浅谈中学数学教学中学生创新思维的培养

浅谈中学数学教学中学生创新思维的培养吴菲（湖南省长沙市周南中学中国长沙410081）摘要：数学教学重要的是培养学生的思维能力，是未来的高科技信息社会中，具有开拓、创新意识的人才所必须具有的思维品质。本文就如何在数学教学中，培养学生的创新思维能力提出了一些见解。一、在数学教学中，要精心设计，创设一定的思维情境，巧设悬念，使学生对所要解决的问题产生浓厚的兴趣，诱发学生的创造欲。二、要启迪学生的直觉思维，学生大胆猜想，发现结论，培养学生的创造机智。三、通过数学教学中的一题多解、一题多变，多题归一等训练，培养学生的发散思维，提高学生的创造思维能力。关键词：创新思维、直觉思维、发散思维、教学过程、现代教育技术、最近发展区“实施素质教育，培养学生创新能力”已成为我国教育教学改革的主旋律。创新思维的培养是高中阶段落实素质教育的重要标志，又是我们在每一个教学环节中应该贯彻的指导思想。从心理学与知识论的角度来看，教学的过程非常适合素质教育的要求，它能创造出培养创新能力的条件，能担当起培养学生创新意识，创新精神和创新能力的重任。笔者就中学数学教学中对学生创新思维的培养，谈一点自己的浅见。一、设置问题情境，引发学生创新思维的意识在数学教学中，学生的创造性思维的产生和发展，动机的形成，知识的获得，智能的提高，都离不开一定的数学情境。所以，精心设计数学情境，是培养学生创造性思维的重要途径。通过“过程”教学，学生的学习过程再也不是一个被动吸取知识、记忆、反复练习、强化储存的过程，而是一种主动参与，调动原有知识和经验尝试解决问题，同化新知识，构建自己知识体系的过程。学生在获得数学概念、定理、法则、公式、解题方法等数学知识的同时，发展了抽象概括的思维能力和归纳能力，获得了参与创新性思考的机会，能力就在这一过程中得到了培养。如“复数”概念的教学，先回顾总结从自然数集到实数集所经历的几次数集的扩充历程及规律：自然数非负有理数有理数实数。这个认识过程体现了如下规律：（1）扩充数集是解决社会生产与数学问题的需要；（2）每次扩充都是增加规定了性质的新元素；（3）在原数集内成立的主要规律在数集扩充后的更大范围内继续成立；（4）在每次扩充后的新数集里能解决原数集不能解决的问题。然后展示一个一元二次方程x2+4=3x由学生求解。学生：无解。老师：早在1484年法国学者舒开在求出x=273和x=273时，声明这两个根是不可能的，为什么？学生：7没有意义，因为负数没有平方根。老师：看来，他和我们的看法一样，但是意大利学者卡当在1545年解一元三次方程x3=15x+4时，首先他用自己得到的一元三次方程的求根公式得到x=31212+31212，然后他又用分解因式的方法找到了这个方程的三个解x1=4，x2=-2+3，x3=-2-3,令人十分困惑，121使他好不容易得到的一元三次方程的求根公式蒙上了一层阴影。（那么他怎么办呢？好奇心得到激发）这一矛盾的出现迫使他进行大量的研究，最后他大胆地作出了一个猜想：一定有一种新型的数存在，也就是说在实数中添进一类型的数后，这个矛盾就可以解决了。直到二百年后，瑞士数学家欧拉首次使用i2来表示-1，使负数没有平方根的历史结束了。后来又通过很多数学家的努力，终于在实数集内添进了卡当所预见的新型数----虚数。我们引入新的元素i并规定：（1）它的平方等于-1，即i2=-1;（2）实数可与它们进行四则混合运算，且原有的加、乘运算仍成立。由i的性质，i可以与实数b相乘，再添进正分数添进负整数、负分数添进无理数与实数a相加，因此可得到形如a+bi的数，这就是复数。当b=0时，它为实数；当b≠0时，它就是我们新添加的一类数----虚数。这样，使学生急于想了解复数到底是怎样的一种数，使学生有了追根求源之感，求知的热情被激发起来。又如，在讲解“等比数列求和公式”时，先给学生讲了一个故事：从前有一个财主，为人刻薄吝啬，常常扣克在他家打工的人的工钱，因此，附近村民都不愿到他那里打工。