浅谈三角形中位线定理的28种证法(已获奖并发表)

浅谈三角形中位线定理的28种证法顺德养正西山学校孙瑞摘要：北师大数学九年级上册第三单元中学生学习了三角形中位线定理，对于三角形中位线定理的证明方法笔者进行了深入地研究，发现了二十八种不同的方法，下面笔者将三角形中位线定理的这二十八种证法与大家共同分享。共有十种不同的类型：动手操作法、相似法、倍长法、平行法、翻折法、作高法、构造法、旋转法、同一法、反证法。关键词：三角形中位线定理、二十八种不同的证法。北师大数学九年级上册第三单元中学生学习了三角形中位线定理，对于三角形中位线定理的证明方法笔者进行了深入地研究，发现了二十八种不同的方法，下面笔者将三角形中位线定理的这二十八种证法与大家共同分享。三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半。如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。求证：DE‖BC，DE=21BC。一、类型一：动手操作法方法1：度量法北师大初中数学教材的编写是呈螺旋式上升的，七年级和八年级上册重点培养学生的合情推理能力（即学生的动手操作和简单的说理验证），八年级下册和九年级重点培养学生的演绎推理能力（即严格地利用定理进行证明）。因此运用合情推理，可以采用度量的方法来证明三角形中位线定理。首先用直尺分别量出DE、BC的长，看是否满足DE=21BC，再用量角器分别量出∠ADE和∠B的度数，看是否相等，从而判断是否平行。二、类型一：相似法方法2：相似法一根据AD=21AB，AE=21AC，∠DAE=∠BAC，从而得到△ADE∽△ABC。于是∠ADE=∠ABC，DE:BC=AD:AB=1:2。轻松得到DE‖BC，DE=21BC。方法3：相似法二过点D作DF⊥AC于F，过点B作BG⊥AC于G，则DF//BG，于是△ADF∽△ABG，得到DF=21BG，AF=FG。因为AE=EC，所以FE=21GC。根据DF:BG=FE:GC，∠DFE=∠BGC=900，得到△DFE∽△BGC，从而命题得证。三、类型三：倍长法方法4：中位线倍长法一：这是常用的方法，也是北师大教材中使用的方法。延长DE至F，使EF=DE，连接FC，则△ADE≌△FEC，则AD//FC且AD=FC，所以BD//FC且BD=FC，则四边形DBCF是平行四边形。因DE=21DF，则DE‖BC，DE=21BC。方法5：中位线倍长法二：延长DE至F，使EF=DE，连接CF、DC、AF，则四边形ADCF为平行四边形，易知四边形BCFD为平行四边形，从而命题得证。方法6：中线倍长法：连接BE，延长BE至G，使EG=BE，连接CG，延长DE，交CG于F，则△ABE≌△CGE，得到AD//FC易证四边形DBCF是平行四边形，从而命题得证。ABCDEABCDEFGFADEBCFADEBCFADEBCGFADEBC方法2方法3方法4方法5方法6四、类型四：平行法方法7：外部平行一边法：过C作CF//AB，交DE的延长线于F，易证△ADE≌△CFE，得到DE=EF，AD=CF.从而四边形BCFD是平行四边形，从而命题得证。方法8：外部平行底边法过A作AF//BC，取BC中点为G，连接GD，延长GD，交AF于F，则△ADF≌△BDG，FD=DG，AF=BG，则AF=GC，则四边形AFGC是平行四边形，于是DG‖AC，DG=AC，则四边形DGCE是平行四边形，DE//BC，DE=GC，从而命题得证。方法9：外部平行中位线法过A作AF//DE，AF=DE，连接FE，延长FE，交BC于点G，则四边形AFED是平行四边形，FG//AB，从而得到BG=CG，△AEF≌△CEG，则BG=AF=DE=GC，FE=EG=AD=DB，则四边形BGED是平行四边形，从而命题得证。方法10：内部平行一边法过E作EF//AB，交BC于F，则△CEF∽△CAB，得到BF=FC，EF=21AB=AD，∠A=∠FEC，利用“SAS”可以证明△ADE≌△EFC，得到DE=FC，∠AED=∠C，从而命题得证。