用抛物线的参数方程解决．即588－4.9t2＝0，解得t0＝230.由此得x0＝150×230＝30030≈1643(m)．课前自主学习课堂讲练互动课堂达标测练教材超级链接若不计空气阻力，炮弹运行轨道是抛物线，测得我炮位A与炮击目标B在同一水平线上，水平距离为6000米，炮弹运行的最大高度为1200米，求炮弹的发射角α和发射初速度v0(重力加速度g＝9.8米/秒)．3．课前自主学习课堂讲练互动课堂达标测练教材超级链接解在以A为原点，直线AB为x轴的直角坐标系中，弹道方程是x＝v0tcosα，y＝v0tsinα－12gt2(t为参数)它经过最高点(3000，1200)和点B(6000，0)的时间分别为t0和2t0，代入参数方程得3000＝v0t0cosα，1200＝v0t0sinα－12gt20，0＝2v0t0sinα－2gt20，消去t0，得v20sinαcosα＝3000g，v20sin2α＝2400g.解得：α＝arctan45，v0＝71230(米/秒)．课前自主学习课堂讲练互动课堂达标测练教材超级链接已知点P(x，y)是圆x2＋y2＝2y上的动点，(1)求2x＋y的取值范围；(2)若x＋y＋a≥0恒成立，求实数a的取值范围．1．解(1)设圆的参数方程为x＝cosθ，y＝1＋sinθ，2x＋y＝2cosθ＋sinθ＋1＝5sin(θ＋φ)＋1，∴－5＋1≤2x＋y≤5＋1.(2)x＋y＋a＝cosθ＋sinθ＋1＋a≥0.∴a≥－(cosθ＋sinθ)－1＝－2sinθ＋π4－1，∴a≥2－1.课前自主学习课堂讲练互动课堂达标测练教材超级链接点P在椭圆x216＋y29＝1上，求点P到直线3x－4y＝24的最大距离和最小距离．2．解设P(4cosθ，3sinθ)，则d＝|12cosθ－12sinθ－24|5.即d＝122cosθ＋π4－245，当cosθ＋π4＝－1时，dmax＝125(2＋2)；当cosθ＋π4＝1时，dmin＝125(2－2)．课前自主学习课堂讲练互动课堂达标测练教材超级链接(1)求炮弹从发射到落地所需的时间；(2)求炮弹在运动中达到的最大高度．已知弹道曲线的参数方程为x＝20tcosπ6，y＝20tsinπ6－12gt2(g＝9.8m/s2)3．课前自主学习课堂讲练互动课堂达标测练教材超级链接解(1)令y＝20tsinπ6－12gt2＝0，即4.9t2－10t＝0.解得t＝0或t≈2.所以炮弹从发射到落地所需时间约为2秒．(2)由y＝10t－4.9t2，得y＝－4.9t2－10049t＝－4.9t－50492＋25049.所以当t＝5049时，ymax＝25049≈5.1.所以炮弹在运动中达到的最大高度为5.1米．已知双曲线方程为x2－y2＝1，M为双曲线上任意一点，M点到两条渐近线的距离分别为d1和d2，求证：d1与d2的乘积是常数．4．课前自主学习课堂讲练互动课堂达标测练教材超级链接证明设d1为M点到渐近线y＝x的距离，d2为M点到渐近线y＝－x的距离，因为M点在双曲线x2－y2＝1上，则可设M点坐标为1cosα，tanα.d1＝1cosα－tanα2，d2＝1cosα＋tanα2，d1·d2＝1cos2α－tan2α2＝12，故d1与d2的乘积是常数．课前自主学习课堂讲练互动课堂达标测练教材超级链接[P36思考交流]参照求圆的参数方程x＝（1－k2）r1＋k2，y＝2kr1＋k2(k为参数)的方法，给出椭圆另一种形式的参数方程(如图)．课前自主学习课堂讲练互动课堂达标测练教材超级链接答设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1其中a＞b＞0，则点A的坐标为(－a，0)，设AP的斜率为k.直线AP的方程为y＝k(x＋a)由y＝k（x＋a），x2a2＋y2b2＝1，可得直线AP与椭圆的交点的横坐标，x1＝－a，x2＝ab2－a3k2b2＋a2k2.直线AP与椭圆交点的纵坐标为y1＝0，y2＝2ab2kb2＋a2k2课前自主学习课堂讲练互动课堂达标测练教材超级链接上面参数方程即为椭圆的另一种形式的参数方程．其中参数k表示直线AP的斜率．也由此可以看出，由于参数的选取不同，参数方程也不同．即点P的坐标为ab2－a3k2b2＋a2k2，2ab2kb2＋a2k2.∵点P是椭圆任意的不同于A的点，∴x＝ab2－a3k2b2＋a2k2，y＝2ab2kb2＋a2k2(k为参数)，课前自主学习课堂讲练互动课堂达标测练教材超级链接答参数的几何意义是以原点为圆心，a为半径的圆的半径的旋转角．[P37思考交流]1．双曲线的参数方程x＝acosφ，y＝btanφ中，参数的几何意义是什么？课前自主学习课堂讲练互动课堂达标测练教材超级链接答如图：分别以a，b为半径，原点为圆心作同心圆．设OA＝a，OB＝b，A为圆上任一点2．试求双曲线y2a2