流体力学-第三章-流体动力学

第三章流体动力学基础1.拉格朗日法（随体法）t0时，初始坐标a、b、c作为该质点的标志x=x(a,b,c,t)，y=y(a,b,c,t)，z=z(a,b,c,t)速度：dttcbadxvx),,,(dttcbadyvy),,,(dttcbadzvz),,,(dttcbadvaxx),,,(dttcbadvayy),,,(dttcbadvazz),,,(加速度：物理概念清晰，但处理问题十分困难3.1研究流体运动的两种方法2.欧拉法（局部法、当地法）某瞬时，整个流场各空间点处的状态),,,(tzyxvvxx),,,(tzyxvvzz),,,(tzyxvvyy),,,(tzyxpp),,,(tzyx以固定空间、固定断面或固定点为对象，应采用欧拉法tzztyytxx,,a.流体质点的加速度dtvdadtdvaxxzvvyvvxvvtvxzxyxxxzvvyvvxvvtvayzyyyxyyzvvyvvxvvtvazzzyzxzz同理dtdzzvdtdyyvdtdxxvtvxxxxb.质点导数对质点的运动要素A：AvtAdtdA时变导数位变导数vvtvdtvda时变加速度位变加速度zyxkjitAzAvyAvxAvdtdAzyx1.恒定流与非恒定流（1）恒定流（2）非恒定流所有运动要素A都满足0tA0tA2.均匀流与非均匀流（1）均匀流（2）非均匀流0Av0Av3.2流体运动的基本概念例：速度场求（1）t=2s时，在(2，4)点的加速度；（2）是恒定流还是非恒定流；（3）是均匀流还是非均匀流。jtxyitxyv)96()64(（1）将t=2，x=2，y=4代入得同理解：dtdvaxx)4()96()6()64()64(ttxyttxyxy2/4smax2/6smayjia642/smzvvyvvxvvtvxzxyxxxjtvitvtvyx（2）（3）vv0)96()64(jxyixy0jyvvxvviyvvxvvyyyxxyxx是非恒定流是均匀流3.流线与迹线（1）流线——某瞬时在流场中所作的一条空间曲线，曲线上各点速度矢量与曲线相切流线微分方程：流线上任一点的切线方向与该点速度矢量一致性质：一般情况下不相交、不折转1v2v)(rd)(vzyxvvvdzdydxkjivrdzyxvdzvdyvdx——流线微分方程0（2）迹线——质点运动的轨迹迹线微分方程：对任一质点——迹线微分方程dtvdxxdtvdzvdyvdxzyxdtvdyydtvdzz流线的特性：（1）流线除驻点、奇点等特殊点，在一般情况下不能相交，也不能是折线，而是光滑的曲线或直线(2)不可压缩流体中，流线的疏密程度反映了该时刻流场中各点的速度大小，流线越密，流速越大，流线越稀，流速越小。（3）恒定流动中，流线的形状不随时间而改变，流线与迹线重合；非恒定流动中，一般情况下，流线的形状随时间而变化，流线与迹线不重合。例：速度场vx=a，vy=bt，vz=0（a、b为常数）求:（1）流线方程及t=0、1、2时流线图；（2）迹线方程及t=0时过（0，0）点的迹线。解：（1）流线：积分：btdyadxcxabtyoyxc=0c=2c=1t=0时流线oyxc=0c=2c=1t=1时流线oyxc=0c=2c=1T=2时流线——流线方程（2）迹线：即dtbtdyadxdtadxdtbtdy222xaby——迹线方程（抛物线）oyx注意：流线与迹线不重合txatxadtdx00tytbybtdtdy0202例：已知速度vx=x+t，vy=－y+t求：在t=0时过（－1，－1）点的流线和迹线方程。解：（1）流线：积分：t=0时，x=－1，y=－1c=0tydytxdxctytx))(ln(——流线方程（双曲线）1xy（2）迹线：dttydydttxdxtecytecxtt21由t=0时，x=－1，y=－1得c1=c2=-1——迹线方程（直线）2yx11tytx（3）若恒定流：vx=x，vy=－y流线迹线1xy1xy注意：恒定流中流线与迹线重合4.流管与流束流管——在流场中任意取不与流线重合的封闭曲线，过曲线上各点作流线，所构成的管状表面5.过流断面——在流束上作出与流线正交的横断面12注意：只有均匀流的过流断面才是平面例：121处过流断面2处过流断面流束——流管内的流体6.元流与总流元流——过流断面无限小的流束总流——过流断面为有限大小的流束，它由无数元流构成按周界性质：①总流四周全部被固体边界限制——有压流。如自来水管、矿井排水管、液压管道。②总流周界一部分为固体限制，一部分与气体接触——无压流。如河流、明渠。③总流四周不与固体接触——射流。如孔口、管嘴出流。7流量、断面平均流速a.流量：单位时间通过某一过流断面的流体量。流量可以用体积流量Qv（m3/s）、质量流量Qm（kg/s）表示。显然，对于均质不可压缩流体有元流体积流量总流的体积流量vmQQvdAdQvAvvvdAdQQb.