浅谈Delta-Sigma之工作原理

浅谈Delta-Sigma之工作原理文/黄克强’95年初老朽准备「EAD-DSP系列之DSP演算法」(详见高传真227期)之前，蒲总编曾经向老朽提及Crystal公司的CS4328、CS4330……一系列的IC，希望我能写一系列的文章来谈这一系列广泛用途之OverSampling之D/AConverterIC，其实这一系列的IC都是采用了所谓之「分段式UpSample」的DSP架构搭配△-Σ之D/AConverter而成，由于老朽在『细说EAD-DSP系列之DSP演算法」一支中并末谈及△-Σ的工作原理，因此特别请我的好友黄克强博士来撰写△-Σ的部份。——何志诚何老朽是我的挚友兼同事，他的办公桌就在笔者的左手边。他是个发烧友，也是音响专家。而笔者却是个音响白痴(编者：唉！唉！黄先生实在太谦虚了，如果您是白痴，那我们岂不……)。他专精信号处理，尤其是OverSampling。而笔者擅长数位通讯及一点点适应性控制。半年前，甚至更久之前，何老朽拿了一些CS4328之类的DataSheet及他在高传真发表的文章给我，这时我才在他的调教之下初窥发烧音响之门径。谁知黄鼠狼给鸡拜年不怀好意，何老朽半哄半骗的要我替他写一篇有关Delta-Sigma的介绍文章。碍于多年交情，我勉强答应下来。事后才发现这种文章真难写。为了能在高传真杂誌上「露脸」，必须避免学院派的数学推导，又必须把东西写得清清楚楚(要不然就变成低传真)，真是难。难！难！难！难！不过何老朽毕意没看走眼，笔者费了九牛二虎之力，终究把它写出来了。但由于笔者笔法不够老练，写出来的文章可能还是生硬了些，尚请读老您多多包涵。有任何批评指教，请找何老朽代转，包君满意！图零是CS4328的方块图，第一个方块8XInterpolationFilter已经在何老朽以前的一系列高传真文章中介绍过了。第二个方块就是本文所要谈的Delta-Sigma(△Σ)。现在我们就开始正式进入△-ΣD/Aconverter之殿堂。为了使本文雅俗共赏，笔者避开了所有的数学方程式，尽量以图解的方式作观念上的介绍。要了解△Σ调变，必须先从△调变下手，比较容易进入状况，复杂如CS4328所采用之五阶△Σ调变就是从最原始之△调变一步一步演化而来的。请详见图一的演化图。建议读者在K这篇文章时，多看图，至于文字就只是用来说明图例而已。图二是一个八调变之1BitDAC。Xd代表数位波形输入，就数位音响而言，Xd可能是18bit，至于尾巴的d代表digital之意。Yd为△调变之1Bit输出，值为正1或负1。△调变之观念很简单，就是要使Yd之积分波形愈接近Xd愈好，如图三所示。每当Yd之积分值(即Zd)超过Xd，下一个Yd值就设为负1。如果Yd之积分值Zd低于Xd，下一个Yd值就设为正1。图二的减法器就是要看看Xd和Zd谁大谁小，Ud=Xd-Zd，若Ud大于零，比较器输出(即Yd)就为正1，若Ud小于零，比较器输出为负1。如此一来Yd不断的修正使得Yd之积分后波形Zd如影随形般的和Xd同上同下。现在要做的就是把Zd以类比的方式重现出来。很容易的，首先利用1Bit的DAC将数位的Yd转成类比的对等信号Ya，(其中a代表analog之意)，然后再用类比积分器将Ya作积分而产生Za。于是Za和Zd两者之波形是一样的，只不过Zd是数位而Za是类比。但是由于1BitDAC，Za会有些不平滑的转折点，所以最后还需要一个类比低通滤波器以产生平滑的Xa，Xa就是Xd的类比重现。这样的△调变方式产生了一些问题。首先是如果数位输入波形Xd的变化太急剧，也就是斜率过大，如图四(a)所示，那么Zd将会跟不上，而产生严重的失真。第二个问题是△调变看不见直流或极低频成份。因为△调变基本上是针对输入波形的时间变化量(类似微分)作1Bit的量化编码(如图三(a)所示)，所以直流成分显示不出来。这样说太模糊，我们看图四(b)，如果输入Xd是直流，那么不管Xd的固定值是多少，Yd的输出永远都一样，那当然不对。此外，类比积分器在实际工程上也不是那么讨人喜欢。