保险学之效用、风险与风险态度

第一讲效用、风险与风险态度2第一节风险、不确定性与风险管理一、风险与不确定性•风险是客观存在（Astateofworld），而不确定性是心理状态（Astateofmind）。•风险是可以测定的(Measurable)，有其发生的一定概率，而不确定性是不能测定(Immeasurable)。•风险的重要性在于它能给人们带来损失或收益；而不确定性的重要性则在于它影响着个人、公司和政府的决策过程。3〔一〕风险的度量1.概率(Probability)pnmLimAPn)(42.期望值(Expectedvalue)iiipxXE1)(dxxfxXE)()(53.方差(Variance)21212)]([)(X)(X)]([)(XExPxxPXExXVariiiiii222)]([)()()]([)(XEdxxfxdxxfXExXVar64.标准差(Standarddeviation)Var75.离散系数(Deviationcoefficient)86.偏度(Skewness)niixxnSK133/)(1197.协方差(Covariance)))((),(1yinixiiyxPYXCov108.相关系数（Correlationcoefficient）YXYXCovYX),(),(11〔二〕风险管理风险管理是通过风险的识别、衡量和控制，以最小的成本将风险导致的各种不利后果减少到最低限度的科学管理方法，是组织、家庭或个人用以降低风险的负面影响的决策过程。12131415第二节风险汇聚、大数法则与中心极限定理一、风险汇聚的效果当风险是相互独立的时候，汇聚安排可以抑制风险，风险管理的价值因此而显现出来。16例子：假设蓝猫和黑猫下一年度发生20万元损失的概率都为20%，且两者的事故损失不相关。17•如果蓝猫和黑猫决定在他们之间进行风险汇聚，也就是说，不论谁发生意外，两个人同意均担发生的损失，这时看期望损失和标准差如何变化：18•可以看到，风险汇聚虽然不能改变每个人的期望损失，但却能将平均损失的标准差由8万元减小到5.66万元，使事故损失变得更容易预测，因此风险汇聚降低了每个人的风险。•不难证明，当风险汇聚的加入者增多，平均损失的标准差会进一步减少，出现极端损失（非常高的损失和非常低的损失）的概率不断降低，风险变得更易预测。而且随着加入者数量的增加，每个人支付的平均损失的概率分布逐渐接近于钟形曲线。•当参加风险汇聚的人足够多，达到一定的大数，每个参加者成本的标准差将变得接近于零，因此每位加入者的风险将变得可以忽略不计。这就是保险经营最重要的数理基础——大数法则。19二、大数法则(Lawoflargernumbers)1.切贝雪夫（Chebyshev）不等式和切贝雪夫大数法则111limnkknnXP20•切贝雪夫大数法则说明，当n足够大时，平均每个被保险人实际获得的赔偿金额与每个被保险人获得的赔偿金额的期望值之间的差异很小，或者说，平均每个人获得的赔款与赔款的期望值之差的绝对值小于这一事件，在n→∞时是个必然事件。而保险公司从投保人那里收取的纯保费（不包括保险公司的管理费用、税收和利润等）应等于每个被保险人获得的赔偿金的期望值。切贝雪夫大数法则又指明了期望值在n→∞时等于实际赔偿额的平均值。尽管实际赔偿额的平均值事先是无法知道的，但保险人可以根据以前的统计资料知道同类损失的平均值是多少。所以当n足够大时，保险人从投保人哪里收取的保险费应该是以前损失的平均值。这就是保险公司从投保人那里收取多少的保险费的基本依据，如果风险汇聚的加入者达不到一定的“大数”，保险公司就无从知道应该向每个投保人收取多少保险费，保险也就失去了最基本的精算基础。212.辛钦大数法则3.贝努利大数法则在保险经营中，当相互独立的风险单位满足一定的大数，保险公司就可以用以往损失频率的统计数据来推测未来同一损失发生的概率，因为，大数法则令两者近于相等。224.泊松（Poisson）大数法则在保险经营中，尽管相互独立的风险单位的损失概率可能各不相同，但只要标的足够地多，仍可以在平均意义上求出相同的损失概率。保险公司由此可以把性质相似的各分类的标的集中在一块，求出一个整体的费率，再加以调整，从而在整体上保证收支平衡。比如，尽管同一档次的众多车辆所面对的风险可能各不相同，但仍可以把它们放在同一个风险集合之内进行风险汇聚，只要这些车的数量满足一定的大数即可。121limnpppnnnnP23〔二〕中心极限定理当风险汇聚的加入者足够多时，平均损失的分布接近于正态分布，就可以用正态分布的概率值来估计结果超过某给定值的概率。24•德莫佛-拉普拉斯定理•列维定理2526第三节期望效用与风险偏好一、效用与投资风险27例子：1000元钱在1年之内：夹在书中：——1000元存入银行：——1030元投资基金：——预定指数高于大盘指数（比如上证指数）：回报率40%；低于大盘指数回报率-20%。如果符合期望值规律（Expectedvaluerule），即总是选择期望值最高的投资)：则应选择投资基金。