正态分布的性质及在实际中的应用

正态分布的性质及在实际中应用若连续型随机变量X的概率密度为f(x)=1√2πσe−(x−μ)22σ2,-∞𝑥∞,其中μ，σ（σ0）为常数，则称X服从参数为μ，σ的正态分布或高斯分布，记为X~N(μ,σ2)正态分布具有以下性质：①f(x)≥0；②∫f(x)∞−∞dx=1证明：令x−μσ=t,得到∫1√2πσe−(x−μ)22σ2dx∞−∞=∫1√2π∞−∞e−t22dt记S=∫e−t22dt则有S2=∫∫e−t2+μ22dtdμ,∞−∞∞−∞∞−∞利用极坐标将它化成二次积分得到S2=∫∫re−r22∞0drdθ=2π,而S2π00,故有S√2π，于是∫1√2πσe−(x−μ)22σ2dx∞−∞=1√2π∫e−t22dt=1∞−∞③当x=μ时取到最大值f(x)=1√2πσ,这表明对于同样长度的区间，当区间离μ越远，x落在这个区间的概率就越小。④曲线关于x=μ对称，这表明对于任意h0有P{μ−h𝑥≤𝜇}=P{μ𝑥≤𝜇+ℎ}.⑤在x=μ±σ处曲线有拐点，曲线以x轴为渐近线。证明：f(x)̇=-1σ√2πe−(x−μ)22σ2(x-μ)f(x)̈=1σ5√2πe−(x−μ)22σ2[(x−μ)2−σ2]=0于是x=μ±σ2.⑥如果固定σ，改变μ的值，则图形沿x轴平移，而不改变其形状；如果固定μ，改变σ，由于最大值f(μ)=1σ√2π.可知当σ越小，图形变的越尖，因而x落在μ附近的概率越大。⑦x的分布函数为F(x)=1√2πσ∫e−(x−μ)22σ2x−∞dt,特别，当μ=0，σ=1时称随机变量X服从标准正态分布，其概率密度和分布函数分别为φ(x),∅(x)表示，即有φ(x)=1√2πe−t22,∅(x)=1√2π∫e−t22x−∞dt,易知∅(−x)=1-∅(x)。⑧若X~N(μ,σ2)，则Z=X−μσ~N(0,1).证明：Z=X−μσ的分布函数为：P{Z≤X}=P{X−μσ≤X}=P{X≤μ+σx}=1σ√2π∫e−(t−μ)22σ2μ+σx−∞dt,令t−μσ=u,e得P{Z≤X}=1√2πe−u22du=∅(x),由此知Z=X−μσ~N(0,1)于是，若X~N（μ，σ2），则它的分布函数F(X)可写成F(X)=P{X≤x}=P{X−μσ≤x−μσ}=∅(x−μσ),对于任意区间(x1,x2),有P{x1x≤x2}=P{X1−μσX−μσ≤X2−μσ}=∅(X2−μσ)-∅(X1−μσ).设X~N(μ,σ2)，由∅(x)的分布函数得P{μ−σ𝑋𝜇+𝜎}=∅(1)-∅(−1)=2∅(1)−1=68.26%P{μ−2σ𝑋𝜇+2𝜎}=∅(2)-∅(−2)=95.44%P{μ−3σ𝑋𝜇+3𝜎}=∅(3)-∅(−3)=99.74%我们看到，尽管正态分布的取值范围是（−∞，∞），但是它的值落在(μ−3σ,μ+3σ)内几乎是肯定的事，这就是人们所说的“3σ”法则。在此处键入公式。