有一天，这个财主家来了一位年轻人，要求打工一个月，同时讲了打工的报酬是：第一天的工钱只要一分钱，第二天是二分钱，第三天是四分钱......以后每天的工钱数是前一天的2倍，直到30天期满。这个财主听了，心想这工钱也真便宜，就马上与这个年轻人签订了合同。可是一个月后，这个财主却破产了，因为他付不了那么多的工钱。那么这工钱到底有多少呢？由于问题富有趣味性，学生们顿时活跃起来，纷纷猜测结论。这时，教师及时点题：这就是我们今天要研究的课题——等比数列的求和公式。同时，告诉学生，通过等比数列求和公式可算出，这个财主应付给打工者的工钱应为1073741824分≈1073（万元），学生听到这个数学，都不约而同地“啊”了一声，非常惊讶。这样巧设悬念，使学生开始就对问题产生了浓厚的兴趣，启发学生积极思维。以上两个例子说明，在课堂数学中，创设问题情境，设置悬念能充分调动学生的学习积极性，使学生迫切地想要了解所学内容，也为学生发现新问题，解决新问题创造了理想的环境。同时，让学生从活生生的具体材料中明白：要有新的发现，首先要积极地思考问题，多角度地解决问题；其次应具备丰富的知识，掌握科学的研究方法。二、培养直觉思维，发展创造性思维能力著名数学家吴文俊说：“只会推理，缺乏数学直觉是不会有创造性的。”直觉思维在创造的关键阶段上，起着重要作用。爱因斯坦根据自己亲身经历的科学创造实际得出结论，“我相信直觉和灵感。”他一再强调，在科学创造过程中，从经验材料到提出新思想之间，没有“逻辑的桥梁”，必须诉诸灵感和直觉。被誉为“纯粹之皇冠”的数论，实际上也是在观察的基础上发展起来的一门科学，因此在学生直觉思维能力的培养中，观察能力的培养甚为重要；要使他们敢于怀疑，敢于突破，只有这样才能在观察中有所发现，观察是创造的基础，因为只有通过观察才会出现问题，思考问题。同时，对观察到的现象进行适当分析，也容易触发对一般结果的猜测，对深层次关系的预感，这是一种可贵的创造性素质。学生在民主、平等、和谐的学习氛围中积极动手、动脑、动口，在活动中获取知识，形成技能，发展能力，提高思维创新水平。比如，在立体几何中，设计等体积的正方体、等边圆柱体、球体哪一个表面积最小？让学生凭直觉回答而后再证明。再比如讲“等差数列”的概念时，可以让学生填空：（1）1，4，7，＿，13，＿；（2）3，0，＿，-6，＿，＿；这样观察与思维有机结合，分析与猜测同步进行。另一方面，观察也可发现错误，观察错误又可能发现其他合理因素，并由此找到修正错误的方法途径。如，对问题“方程x2+4x+p=0的两根为α、β，且│α－β│＝3，求实数P。”，一位学生是这样板演的：│α－β│＝3=│α－β│2＝9=（α－β）2=9=（α+β）2－4αβ=9=（-4）2-4P=9=。我没有直接指出其错误，而是充分肯定其转化得很巧妙，因为出现这一错误的人不在少数。我要求学生对这一过程重新审视一遍；特别留意X1，X2∈C时，其每一步推理是否正确。通过观察分析，不少学生发现：当X1，X2∈C时，│α－β│2＝9与（α－β）2=9并不等价，弄明白错因后，并未罢手，而是要求学生继续观察与分析；这里是否有合理的因素，不少学生发现只要Δ≥0就行了，Δ0另行处理；还有的学生发现│α－β│2＝9=（α－β）2=9尽管不成立，但只要改为│（α－β）2│＝9就成立了。从而得到更一般的思路：即使P∈C此法也成立。这里将│α－β│2＝9与（α－β）2=9对照起来观察，使学生有所发现，同时也学会了“对比观察”这一科学的研究方法。三、培养发散思维，促进创新思维的发展发散思维是创新思维的重要支点，是学生将来成为创造性人才的基础。一个人的创新，无非是想到别人还未想到的可能性，或者说，就是别人思维尚未扩散到的领域，被你的思维扩散到了。比如在数学解题教学中，对同一个数学问题，有的学生可能冥思苦想，百思不得其解，什么原因？