浅谈微积分在经济学中的运用

浅谈微积分在经济学中的运用刘康顺指导老师：陈明玉（教授）摘要：微积分是人类智慧最伟大的成就之一，作为数学知识的基础，微积分是学习经济学的必备知识。本文着重讨论了微积分在经济学中最基本的一些应用，边际分析，计算弹性系数，寻求最小生产成本或制定获得最大利润及资本现值与投资问题的一系列策略。关键词：微积分；边际分析；弹性系数；资本现值；投资问题.一、导数在经济学中的应用1.边际分析导数在经济学中最通常的应用是边际和弹性。经济学中的边际经济变量都是用增加某一个经济变量一单位从而对另一个经济变量带来的影响是多少,如边际效用、边际成本、边际收益、边际利润、边际替代率等等。这些边际概念几乎都用导数来表示。例如,边际成本是厂商增加一单位产品所增加的总成本,边际成本用公式表示就是MC=△TC/△Q或dQdTCQTCMCQ//lim0又如边际收益是厂商增加一单位产品所增加的总收益,边际收益用公式表示是MR=△TR/△Q或dQdTRQTRMRQ//lim0其它的边际经济变量也可以类似地用导数表示。例1.某企业每月生产的总成本C(千元)是产量x(吨)的函数2010)(2xxxC如果每吨产品销售价格2万元,求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。解:因为利润函数为2030)2010(20)()()(22xxxxxxCxRxL所以边际利润为L′(x)=-2x+30于是L′(10)=-2×10+30=10(千元/吨)L′(15)=-2×15+30=0(千元/吨)L′(20)=-2×20+30=-10(千元/吨)上述结果表明,当月产量为15吨时,边际利润为0,如果再增加产量,利润不会增加反而减少,所以该企业不能单独依靠增加产量来提高利润。2.弹性系数弹性原是物理学上的概念,意指某一物体对外界力量的反应力。经济学中弹性是指经济变量存在函数关系时,因变量对自变量变动的反应程度,其大小可以用两个变量变动的百分比之比,即弹性系数来表示。弹性的一般公式为自变量变动的百分比因变量变动的百分比弹性系数若两个经济变量之间的函数关系为Y=f(x),以△x、△y分别表示变量x、y的变动量,以e表示弹性系数,则弹性公式为yxxyxxyye//(1)若经济变量的变化量趋于无穷小,即当△x→0,△y→0时,则弹性公式为yxdxdyxxyyex//lim0（2）（1）式称为弧弹性,（2）式称为点弹性。弹性的经济意义为:当自变量化为1%时,函数变化为e%。经济学中最通常用的需求弹性是需求价格弹性,它的弹性系数可以表示为QPdPdQPPQQedp//lim0在一般情况下,商品的需求量和价格是成反方向变动的,为了使需求弹性系数ed取正值以便于比较,所以在公式中加了一个负号。若ed1,需求富有弹性;若ed=1,需求是单位弹性;若ed1,需求缺乏弹性。例2.某商品的需求函数为Q=40-P(0P40),求其需求的价格弹性,并讨论当价格为多少时,需求缺乏弹性,单位弹性和富有弹性?解:需求的价格弹性为PPQPPQe40)('令e=1,即140PP,得P=20。所以当价格为20时,e=1是单位弹性。此时需求量变化的百分比与价格反方向变化的百分比相同,价格变化,总的销售收入不变。令0e1,即1400PP,得0P20。所以当0P3是缺乏弹性的,此时需要量变化的百分比小于价格变化的百分比,价格微小变化对总的销售收入影响不大。令e1,即140PP,得20P40。所以当20P40时,e1是富有弹性的,此时需求量变化的百分比大于价格变化的百分比,价格微小变化对总的销售收入影响较大。二、积分在经济学中的应用在经济管理中,由边际函数求总函数(即原函数),一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分;如果求总函数在某个范围的改变量,则采用定积分来解决。例3.设生产x个产品的边际成本C=100+2x,其固定成本为0C=1000元,产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售,问生产量为多少时利润最大?并求出最大利润。解:总成本函数为1000100)0()2100()(02xxxCdttxC总收益函数为R(x)=500x总利润xLxxxCxRxL2400',1000400)()()(2,令0'L,得x=200,因为0)200(''L。所以,生产量为200单位时,利润最大。最大利润为L(200)=400×200-2002-1000=39000(元)。在这里我们应用了定积分,分析出利润最大,并不是意味着多增加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得总大的利润。资本现值与投资问题若现有a元货币，按年利率为r作连续复利计算，则t年后的价值为aen元;反过来，若t年后有货币a元，则按连续复利计算，现应有aen元，即资本现值。设在时间区间［0，T］内t时刻的单位时间的收入为R(t)，称此为收入率，若按年利率为r的连续复利计算，则在［0，T］内的总收入为dttRRTne0)(。若收入率R(t)=A(A为常数)，称此为均匀收入率，如果年利率r也为常数，则总收入的现值为)1(1|00eeerTTrtTrtrArAdtAR若在t=0时，一次投入的资金为a，则在［0，T］内的纯收入的贴现值(也称投资效益)为adtAaRRTrte0即纯收入的贴现值=总收入现值－总投资例4.若连续3年内保持收入率每年7500元不变，且利率为7.5%，问其现值是多少?解:因均匀收入率A=7500元,r=7.5%,所以现值为元）(20150)7985.01(100000)1(075.075007500)(3075.030075.030eeedtdttRRtrt即现值为20150元。资本形成、收入预测都可以用这种方法计算获得。微积分在经济学研究中的应用极为广泛，本文所涉及的仅仅是九牛之一毛。但是从这些最基础的应用中不难看出，微积分实际上起到了帮助经济学分析的数学化、定量化打下了基础，对经济学中的数学工具高级化起到了重要的作用。[参考文献][1]高鸿业．西方经济学[M]．北京：中国人民大学出版社，2007．[2]臧忠卿.导数在经济分析中的应用[J].商场现代化,2006,(10).[3]张丽玲.微积分在经济学中的运用[J].白色学院学报，2007.[4]褚衍彪.高等数学在经济分析中的运用[J].枣庄学院学报,2007，(10).[5]辛春元.论微积分在经济分析中的应用[J].现代商贸工业，2008，（9）.[6]张先荣.谈微积分在经济分析中的运用[J].濮阳职业技术学院学报，2009，（8）.[7]吴传生.经济数学——微积分[M].北京:高等教育出版社,2003．[8]赖满瑢.微积分学在经济分析中的应用[J].黑龙江生态工程职业学院学报,2011,(5).[9]向菊敏.微积分在经济分析活动中的应用[J].科技信息,2009（26）.[10]高哲.浅谈微积分在经济中的应用[J].中国科技博览，2009，（7）.IntroductiontotheapplicationofcalculusineconomicsLiuKangshunInstructor:ChenMingyu(professor)Abstract:differentialandintegralcalculusisoneofthegreatestachievementsinhumanintelligence,asthebasisofmathematicalknowledge,necessaryknowledgeofcalculusisthestudyofeconomics.Thispaperdiscussesthecalculusineconomics,someofthemostbasicapplicationofmarginalanalysis,calculationofelasticcoefficientofseekingmaximumprofitandminimumproductioncostorcapitalpresentvalueaseriesofpoliciesandinvestmentissues.Keywords:differentialandintegralcalculus;Marginalanalysis;Modulusofelasticity;Capitalvalue;Investmentissues.