浅谈学生在解题与学习过程中数感的培养及其重要性(修改稿)

浅谈学生在解题与学习过程中数感的培养及其重要性潘正银（南京师范大学泰州学院数学科学与应用学院，江苏泰州225300）摘要：数感培养的目地在于使学生学会数学地思考，学会用数学的思维理解和解释现实的问题。良好的数感可以提高学生学习过程中的理解速度，解题速度和促进数学素质的提高，本文从学习新知识和解题两个方面论述了数感的重要性，接着从六个方面讨论如何在平时学习数学和解决数学问题中培养数感。关键词：学习；解题；数感；培养；1.引言：《数学课程标准》中说：“数感主要表现在理解数的意义；能用多种方法表示数；能在具体的情景中把握数的相对大小关系；能用数表达和交流信息；能为解决问题选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。”由此可见，数感体现在学生数学学习过程的诸多方面，是人的核心素养，也是数学的灵魂，当前数学的一个重要任务就是要培养学生对数学的直接感受。只有具有良好数感的人才会对数学的意义和运算有敏锐而强烈的感觉、感受和感知的能力。[1]因此在数学的学习和解题过程中，要注重数感的培养。培养好数感，对数学的学习和问题的解决都起着非常重要的作用。它影响着你学习的理解速度；影响你解题的速度；影响你数学素质提高；影响未来在数学上的发展。在数学的学习过程中，不断持续的会有数感指使着学生去思考去理解。在课堂上，数学直觉，也就是所谓的数感，可以让学生对老师提出的问题有快速准确的思路。这样学生可以得心应手的跟从老师的脚步去思考去延伸，最后解决很多问题，提高课堂的效率。例如：中学课堂上的一道构造题目：若2()4()()0zxxyyz,求证：,,xyz成等差数列。证明由于已知条件酷似一元二次方程根的判别式，故可构造一个一元二次方程。设：axy,bzx,cyz，构造一个一元二次方程20tbtac∵△=0,∴方程两根相等ac，即xyyz，∴2xzy,∴,,xyz成等差数列。这是中学中关于一元二次方程的一道题目。在讲题的时候，如果直接构造出axy,bzx,cyz。这样对数感较差的学生就不容易理解，就会出现思想上的驻留，跟不上老师的脚步，最后导致课堂学习效率差。而那些数感好的学生，他们就会很快理解并看出：题目的结构就是240bac，考查的就是一元二次方程中△=0知识点，然后就可以快速的跟上老师的思路，联想到△=0，方程组有相同的解。在解决问题的过程中，数感同样起着很大的作用。无论是在考试或是在平时的做题中，数学的数感会让你在不知不觉中拥有正确的思路，书写出流畅的过程，得出准确的答案。对于给出的题目，数感可以指引做题的思路，提供做题的想法，让学生快速建立知识联想，思考得出相关知识与解题的步骤，最终解决问题。如：若不等式2211xmx对满足22m的实数m都成立，求实数x的范围。分析：一般情况是已知未知数x的范围，求参数的范围，而此题恰好相反。数感好的学生就就能快速的感知：改变主次元，建立关于x的函数，并运用其图象是一线段的几何特征，列出关于x的不等式组，从而求解x的范围。然而，一般数感不好的学生就会停留在：“已知未知数x的范围，求参数的范围”这一思路上，不能往前思考解题。解：设2()(1)(21)fmxmx它是一个关于m的常数函数或是一次函数，定义域为x的取值2,2m，故使()0fm在22m恒成立，只需(2)0,(2)0,ff即222(1)(21)0,2(1)(21)0,xxxx即171322x2.培养数感的教学策略1、在课堂上跟着老师思考培养数感。老师是知识的源泉。学生要重视课堂，把握老师所讲的东西。学习知识要跟从老师的脚步，听从老师的意见。同样，培养数感也要跟随老师的思维去发展去延伸。课堂上，老师提出思考的题目，结合题目，老师会为学生指点迷津。这时，学生就要认真的去思考去联想。长时间积极努力的去思考老师给出的问题，快速明确的跟上老师的脚步思维。