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第三版§23常用的离散型分布一、退化分布二、两点分布三、n个点上的均匀分布四、二项分布五、几何分布六、超几何分布七、泊松(Poisson)分布一、退化分布退化分布一个随机变量X以概率1取某一常数即P{Xa}1则称X服从a处的退化分布退化分布之所以称为退化分布是因为其取值几乎是确定的即这样的随机变量退化成了一个确定的常数说明由定理23的推论3知X服从退化分布的充要条件是DX0且若X服从a处的退化分布则EXa说明二、两点分布两点分布一个随机变量只有两个可能取值设其分布为P{Xx1}pP{Xx2}1p0p1(236)则称X服从x1x2处参数为p的两点分布两点分布的期望和方差EXpx1(1p)x2(237)DXp(1p)(x1x2)2(238)设P(A)pP(A)1p则随机变量),(,),(,)(21不发生即发生即AAxAAxX(241)便服从x1x2处参数为p的两点分布说明二、两点分布特殊的两点分布如果X只取01两个值其概率分布为P{X1}pP{X0}1p0p1(239)则称X服从参数为p的01分布也称X是参数为p的伯努利随机变量此时EXpDXp(1p)(240)在一次试验中观察A是否发生记A发生的次数为X则X要么取值为1要么取值为0于是X服从参数为p的01分布(1)0–1分布X=xi10Pip1-p0p11,0,)1()(1kppkXPkk注其分布律可写成凡是随机试验只有两个可能的结果,应用场合常用0–1分布描述,如产品是否格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等.设随机变量X取n个不同的值且其概率分布为nxXPi1}{i12,n(242)则称X服从n个点{x1x2xn}上的均匀分布三、n个点上的均匀分布n个点上的均匀分布n个点上的均匀分布的期望和方差xxnEXinidef11(243)21)(1xxnDXini(244)说明三、n个点上的均匀分布n个点上的均匀分布在古典概型中试验共有n个不同的可能结果且每个结果出现的可能性相同设{12n)则nPi1}{(i12,n).如果随机变量X是上的一一对应的函数那么X便服从均匀分布设随机变量X取n个不同的值且其概率分布为nxXPi1}{i12,n(242)则称X服从n个点{x1x2xn}上的均匀分布说明三、n个点上的均匀分布n个点上的均匀分布设X表示投掷一枚均匀的骰子出现的点数此时{126}令X()则X服从{126}上的均匀分布设随机变量X取n个不同的值且其概率分布为nxXPi1}{i12,n(242)则称X服从n个点{x1x2xn}上的均匀分布如果一个随机变量X的概率分布为knkknppkXP)1(C}{k012,n(245)则称X服从参数为np的二项分布并记作X~b(np)且记knkknpppnkb)1(C),;(说明四、二项分布二项分布设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数事件A发生的概率为p(0p1)则X~b(np)四、二项分布二项分布二项分布的期望和方差设X~b(np)则EXnp(247)DXnpq(249)其中q1p如果一个随机变量X的概率分布为knkknppkXP)1(C}{k012,n(245)则称X服从参数为np的二项分布并记作X~b(np)且记knkknpppnkb)1(C),;(证法二:设01iX第i次试验事件A发生第i次试验事件A不发生则niiXX122)()()(iiiXEXEXDniiXDXD1)()()1()1(1pnpppni)1(2ppppknkknNNNNkXP)()(C}{210kn(246)例218一个袋子中装有N个球其中N1个白球N2个黑球(N1N2N)每次从中任取一球查看完其颜色后再放回去一共取n次求取到的白球数X的分布每次取球看成是一次试验n次取球看成是n重伯努利试验解取到白球的概率为NNp1故),(~1NNnbX其分布为例一个完全不懂英语的人去参加英语考试.假设此考试有5个选择题,每题有n重选择,其中只有一个答案正确.试求:他居然能答对3题以上而及格的概率.解:由于此人完全是瞎懵,所以每一题,每一个答案对于他来说都是一样的,而且他是否正确回答各题也是相互独立的.这样,他答题的过程就是一个Bernoulli试验)5,,1,0(,)1()(kppCkmPpknkknk:,4,1此人及格的概率是时于是当其中nnp10.041434143415554452335543cccppp)/1,5(~nBm这个随机变量他答对题数说明五、几何分布如果随机变量X的概率分布为P{Xk}qk1pk12(2.50)其中q1p则称随机变量X服从参数为p的几何分布记为X~g(kp)几何分布在独立重复试验中事件A发生的概率为p设X为直到A发生为止所进行的试验的次数则X~g(kp)五、几何分布如果随机变量X的概率分布为P{Xk}qk1pk12(2.50)其中q1p则称随机变量X服从参数为p的几何分布记为X~g(kp)几何分布几何分布的期望和方差pEX1(251)2pqDX(253)说明由