五、类型五：翻折法方法11：轴对称法过点D作DF⊥BC于点F，将四边形ADFC沿DF对折，得到四边形A′DFC′，则E′D=DE，∠C=∠C′，△E′BD≌△EAD，则E′B=AE=EC=E′C，于是∠C′=∠EBC，则∠C=∠E′BC，得到E′B//AC，得到四边形E′BCE是平行四边形，从而命题得证。六、类型六：作高法方法12：作底边高法此法是所有方法中最为巧妙也是最为经典的方法。其思路主要是对于初中阶段所学知识的综合运用。首先回顾与中点有关的知识点——（1、全等；2、垂直平分线；3、等腰三角形三线合一；4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。）这时联想到第4个知识点中点但没有直角三角形，就必须构造出来，于是就要作高。过A作AF⊥BC于F，连接DF，EF。得到FD=BD=DA；FE=AE=EC。利用“SSS”证明△ADE≌△FDE，得到∠ADE=∠FDE，再运用三线合一得到AF⊥DE，再分别作DM⊥BC于F，EN⊥BC于N，于是四边形DMFG、ENFG、DMNE均为矩形，从而命题得证。方法13：作中位线高法分别过点A、B、C向中位线作垂线，垂足分别为F、M、N。易知△ADF≌△BDM，△AEF≌△CEN，则MD=DF，NE=EF，MN=2DE，MB//NC，MB=NC，得到四边形MBCN为矩形，从而命题得证。七、类型七：构造法方法14：构造矩形法过点D作DF⊥BC于F，过点E作EG⊥BC于G，过A作MN//BC，分别与FD、GE的延长线交于M、N。则四边形MFGN为矩形，△MDA≌△FDB，△NEA≌△GEC，于是MN=FG，MD=DF=NE=EG，得到四边形DFGE为矩形，从而命题得证。FADEBCFADEGBCFADEGBCFADEBCFC′A′ABDEE′C方法7方法8方法9方法10方法11GNFABCDEMFNABCDEMFNABCDEMGFNABCDEMGFADEBCG方法12方法13方法14方法15方法16方法15：构造平行四边形法一过点D、E作DF//EG，分别交BC于F、G，过点A作MN//EG，分别与FD、GE的延长线交于M、N。则四边形MFGN为平行四边形，与构造矩形法相同原理，从而命题得证。方法16：构造平行四边形法二过点A作AF//BC，且AF=BC，连接CF，延长DE，交CF于G，则四边形ABCF为平行四边形，AB//FC。得到△ADE≌△CGE，于是CG=AD=DB，则四边形BCGD为平行四边形，从而命题得证。八、类型八：旋转法方法17：旋转法一因AE=EC，故可将△ADE绕点E顺时针旋转1800至△CFE。则△ADE≌△FEC，AD//FC，AD=FC，则BD//FC且BD=FC，则四边形DBCF是平行四边形。由DE=21DF，所以DE‖BC，DE=21BC。方法18：旋转法二因AE=EC，故可将△ABC绕点E顺时针旋转1800至△CFA。可得到四边形DBCG是平行四边形，从而命题得证。方法19：旋转法三连接BE，因AE=EC，故可将△ABE绕点E顺时针旋转1800至△CGE，则△ADE≌△CFE，△BDE≌△GFE，于是BD//FC，BD=FC，可得到四边形DBCF是平行四边形，从而命题得证。方法20：旋转法四过点D作DF⊥BC于F，过点E作EG⊥BC于G，因BD=DA，CE=EA，故可将△BDF绕点D顺时针旋转1800至△ADM，将△CEG绕点E顺时针旋转1800至△AEN，则四边形MFGN为矩形，MN=FG。由三角形内角和定理可知，则点M、A、N在同一直线上。于是得到FG=MN=BF+CG，即FG=21BC。由旋转可知，DF=EG，得出四边形DFGE为矩形，从而命题得证。方法21：旋转法五过点D、E作DF//EG，分别交BC于F、G，因BD=DA，CE=EA，故可将△BDF绕点D顺时针旋转1800至△ADM，将△CEG绕点E顺时针旋转1800至△AEN，证明方法与上题基本一致。