模糊数学及其应用(10-12讲)

第四章层次分析法层次分析法（analytichierarchyprocess，简称AHP）是美国运筹学家撒汀（T.L.Saaty）等人于20世纪70年代提出的对复杂问题作出决策的一种简明有效的新方法。在实际生活中，人们往往需要对许多较为复杂、较为模糊的问题作出决策。如：填报高考志愿，选择科研课题等，往往需要考虑许多因素，对一些备选项目作出排序，从而作出最后的决策。定义1A=(aij)n×n为一n阶方阵，若(1)aij0;(2)aij=1/aji则称A为正互反矩阵。如：112311421314定义2若A=(aij)n×n为正互反矩阵，且aijajk=aik(i,j,k=1,2,…,n)则称A为一致矩阵。层次分析法的一般步骤：1.建立层次结构模型：准则C1准则C2准则Cn……方案P1方案P2......方案Pm决策目标目标层O方案层P准则层C2.构造判断矩阵：（确定每一层对上一层次每个因素的判断矩阵）A=(aij)n×n应满足(1)aij0;(2)aij=1/aji。（即A为正互反矩阵）其中比较尺度aij的取值如下：ci比cj相等较强强很强绝对强aij13579返回3.单层排序及一致性检验：(1)单层排序：求解判断矩阵A的最大特征值λmax,再由Ax=λmaxx求出λmax对应的特征向量x，并将x标准化（单位化），x标准化后的分量即为同一层次的各因素相对于上一层中某一因素的重要性权重。根据权重即可确定同一层中各元素对上一层次的排序。(2)一致性检验：为检验A的一致性，取一致性指标:max1nCIn（n为A的阶数）取随机性指标RI如下：阶数n123456789RI000.590.91.121.241.321.411.45令,CICRRI若CR0.1,则判断矩阵A具有满意的一致性。否则要对A重新调整，直到有满意的一致性为止。4.层次总排序及一致性检验：假定上一层C1,C2,…,Cn的总排序已完成,而且权重分别为a1,a2,…,an.下一层P包含m个方案：P1,P2,…Pm,其对于Cj的层次排序权重为则P层（方案层）的总排序权重为：1(1,2,,)njijjabim1j2jmjb,b,bj1,2,,n各排序权重见下表：110.1njjjnjjjaCICRaRI若则总排序结果具有满意的一致性。此时可以根据P层的总排序权重的大小来确定P层各方案的排序。例1企业留成利润合理使用问题（某一企业现有一笔留成利润，请综合各方面利益，确定应如何合理使用）分析：利润的合理使用，目的都是为了更好的调动职工的生产积极性、提高企业水平、改善职工物质文化生活，最终目的是合理使用企业留成利润。中国国营企业按照国家规定的条件和核定的比例，从实现利润中留用一部分归自己支配的一种利润分配形式。（一）建立层次结构模型：C1：调动职工积极性C2：提高企业技术水平C3：改善职工文化生活P1：发奖金P2：建集体设施P3：办职工培训班P5：引进新设备合理使用企业留成利润目标层O方案层P准则层CP4：建俱乐部返回（二）（1）构造判断矩阵O-C：oC1C2C3特征向量x的分量C1C2C311/51/351331/310.10520.63720.2583此处表示：为达到合理使用留成利润的目的，准则C2（提高企业技术水平）的权重应最大λmax=3.0385,CI=0.0193,RI=0.58,CR=0.03320.1(具有满意的一致性)（2）构造判断矩阵C1-P：C1P1P2P3P4P5特征向量的分量P1P2P3P4P5135471/313251/51/311/23¼½2131/71/51/31/310.4910.2320.0920.1380.046此处表示：在提高职工积极性方面，方案P1（发奖金）的权重最大λmax=5.126,CI=0.038,RI=1.12,CR=0.0280.1(具有满意的一致性)（3）构造判断矩阵C2-P：C2P2P3P4P5特征向量的分量P2P3P4P511/71/31/5715331/511/351/3310.0550.5640.1180.263此处表示：在提高企业技术水平方面，方案P3（办培训班）的权重最大λmax=4.117,CI=0.039,RI=0.9,CR=0.0430.1(具有满意的一致性)（4）构造判断矩阵C3-P：C3P1P2P3P4特征向量的分量P1P2P3P4113311331/31/3111/31/3110.4060.4060.0940.094此处表示：在改善物质生活方面，方案P1（发奖金）与P2（建集体设施）的权重最大λmax=4,CI=0,RI=0.9,CR=00.1(具有满意的一致性)（三）层次总排序结果：准则C方案PC1C2C3方案层P的总排序结果0.1050.6370.258P1P2P3P4P50.49100.4060.2320.0550.4060.0920.5640.0940.1380.1180.0940.0460.26300.1570.1640.3930.1130.172从而对方案的最后排序结果为：P3P5P2P1P4(作出决策)此处亦确定了5个方案的权重第五章TOPSIS方法TOPSIS（Techniquefororderperformancebysimilaritytoidealsolution：逼近理想解的排序方法）方法最初是由Hwang和Yoon（HwangCL,YoonK.Multipleattributedecisionmaking:methodsandapplications.Berlin:Springer,1981.）提出的，它是一种解决多属性决策问题的有效方法，其主要思想是最终被选择的方案与负理想解的距离越大越好而与正理想解的距离越小越好。