断面平均流速：总流过流断面上各点的流速v一般不相等，为了便于计算，设过流断面上各点的速度都相等，大小均为断面平均流速v。以v计算所得的流量与实际流量相同。8均匀流与非均匀流流场中所有流线是平行直线的流动，称为均匀流，否则称为非均匀流。按非均匀程度的不同又将非均匀流动分为渐变流和急变流，凡流线间夹角很小接近于平行直线的流动称为渐变流，否则称为急变流。AvvdAQAv显然，渐变流是一种近似的均匀流。因此，渐变流有如下性质：（1）渐变流的流线近于平行直线，过流断面近于平面；（2）渐变流过流断面上的动压强分布与静止流体压强分布规律相同，即12643785910ABAAAABBBB0pzCg实质：质量守恒1.连续性方程的微分形式oyxzdmxdmx’dxdydzdt时间内x方向：流入质量流出质量净流出质量dydzdtudmxxdydzdtdxxuudmxxx)('dxdydzdtxudmdmMxxxx)('3.3连续性方程同理：dxdydzdtyuMyy)(dxdydzdtzuMzz)(dt时间内，控制体总净流出质量：zyxMMMMdxdydzdt)u(divdxdydzdtu由质量守恒：控制体总净流出质量，必等于控制体内由于密度变化而减少的质量，即dxdydzdttdxdydzdtudiv)(dxdydzdtzuyuxuzyx)()()(0)(udivt——连续性方程的微分形式不可压缩流体即0udivc0zuyuxuzyx例：已知速度场此流动是否可能出现？221xyuxxyuy21tzuz212tzuyuxutzyx)()()(解：由连续性方程：满足连续性方程，此流动可能出现0)2(2)2(2txxt例：已知不可压缩流场ux=2x2+y，uy=2y2+z，且在z=0处uz=0，求uz。0zuyuxuzyx解：由得yxzuz44积分czyxuz)(4由z=0，uz=0得c=0zyxuz)(42.连续性方程的积分形式A1A212v1v2在dt时间内，流入断面1的流体质量必等于流出断面2的流体质量，则dtQdtQ2211222111AvAv——连续性方程的积分形式不可压缩流体21QQc2211AvAv分流时合流时iQQQQi2211QQ刚体——平移、旋转流体——平移、旋转、变形（线变形、角变形）平移线变形旋转角变形3.4流体微元的运动分析流体微元的速度：1.平移速度：ux，uy，uz2.线变形速度：xuxxyuyyzuzzx方向线变形xdtxdtxudtudtxxuuxxxxx是单位时间微团沿x方向相对线变形量（线变形速度）同理存在各质点在连线方向的速度梯度是产生线变形的原因3.旋转角速度：角平分线的旋转角速度dtxuxxdtxuxAAyy'dtyuyydtyuyBBxx'逆时针方向的转角为正顺时针方向的转角为负zuyuyzx21xuzuzxy21yuxuxyz21urotukjizyx2121dtdtyuxuzxy2121是微团绕平行于oz轴的旋转角速度同理微团的旋转：4.角变形速度：直角边与角平分线夹角的变化速度微团的角变形：dtdtyuxuzxy2121zuyuyzx21xuzuzxy21yuxuxyz21存在不在质点连线方向的速度梯度是产生旋转和角变形的原因是微团在xoy平面上的角变形速度同理例：平面流场ux=ky，uy=0（k为大于0的常数），分析流场运动特征解：流线方程：线变形：角变形：旋转角速度：cy0xuxx0yuyy221kyuxuxyz221kyuxuxyzxyo（流线是平行与x轴的直线族）（无线变形）（有角变形）（顺时针方向为负）例：平面流场ux=－ky，uy=kx（k为大于0的常数），分析流场运动特征解：流线方程：cyxkxdykydx22（流线是同心圆族）线变形：0yx（无线变形）角变形：0z（无角变形）旋转角速度：kkkz21（逆时针的旋转）刚体旋转流动1.有旋流动2.无旋流动00即：0x0y0zzuyuyzxuzuzxyuxuxy有旋流动和无旋流动例：速度场ux=ay（a为常数），uy=0，流线是平行于x轴的直线，此流动是有旋流动还是无旋流动？解：是有旋流zxyoux021)0(21aayuxuxy21相当于微元绕瞬心运动例：速度场ur=0，uθ=b/r（b为常数），流线是以原点为中心的同心圆，此流场是有旋流动还是无旋流动？解：用直角坐标：xyoθruxuyuθpsinuuxcosuuy021yuxuxyz是无旋流（微元平动）小结：流动作有旋运动或无旋运动仅取决于每个流体微元本身是否旋转，与整个流体运动和流体微元运动的轨迹无关。22yxbyryrb22yxbxrxrb无旋有势1.速度势函数类比：重力场、静电场——作功与路径无关→势能无旋条件：由全微分理论，无旋条件是某空间位置函数φ(x,y,z)存在的充要条件函数φ称为速度势函数，无旋流动必然是有势流动zuyuyzxuzuzxyuxuxydzudyudxuzyxdzyx),,(速度势函数0由函数φ的全微分：得：dzzdyydxxdxuxyuy