归根到底，就是他的思维尚未扩散到能够完成解题的思路上来。所以说，我们实施创新教育，大量培养创造型人才，就必须将发散思维的训练，发散思维能力的培养放在重要地位上。发散思维的本质就是想象力的充分自由，发散思维是最为活跃的思维方式，具有很大的创造性。数学上的许多重大发明，发现都离不开数学家的发散思维。比如数学史上的三次危机哪一次不是众多数学家想尽各种办法，利用各种手段，通过各种渠道，采取各种方式，最后渡过危机，并使数学有大的发展？数学发展史，融会了众多数学家通过发散思维研究和解决数学问题的光辉例证。加强对学生发散思维的培养，对造就一代开拓型人才具有十分重要的意义。在数学教学中可通过典型例题的解题教学及解题训练，尤其是一题多解、一题多变、一题多用及多题归一等变式训练，达到使学生巩固与深化所学知识，提高解题技巧及分析问题、解决问题的能力，增强思维的灵活性、变通性和独创性的目的。一题多解，培养学生求异创新的发散思维，实现和提高思维的流畅性。通过一题多解的训练，学生可以从多角度、多途径寻求解决问题的方法，开拓解题思路。使不同的知识得以综合运用，并能从多种解法的对比中优选最佳解法，总结解题规律，使分析问题、解决问题的能力提高，使思维的发散性和创造性增强。一题多变，培养学生的转向机智及思维的应变性，实现提高发散思维的变通性。把习题通过变换条件，变换结论，变换命题等，使之变为更有价值，有新意的新问题，从而应用更多的知识来解决问题，获得“一题多练”、“一题多得”的效果。使学生的思维能力随问题的不断变换，不断解决而得到不断提高，有效地增强思维的敏捷性和应变性，使创造性思维得到培养和发展。多题归一，培养学生的思维收敛性。任何一个创造过程，都是发散思维和收敛思维的优秀结合。因此，收敛性思维是创造性思维的重要组成部分，加强对学生收敛性思维能力的培养是非常必要的，而多题归一的训练，则是培养收敛性思维的重要途径。很多数学习题，虽然题型各异，研究对象不同，但问题的实质相同，若能对这些“型异质同”或“型近质同”的问题归类分析，抓共同的本质特征，掌握解答此类问题的规律，就能弄通一题而旁通一批，达到举一反三、事半功倍的教学效果，从而摆脱“题海”的束缚。如：用数学归纳法证明：1+21+31+…+n12n(n∈N*)通过分析、综合，问题的关键是证明：2k+11k21k(k∈N*)学生1：21k-(2k+11k)=11)1(2)1(2kkkk=1)1(2kkk0老师：比较大小，运用作差比较法，思路自然。学生2：2k+11k=1112kkk11)1(kkk=21k老师：运用基本不等式，快速、简练。好！学生3：2k+11k=1112kkk1141)1(2kkk=11)21(2kk=21k老师：怎么想到要添加1/4呢？请说一说。学生3：我想去掉根号，加1/4后就把k2+k凑成了一个完全平方数，计算一下，恰好等于12k。学生4：我想用分析法做，要证：21211kkk成立,即证：kkk21211也就是证1211kkk，显然成立。通过展示不同学生的原始思维过程，形成一题多解，可以培养学生思维的流畅性；对比学生2、学生3的思维过程，他们从同一点出发，一个用基本不等式，一个凑平方展示了思维的变通性；学生4在常规思考方式（分析法）的基础上得出令人耳目一新的放缩法，发展了思维的独特性。从上可以看出教学过程中发散思维的三性（流畅性、变通性、独特性）的训练得到了彻底的落实。所以数学的创新教育不光是为了传授现有的数学结论，更重要的是在老师的引导下，学生积极主动探索知识，形成技能和能力。要体现课堂教学中的新奇性。启发性和趣味性，就必须改变传统教育中只注重知识传授的弊端，引导学生主动探索，从亲历知识的发生、发展、变化过程中发现快乐，激发兴趣，启发他们对已经解决的数学问题加以引申、变化、促进思维的发展，通过变式训练，让学生养成用观察、联想、类比的方法去解决问题的习惯，提高思维的创新能力。四、培养学生的创新思维，要求教师在教法上有创新教师应