方法22：旋转法六因BD=DA，故可将梯形BDEC绕点D顺时针旋转1800至梯形ADFG，则CD=DG，EC=GF，EC//GF，于是得到四边形GFEA是平行四边形，得到DE//GA，DE=21GA。由旋转可知，GA=BC，GA//BC，从而命题得证。方法23：旋转法七过点A作AF⊥DE于点F，因BD=DA，CE=EA，故可将△ADF绕点D顺时针旋转1800至△BDM，将△AEF绕点E顺时针旋转1800至△AEN，则MD=DF，EN=FE，于是DE=21MN。由旋转可知，MB=AF=NC，MB//NC，则四边形MBCN为矩形，从而命题得证。FNABCDEMGFADEBCGFNABCDEMFADEBCGFADEBCFNABCDEMGFADEBCG方法17方法18方法19方法20方法21方法22方法23方法24B′C′AFBCDEO方法24：旋转法八（同一法一）取DE中点O，故可将△ABC绕点O顺时针旋转1800至△A′B′C′，连接AA′，BB′，CC′，延长CA′，交BC于F。四边形ADA′E是平行四边形，得到DA′//AE，DA′=AE，则DF=21AC=AE，于是DA′=DF，说明A′与F为同一个点，从而命题得证。九、类型九：同一法方法25：同一法二过点D作DF//BC，交AC于F，△ADF∽△ABC，得到AF=21AC。由已知条件中AE=EC，能够推出F与E为同一个点，从而命题得证。方法26：平移法（同一法三）把△ADE平移至△EFC的位置，点F可能在△ABC内部或BC上，可能在△ABC外部，不妨设F落在△ABC内部。延长EF，交BC于G。由平移可知，EF//BD，EF=BD。由EG//AB可知，△CEG∽△CBA，得到EG=21AB=DB，于是EF=EG，说明F正好落在BC上，即点G，从而命题得证。十、类型十：反证法方法27：反证法一假设DE与BC不平行，设DE与BC交于点F。过点C作CG//BD，交DF于G，则△FGC∽△FDB，得到GC：DB=FG：FD≠1，即GC≠DB。根据CG//BD可知，△CEG≌△AED，则GC=AD=DB，这与GC≠DB相矛盾，从而命题中的DE//BC得证。再根据DE//BC很容易证明DE=21BC。方法28：反证法二假设DE≠21BC，延长DE至F，使得EF=DE，则△CFE≌△ADE，FC=AD=DB，FC//AB，得四边形BCFD是平行四边形，则DF//BC。不妨设DE＞21BC，设DG=BC，连接GC。则四边形BCGD是平行四边形，于是GC//AB，这与FC//AB矛盾，从而命题中的DE=21BC得证。再根据DE=21BC很容易证明DE//BC。初中数学中的几何变换包括：平移、旋转、轴对称。我把这些方法分成了十种不同的类型，其中运用这三种变换都能达到证明的目的。因为有中点，所以倍长法与作高法和构造法都能构造全等三角形，并且还能自动生成对顶角，平行法相当于就是把线段进行平移，也能构造全等三角形，并生成对顶角，因此平行法、倍长法与作高法和构造法都可以转化为旋转，从而顺利地寻找到证明思路与方法。这些辅助线的作法能互相转化的关键之处就在AE=EC，且A、E、C在同一条直线上。我们应该认真研究初中数学几何知识，发现其本质与联系，就能对几何证明达到融会贯通、运用自如的地步。要让学生对几何证明进行全方位地探求，抓住问题的全貌以及与问题相关的其他因素，进行多角度、多层次的思考与研究，唯有这样，我们才能使学生的思路更加宽广，思维更加灵活，培养出具有创造性思维能力的学生。参考文献:胡炯涛.《数学教学论》，广西教育出版社，[M]1999FADEBCFADEBCGFADEBCGFADEBCG方法25方法26方法27方法28附个人简历联系人：孙瑞（男）教龄：14年联系地址：广东省佛山市顺德区大良新基三路33号养正西山学校邮编：528300联系电话：[phone]EMIAL：[e-mail]