所谓理想解（正理想解），是设想各指标属性都达到最满意的解；所谓负理想解，是设想各指标属性都达到最不满意的解。假设一个多属性决策问题具有m个备选方案A1,A2,…Am,同时有n个决策属性(标准)R1,R2,…Rn.备选方案在各个属性下的评价值构成一个决策矩阵，见表1现用TOPSIS方法确定应该选择哪个方案？TOPSIS方法的过程如下：（1）计算规范决策矩阵，其规范值为：（2）计算加权规范决策矩阵，其加权规范值为：这里ωj为第j个属性的权重。而且（3）确定正理想解和负理想解：这里I为效益型属性（其值越大越好，如：汽车的安全系数，服务质量等），J为成本型属性（其值越小越好，如：汽车的价格等）。（4）计算每个方案与正理想解和负理想解的分离度：（5）计算备选方案与正理想解的相对接近度：（6）根据ri*由大到小对备选方案进行排序.例1.一家庭现有一购车计划，在初步调查后确定4个备选车型：本田飞度、AudiA4、桑塔纳Vista、别克君越：在选择时决策者需要考虑油耗、功率、价格、安全性、维护性、操纵性等因素（属性），其购买轿车的决策矩阵如下：油耗（L/100km）功率（瓦特）价格(万)安全性维护性操纵性本田飞度51.46差（0.3）中（0.5）好（0.7）AudiA49230好（0.7）中（0.5）很好（0.9）桑塔纳Vista81.811中（0.5）高（0.7）中（0.5）别克君越122.518好（0.7）中（0.5）中（0.5）权重0.10.10.30.20.20.1应用TOPSIS方法评选轿车，对四种方案排序，过程如下：第一步：构造决策矩阵51.460.30.50.792.0300.70.50.9M81.8110.50.70.5122.5180.70.50.5第二步：计算规范化决策矩阵0.28220.35620.16150.26110.44900.52170.50790.50880.80370.60930.44900.67080.45150.45790.29600.43520.62860.37270.67720.63600.48440.60930.44900.3727N第三步：计算加权规范决策矩阵0.02820.03560.04840.05220.08980.05220.05080.05090.24220.12190.08980.06710.04510.04580.08880.08700.12570.03730.06770.06360.14530.12190.08980.0373V第四步：这里R1(油耗)与R3(价格)为成本型属性，而R2(功率)、R4(安全性）、R5(维护性)、R6(操纵性）为效益型属性，从而计算正理想解和负理想解如下(0.0280,0.0636,0.0484,0.1219,0.1257,0.0671)A(0.0677,0.0356,0.2422,0.0522,0.0898,0.0373)A第五步：确定各方案与正理想解和负理想解的分离度110.0848,0.1983dd220.1987,0.0791dd330.0658,0.1632dd440.1146,0.1225dd第六步：确定相对接近度*11110.7011drdd类似地，r2*=0.2847,r3*=0.7126,r4*=0.5168从而对方案的排序为：桑塔纳Vista本田飞度别克君越AudiA4第六章模糊模式识别问题：已知某类事物的若干标准集，现有该类事物中的一个具体对象，问应把它归到哪一类？例1苹果分级问题.按照苹果的大小、色泽、有无损伤将苹果分为4级，分级是模糊的.标准模型库＝{Ⅰ级，Ⅱ级，Ⅲ级，Ⅳ级}.现有一个苹果，它属于哪一级？――元素对标准模糊集的识别问题（个体识别）该病人症状属于上述标准库的哪一类症状？――模糊集对标准模糊集的识别问题（群体识别）1(,,)nnnmAaa1(,,)mBbb1111~(,,)mAaa例2医生诊病问题.设论域U＝{各种疾病症状}.由长期临床积累的经验，得到标准模型库：心脏病：………………………感冒：现有一病人，病人向医生诉说症状：模糊模式识别主要有以下两个方法：1.最大隶属原则方法；2.择近原则方法。1.最大隶属原则12100100~~0,,(),,().{1,2,,}()max{(),,()}.nnknkAAAAxAxuUnAuAuAuuAUn问题：设是论域中的个模糊集(标准模型库），分别是其隶属函数对给定的待识别对象，若存在一个k使得则认为相对地隶属于适用于个体识别例1（学习成绩的模糊识别）论域U=[0,100]（分数）上确定了三个模糊集A=“优”，B=“良”，C=“差”，且隶属函数分别为：0,08585(),859510195xxAxxx，0,07070,708010()18595,8595100,95100xxxBxxxxx，801,07080(),70801080100xxCxxx0，现有一同学的成绩为88分，问该同学的成绩应评为优、良，还是差？将x=88代入以上隶属函数，计算得：A(88)=0.8;B(88)=0.7;C(88)=0.此处A(88)最大。根据最大隶属度原则，认为该成绩应评为“优”。注：①两相同集合的贴近度最大;②两个较“接近”的模糊集的贴近度较大.为论域U上的模糊集，若映射(,).ABAB则称为与的贴近度~~~~~~~~~~~~~1(,)12(,)(,)(,)(,)(,).AAABBAABCACABBC（）；（）；（3）（1）贴近度：设σ为映射，且2.择近原则(,)[0,1],AB满足：适用于群体识别（2）几种常用的贴近度：12{,,,}nUxxx11[()()]1.(,)[()()]nkkknkkkAxBxABAxBx112.(,)1|()()|nkkkABAxBxn2113.(,)1|()()|nkkkA