老师的课堂效率就会很高，学生掌握的效果也会很好。慢慢你也会发现，当老师提出问题时，你的思维就会很活跃，对题目很敏感，能够快速找出思路，联想到知识，最后正确的解决问题。如：课堂上一道“找规律填数”题，题目是这样的：33，17，9，5，3，（）。给完题目，老师要求同学开始思考，看怎么解决这问题。话语结束，马上就有同学举手，老师点了个中等生：“这个问题，我们可以来看相差量，相差量从左到右依次是16、8、4、2后一个是前一个的一半，所以，下一个相差量应该是1，故小括号内应填2。”结束，老师表扬说他讲的很好。接着老师提出：大家看下，有没有其它的解法。同学愣了下，本以为老师要讲下一题。在老师的带动揭示下，学生兴趣很浓的立即投入思考其它解法。不一会，课堂传出：“老师，我不同的解法。”老师激情地点道“好，你来讲吧！”“你们看，第一个数加上1和的一半是第二个数，第二个数加上1和的一半是第三个数…….所以，最后一个数应是(31)22。”“说得非常好。”学生和老师都为他鼓掌。老师又说：“大家有没有想法了？”激烈的思考氛围中传出：“老师，我也有一个想法。”“如果我们倒着看这组数，我们就会发现，后一个数的2倍减1，就是前一个数，所以也应填2。”又是一个令人惊讶的发言。在老师的带动下，学生的活跃思考下，这节课堂效率很高，学生的学习效果也很好，过程中有效的培养了学生的数感。2、在课后的练习总结培养数感。长时间的不读英语，你的英语语感会变弱，自然而然，在做英语试题的时候，你的解题速度肯定变慢，答案的正确率肯定会降低，考试的成绩自然也就不理想。同样，学生长时间不去做数学题，拿到题目时，就会感动棘手，不知道如何下手，即使是见过的同类的题目也不知道怎么去做。这就是因为长时间没有做题，没有去解决数学问题，学生的数学直觉，也就是数感就会变差。这也是为什么，在考试之前，很多老师会叫学生练习一些题目。说是练手，而且练习的题目也不一定是要考的。其实这就是为了让学生在考试之前培养锻炼下自己数感，对题目的数学直觉感。当你拿到新的题目，其实也不知道为什么，但学生就是那么自觉的那样想，那样做，最后做出正确的解答。同样，考试前老师要督促学生会总结复习。通过对整体知识的总结归纳，他们的知识会掌握的更加牢固，更加扎实。在这些练习与总结中，学生的数感（为解决问题选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释）会不断的得到培养。如：学生先前对一元二次方程的有解、两根之和、两根之积知识点有过总结归纳，并练习了相关知识点的题目。拿到题目：,,xyz都是实数，且5xyz，3xyyzzx，求,,xyz的范围。解：5xyz，3()3(5)xyzxyzz可以构造方程：22(5)530tztzz，它的两个根为,xy22(5)4(53)310130zzzzz解得1313z,,xyz的形式是对称的，同理131,3xy有过先前的总结、练习，拥有了这类数感，学生很容易看到xyz，,,xyyzzx，进而不自觉的想到方程的两个之和、积，联想到相关知识，一元二次方程有解0，最后解决问题。3、在题目的解答对比中培养数感。在具体的问题解答对比中可以让学生很好的认识感知数感，并培养形成数感。不同问题，有不同的解法、不同的思路。相同的问题也有不同的解法或是对问题的解释看法也可以不同，因为有了不同，结果就会有比较，比较了学生就是在体会感受培养数感。如：一些在生活中的相同问题不同表示、解答的比较。对与同一个人身高，有的会说是175cm，有的人会受1.75m。通过比较这两个不同的表示，让学生体会不同的感觉，，认识深化数感。在课堂上也有这样的例子：一个操场一圈长500m，一个同学跑了三圈。那么这个同学一共跑了多少呢？学生的回答是不同的，有人说1500m，有人会这样表示：1.5km。通过判断比较这些方法结果，都是正确的。说明同样解释一个问题，可以有不同的方案，但是同样的结果。