}{}{}|{mXPnmXPmXnmXP据(250)知例219设X服从几何分布则对任何两个正整数mn有P{Xmn|Xm}P{Xn}(254)证明同理有于是得P{Xn}qnP{Xmn}qmn}{}|{nXPqqqmXnmXPnmnm式(254)通常称为几何分布的无记忆性意指几何分布对过去的m次失败的信息在后面的计算中被遗忘了mjjmkmkqpqqpqmXP1111}{knkknnNknNkNNNNN)()(CCCC2121(256),CCC}{21nNknNkNkXP0kn(255)六、超几何分布超几何分布一个袋子中共装有N个球其中N1个白球N2个黑球从中不放回地抽取n个球X表示取到白球的数目那么X的分布为以(255)为概率分布的随机变量通常称为服从超几何分布在实际中当N很大时且N1和N2均较大而n相对很小时通常将不放回近似地当作放回来处理从而用二项分布作为超几何分布的近似即六、超几何分布超几何分布一个袋子中共装有N个球其中N1个白球N2个黑球从中不放回地抽取n个球X表示取到白球的数目那么X的分布为以(255)为概率分布的随机变量通常称为服从超几何分布超几何分布的期望和方差NNnEX1(258)1)(21NnNNNNNnXD(259),CCC}{21nNknNkNkXP0kn(255)可以证明超几何分布的极限分布就是二项分布表示10粒种子中发芽的解:种子数目。服从超几何分布N很大,n很小,可用二项分布近似计算。n=10p=0.9q=0.188210(1)P(8)C0.90.10.193788299101010(2)P(8)C0.90.1C0.90.10.90.9298例一大批种子的发芽率为90%,从中任取10粒,求播种后,(1)恰有8粒发芽的概率(2)不少于8粒发芽的概率。提示e!}{kkXPkk012(260)七、泊松分布泊松分布(Poisson)如果一个随机变量X的概率分布为其中0为参数则称X服从参数为的泊松分布记作X~P()泊松分布的期望和方差EX(261)DX(262)e!e)!1(e!0110kkkkEXkkkkkk如果一个随机变量X的概率分布为其中0为参数则称X服从参数为的泊松分布记作X~P()泊松分布的期望和方差七、泊松分布泊松分布(Poisson)e!}{kkXPkk012(260)EX(261)DX(262)泊松分布中只有一个参数kk0Ekek!k1k1ek1()!记k-1=m,则mm0Eem!k22k0Ekek!k1k1kek1()!mm0m1em()!mmm0m0meemm!!2D故在一定时间间隔内:一匹布上的疵点个数;大卖场的顾客数;应用场合常见于稠密性问题,如:电话总机接到的电话次数;一个容器中的细菌数;放射性物质发出的粒子数;一本书中每页印刷错误的个数等等某一地区发生的交通事故的次数市级医院急诊病人数;95.09513.0e!1010150kkk95.09166.0e!1010140kkk95.0e!10100kkak例220某商店根据过去的销售记录知道某种商品每月的销售量可以用参数为10的泊松分布来描述为了以95%以上的概率保证不脱销问商店在月底应存多少件该种商品(设只在月底进货)?设该商店每月销售该商品的件数为X月底存货为a件则当Xa时就不会脱销据题意要求a使得P{Xa}095由于已知X服从参数为10的泊松分布上式即为由附录的泊松分布表知解于是这家商店只要在月底保证存货不低于15件就能以95%以上的概率保证下个月该种商品不会脱销npkknppnkbe!)(),;((264)e!),;(limkpnkbknn(263)定理24(泊松定理)在n重伯努利试验中事件A在每次试验中发生的概率为pn(注意这与试验的次数n有关)如果n时npn(0为常数)则对任意给定的k有由该定理我们可以将二项分布用泊松分布来近似当二项分布b(np)的参数n很大而p很小时可以将它用参数为np的泊松分布来近似即有说明泊松定理表明,泊松分布是二项分布的极限分布,当n很大,p很小时,二项分布就可近似地看成是参数=np的泊松分布np通常在比较大,很小时,可以用Poisson分布近似代替二项分布,其中=np所取一箱中废品个数服从超几解:何分布,产品数量很大,可用二项分布计算,n=100,199100P1C00150985()..0335953.由于n较大,p很小,可用Poisson分布代替二项分布。np15.,查表可得P10334695().误差不超过1%014一大批产品的废品率为p=0.015,求任取一箱(有100个产品),箱中恰好有一个例废品的概率。2381.0)!21641(ee!44420kkk例221纺织厂女工照顾800个纺锭每一纺锭在某一短时间内发生断头的概率为0005(设短时间内最多只发生一次断头)求在这段时间内总共发生的断头次数超过2的概率设X为800个纺锭在该段时间内发生的断头次数则X~b(8000005)它可近似于参数为80000054的泊松分布从而有解从而P{X2}102381076191P{0X2}2381.0)!21641(ee!44420
本文标题:概率论23
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