要克服上述两个问题，可以将图二之△调变DAC作一些变形，我们将积分器从后面搬移到最前面．如图五所显示的。如此一来原来的类比积分器就变成数位的积分器。而且Xd经过积分之后，原有的急剧变化将会变得平缓得多，于是后面的△调变就不会有斜坡跟不上的问题。至于Xd中的直流或极低频的成份，经过积分之放大效果后，就不会像图四(a)所示的那样水平固定不动，于是后面的△调变就可以看得到而加以量化编码。这实在是一本万利。图五这样的系统可以称呼为△Σ调变(SigmaDeltaModulator)，就是在△调变之前加个Σ，Σ意指积分。图五所描述的△Σ调变可以再加以简单化。我们注意到图五之Ud为Xd之积分减去Yd之积分，是先积分再相减。所以我们也可以使Xd和Yd先相减，以后它们的差再积分，就如同图六所描绘的，结果Ud不变，但是图六比图五省下一个积分器。因为图六是先相减再积分，可称之为△Σ调变(Delta-SigmaModulator)。由于其中所用之积分器事实上是一个一阶滤波器，所以图六可细称为一阶△Σ调变。图六只是△Σ调变的基本型，它的效能还可再改进。例如图七，这是个n阶△Σ调变器，也就是以一个n阶滤波器去取代图六之积分器，这样就可以大幅提高最后类比输出之S/N比。如果n=5，就是CS4328所采用的1bitDAC。经过上面那么一大段烦闷琐碎的文字解说，我们来点轻松易懂的。图八(a)是△Σ调变的数位波形输入，经过△Σ调变后1Bit输出为图八(b)。图八(b)的二值类比波形经过类比低通滤波器之后，又还原成图八(a)一样的波形，不过是类比的。在时间指标为l0附近，图八(a)小于零，于是1Bit输出大部份是负1。在时间为30附近，图八(a)大于零，于是1Bit输出大部份是正1。在时间为45附近图八(b)大约是零，于是1Bit输出为正负1交错。看这图八，相信读者对于△Σ一定有了一些较具体的感觉。现在我们解释一下CS4328的五阶△Σ(图七)优于基本型一阶△Σ(图六)的道理何在。总归一句话，△Σ就是要产生一串1Bit信号，这串信号和输入波形(audio)在低频部份(20KHz以下)一模一样．而其它量化误差则尽量往高频移过去．这些高频误差就可以用类比低通滤波器轻松地干掉。图九是一个一阶△Σ调变输出Yd的频谱，20KHz以下低频部份是我们所要的信号，50KHz以上高频部份就是其它误差。图十是二阶△Σ调变输出的频谱。两相比较，读者可发现二阶△Σ的量化误差(频谱高频部份)比较多，且比较往高频率挤。意思就是说，低频信号部份比较精准，S/N比较高。为什么？道理很简单，△Σ调变中的比较器是在作信号量化的工作，如同一般的16bitDAC一样，只是它比较极端，只有1bit。我们自然希望这个比较器只针对低频信号作量化，所以最好是不要让比较器看到高频部份。图六的一阶数位积分器和图七的n阶数位滤波器就是在扮演这种站在比较器前面阻挡高频的角色。谁阻挡高频越成功，比较器对低频信号的量化也就越精准，量化误差也就越往高频挤。讲到这里大家一定就明白为何二阶△Σ比一阶△Σ的S/N比高，因为二阶数位低通滤波器比一阶的更能阻挡高频。依此类推，三阶，四阶，五阶，阶数越高越好。但是阶数越高数位滤波器越复杂，成本越高。而且阶数太高会引起整个△Σ调变器的稳定性的问题。基于这些考量，CS4328采用五阶。啰嗦了这么一大段，相信大家只要有一些Digital的基本概念，就一定对CS4328的△Σ调变有了一些观念上的认识。如果还不清楚，那么读者未免太对不起笔者牺牲这么多的宝贵时间，半年！至于CS4328还有SwitchedCapacitorFilter的部份，读者就把它想成是类比低通滤波器就好了，至于什么是SwitchedCapacitor，笔者就暂时不奉陪了。数位，虽然我们常说那只不过是0与1的变化，然而它的学问却是博大精深的，Delta-Sigma这个名词出现已久，却无人能将它说明清楚。我们非常感谢黄博士，竟以半年的时间，在不谈理论、不写公式的条件下，把Delta-Sigma说得这么明白，并亲绘本文之所有附图，在此本人谨代表高传真及读者向黄博士致最深之谢忱。蒲鸿庆