其实那些问题，还可以用其它来表示。这样通过不同的方法解决并比较。加深对数的理解，丰富了学生对数的认识，进一步增进了数感。学生们解决问题时，运用了自己原有的知识基础和生活经验，细致周到地考虑问题，用不用的方法解决相同的问题，对不同的方法，所用的知识进行比较。在这样的过程中，学生们不断完善自己对原有知识的理解与认识，并不断建构对社会生活及知识本身新的意义，使学习者与真实的实践有效地联系起来，强化数感。在问题的解决过程中，可以引导学生对解题的所利用的知识，解题的方法进行对比，这能同样能增进强化他们的数感。例如：我们可以将一元二次方程与一元一次方程，从纵向知识的共性和特征进行比较。一元一次方程的一般形式：0axb其中(0)a。一元二次方程的一般形式20axbxc其中(0)a。对上面的一元一次方程和一元二次方程的一般形式进行比较。我们会很好的发现都有(0)a，还有一元一次方程的一次最高项次数为1，一元二次方程的最高项次数为2，两个方程都有一个未知数x。通过比较，学生能够进一步的去认识、理解、熟悉这两个方程的一般形式。通过知识点的比较，学生对这类知识有了更深的认识，同时达到培养数感的目的。4、在一些竞赛中提高培养数感。在学习的过程中，老师可以鼓励学生参加一些比赛。通过参加奥数、数学建模等竞赛来加强培养学生的数感，提高数学素质。如：鼓励小学生参加小学奥数，提高小学生数感。这是一道简单的小学奥数竞赛：用简便方法计算：“3.140.0433.147.231.40.15”这道题，刚开始小学生会发现有点难，不知道怎么解决。经过一段思考、观察，他会发现：如果把数字相应地扩大和缩小，314缩小10倍等于31.4，0.043扩大10倍等于0.43，3.14扩大10倍等于31.4，7.2缩小10倍等于0.72，最后31.40.4.331.40.7231.40.1531.4(0.4.30.720.15)31.4，答案是31.4。通过参加这样的比赛，接触难题、偏题、开放性发散思维题，可以强化学生模型的建立、逻辑思维、开放思维、想象空间思维。不仅是数感得到培养，综合的数学素质在这过程中都会得到很好的提高发展。5、在和老师同学交流中培养数感。著名的心理学家皮压杰说过：“思维是从动作开始的，如果切断了思维与动作的联系，思维就得不到发展。”[2]在老师教学或是学生学习的过程之中。老师与同学之间，同学与同学之间要多交流和讨论，激其思维的火花，不断培养好数感。在与老师讨论交流中，强化培养数感。如：在横线上填数，使这列数据有某种规律：1，3，5，____，____，____。老师在上课讲的时候，给出的答案是：7，9，11。是形成一个奇数列，具有规律特征，符合题意。因而答案是正确的。课后，某学生又和老师讨论了这个题目。他说答案可不可以是：9，15，25，从第三个数开始，每个数都是前面的数的和加上一？经过讨论，这位学生的结果解答是正确的，并且他还和老师又讨论出第三个答案：17，87，1479，从第三个数开始，每个数都是前面两个数的积加和。在学生和老师的讨论交流中，学生和老师的数感都会得到培养。同样，学生与学生之间，可以通过讨论事情、问题来培养数感。如：可以讨论一些问题：我们的学校有多大？我们的学校有多少人啊？班级的男女比例？书本的重量？笔的长度？还有对一些大数的估算。如：学校教室的体积是多大？教学楼的高度是多少？学校的面积多少？等。同过这些问题的提出，大家给出不同的表示，不同的答案，大家对其不断的讨论。最后，在潜移默化中，学生的数感就慢慢的得到了培养。6、在生活实践与体验中培养数感。《数学课程标准》强调：“要引导学好生联系自己身边具体、有趣的事物，通过观察、操作问题等丰富的活动，感受数的意义，体会数来表示和变流的作用，初步建立数感。”因此，对数学中数感的培养，要联系生活，用于实践。在生活的数字事件、数学问题中感知建立数感，在不断的实践中掌握扎实作为数学素养组成部分的数感的培养。作为老师，要将数学