欧几里得空间复习

第九章欧几里得空间习题课基本内容例题选讲基本题型一、基本内容1.欧氏空间(1)内积与欧氏空间概念(4个条件)(2)向量的长度、距离与夹角||(,)(,)||d(,),arccos,0,.||||长度：距离：夹角：2(3)(,)(,)(,).|(,)|||||.,.即等号成立线性相关111212122212(,)(,)(,)(,)(,)(,)()(,)(,)(,)nnijnnnnnnAa(4)度量矩阵12(,),,,.nXAYXY与的内积可用矩阵表示:其中和分别是与在基下的坐标12,,,n基的度量矩阵42.标准正交基概念，求法(Schmidt正交化方法)标准正交基的存在性与正交化方法12,,:n设，是一组基.正交化过程如下11111111111||(,)1||mmmmiiimmm(1,2,,1)mn1212,,(,)0,VVVV恒有3.正交子空间11,(,)0,VV恒有{|(,)0}WWVWVWW的正交补：且内射影4.欧氏空间的线性变换4.1.正交变换与正交矩阵1212.:1),,((),())(,);2),|()|||;3),,,,(),(),,();4)nnnVVVVV设是维欧氏空间的一个线性变换是正交变换的刻化对对都有设是的标准正交基是正交变换也是的标准正交基是正交变换在任意标准正交基下的.矩阵是正交阵.nAAAE级实数矩阵是正交矩阵标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵;.nAAR是正交矩阵的列向量组和行向量组都构成的标准正交基4.2.对称变换与对称矩阵.:1),,((),)(,());2).nVV设是维欧氏空间的一个线性变换是对称变换的刻化对是对称变换在标准正交基下的矩阵是对称矩阵(2)实对称矩阵的特征值都是实数.(1)对称变换的特征值都是实数.主要结论:(3).对称变换的属于不同特征值的特征向量必正交(4).对称变换的属于不同特征值的特征子空间必正交(5),.nARA设是实对称矩阵则中属于的不同特征值的特征向量必正交1(7),.nAnTTATTAT对级实对称阵都存在级正交矩阵，使为对角阵(6),,设是对称变换则存在标准正交基使在这个基下的矩阵是对角矩阵.9二、基本题型3.标准正交基的求法（重点）1.欧氏空间的判定（内积是否满足4条）2.向量的内积，长度，距离，夹角的计算欧氏空间中度量矩阵的计算4.子空间正交补（内射影）的计算5.实对称矩阵对角化方法（重点）6.利用正交线性替换化二次型为标准型（重点）三、例题选讲1231231211212(,,),(1,2,2,1),(2,1,2,2),(1,1,4,3),.(,),,,,(1,)WLWd设其中求求例1234(,,,),xxxxW解设则即有(,)0,1,2,3ii123412341234220,2220,430,xxxxxxxxxxxx12(2,2,1,0),(5,4,0,3)解得基础解系12(,).WL于是,:.WW当已知的基向量时求正交补的过程就是求一个相应的齐次线性方程组的解空间的过程注112112,3,32.TT例设求一个阶正交矩阵使得的第一列是1231(,,),(,)0,xxx解设则有123220,xxx23(2,1,2),(2,2,1)解得基础解系2311(2,1,2),(2,2,1)33标准正交化得123122333212(,,),333221333T令.T则即为所求•标准正交基的求法-Schmidt正交化•T7,823,27.AnAAE设是级实对称矩阵证明是的例正定2,27.AAE证显然是实对称矩阵(1,2,,),iinA设是的全部特征值2227(1)60,iii因227.AAE所以正定2227(1,2,,)27.iiinAAE则是的全部特征值•实对称矩阵对角化（T17（1,2））•利用正交线性替换化二次型为标准型•T18（1）16234||(1)(10),(1,2,2)10,.AEAAA已知三级实对称阵的特征多项式为且是的对应于特征值例的特征向量求矩阵,1(),A解由题设知的另两个特征值是二重1,,):(ATTAT因是实对称阵所以存在正交阵使分对角阵析1,,,ATTT于是而可已知只需求出即可得到.AT而由正交的特征向量组成.1231(,,),=xxx设对应于的特征向量为123220xxx23231,22,1,xxxx分别取和得对应于1的两个线性无关的特征向量3,,A因是实对称阵则与正交于是有12(2,1,2),(2,2,1)1,,23这两个向量是正交的将,,单位化得123212221122(,,),(,,),(,,)333333333于是得正交阵123221333122(,,)333212333T22111223212且使11110TATTAT2211212112212219212101221110ATT所以18181811845369183645222254245222254245A故•综合题型-利用正交线性替换化二次型为标准型•考查知识点•二次型的矩阵•特征值特征向量的计算(行列式的计算，多项式求根，齐次线性方程组基础解系的计算)•由特征向量计算标准正交基(Schmitd正交化单位化)-得正交矩阵2212(,,,)ndiagTAT1122nnfyyy二次型的标准型•线性空间•线性变换•欧几里得空间•章节知识点内容总结，典型题型例题分析等