**期望值规律：假定在一次赌博中，分别以概率（p1,…,pn）获得收益（x1,…,xn），那么该项赌博的吸引力由该赌博获得的期望收益x=∑xipi决定。1100800*5.01400*5.0iiiXPEV28二、倍努利的圣·彼得斯伯格悖论（St.PetersburgParadox)但通常所运用的期望值规律却并不总是适用，比如1738年倍努利（Bernoulli)提出的：即”圣·彼得斯伯格悖论（St.PetersburgParadox)“：投掷质地均匀的硬币，直至出现反面，如果掷第一次就出现反面，得到2美元，第二次掷出现正面，得到4美元，第三次掷得到8美元，这样赌局的期望值是：但没有人愿意出十几美元或更多的钱去冒险。1112)(121nniEV29•如果我们假设乙的期望效用值是财富的自然对数——这是一个和厌恶风险的人的期望效用拟合得很好的函数形式。现在用一个数字化的例子再展示一下圣·彼得斯伯格悖论:•由此可见，乙参加这样一个赌局,他所愿意出的赌注仅仅是4英镑，而不是无穷大。)4ln()2ln(2)2ln()()()2ln()2ln()()2()()(2121121121iUXUpEUiiiiiiiiiii30•如何解释圣·彼得斯伯格悖论呢？期望效率理论提供了答案，也把效用理论从古典推到了现代。期望效率理论认为，不确定性条件下的效用也是不确定的，最终的效用水平取决于不确定事件的结果。比如，购买彩票的效用最终取决于是否中奖，而购买保险的效用水平最终取决于保险事故是否发生以及保险人对损失的赔付比例。在保险经济学中，对不确定性条件下的效用研究采用的是期望效用函数。31附注：悖论举例：1.自相矛盾2.半费之讼〔古希腊普罗泰戈拉Protagoras：偶提勒士Euathlus〕3.鳄鱼和小孩：我会不会吃掉你，对则放。4.唐吉柯德悖论：你来做什么，对则放。5.理发师悖论：6.艾毕曼德悖论：7.藏羚羊与破窗理论8.保险业的诸多悖论：代理人＋资源配置32•冯·诺依曼和摩根斯坦恩是期望效用函数的创始人，所以期望效用函数也称冯·诺依曼和摩根斯坦恩效用函数，其一般形式是：)(U)(U),,,(22112121ccccU33假设效用函数是财富量的自然对数，则：1000元钱在1年之内：1）夹在书中：——1000元2）存入银行：——1030元3）投资基金：——预定指数高于大盘指数（比如上证指数）：回报率40%；低于大盘指数回报率-20%。•2）的期望效用：•3）的期望效用：9373.6ln(1030)1.0)1030(0.12UEU9645.6ln(800)0.5ln(1400)0.5)800(5.0)1400(5.03UUEU34•期望效用图示：U244.71400）（U685.6800）（U9645.63EUW9373.62EU35如前：亦设U(x)=ln(x),则圣·彼得斯伯格悖论中，参赌者愿意付出的代价为：4美元。)4ln()2ln(2)2ln()()()2ln()2ln()()2()()(2121121121iUXUpEUiiiiiiiiiii36三、风险偏好——人们对风险的态度1.风险偏好的分类与定义•风险爱好者（Risklover）•风险厌恶者（Riskaverter）•风险中性者（Riskneutral）37•例子：假设世界杯足球赛中巴西队和阿根廷队冠亚军决赛时猜巴西队赢的彩票中奖概率是P，彩票购买者中奖后的财富量是；而未中奖的财富量是。彩票的期望值是每一种结果与其发生的概率的乘积的总和。WpPWWE)1(][1如果一个彩票购买者期望值的效用等于彩票的期望效用，即若：)()1()(])1([])[(2121WUpWPUWpPWUWEU说明他仅对期望值感兴趣，对风险是不在意的，则称他为风险中性者。38风险中性者的效用函数具有以下性质：1)财富数量的增加导致满足程度的上升。2）边际效用恒定。39如果一个彩票购买者期望值的效用大于彩票的期望效用，即若：)()1()(])1([])[(2121WUpWPUWpPWUWEU40风险规避的效用函数满足以下两个假设：1）财富数量的增加导致满足程度的上升2）边际效用递减41如果一个彩票购买者期望值的效用小于彩票的期望效用，即若：)()1()(])1([])[(2121WUpWPUWpPWUWEU4243442.风险偏好的度量•阿罗-普拉特绝对风险厌恶程度的计量方法是用效用函数二阶导数和一阶导数的比率：•阿罗-普拉特相对风险程度的计量方法是用绝对风险厌恶程度乘以财富值W：dWWUdLnWUWUARV)()()(WdWWUdLnWUWWURRV)()()(453.风险偏好与保险决策倍努力定理：只要保险是按照精算公平费率〔Actuariallyfairpremium，AFP〕提供的，对一个风险厌恶的投保人来说，投保后的期望效用总是大于不投保时的期望效用。46474.财富得失及保险决策：丹尼尔·卡伊曼的例证丹尼尔·卡伊曼的一个研究结论是：人们面对风险预测时，更多在意的是赢还是输，成功还是失败，是财富的变化，而不是最终财富的多少。通常来讲，已经得到的东西又失去，同没得到某物相比，前者的痛苦要远大于后者。48