浅谈换元法应遵循的原则

浅谈换元法应遵循的原则换元法是一种有效的解题方法，通过它可以达到化难为易，化繁为简的解题目的。换元法的应用范围十分广泛，解题方法也很多，不少同学难以把握。其实，应用换元法解题也有一定的原则可以遵循，本文笔者就一些具体的例子，对应用换元法解题应遵循的原则谈一谈。1.整体性原则例1.解下列方程：（1）43232xx（2）2010lglg2xxx解：（1）令xt)32(，则tx132原方程化为41tt，解得32t即32)32(x，2x（2）令xtlg，tx10原方程化为20101022tt，1t即1lgx，101x，1012x经检验，101x，1012x都是原方程的解由此看出，利用换元法解题时，常把其中有规律的式子当作一个整体，设为一个新的变量，从而使问题中隐蔽的条件明显化，复杂的关系简单化。这就是所谓的整体性原则。遵循整体性原则，是换元法的本质所在。2.简洁性原则例2.求函数xxy1的值域解：令01txt，则21tx原函数化为454521122ttty函数的值域为45,y例3.求函数21xxy的值域解：由012x得函数的定义域为11x令sinx，2,2，则4sin2cossinsin1sin2y由于2,2，则43,44，1,224sin所以2,1y简洁性原则包括选择简洁代换和使新变量的范围尽量最简这两个方面。上述两例正是依据题目的特点，分别采用了简洁的代数换元和三角换元，从而获得巧妙的解答。例3中限定2,2，也是在满足等价变换的基础上，使新变量的范围保持了最简，从而使整个解题过程简洁流畅。如果设2,0或R，就需要对所在象限进行讨论。计算结果虽然相同，却使解题陷入繁琐的境地。遵循简洁性原则是换元法的基本要求。同时，这也是数学中简洁美的体现。3.统一性原则例4.求椭圆1322yx上的点到直线04yx的最近和最远距离解：设00,yxP是椭圆上的任意一点，令cos30x，sin0y20所以243sin224sincos3d从而23maxd，2mind例5.求函数2cos1siny的值域解：令2tant，由万能公式得212sintt，2211costt原方程化为31222ttty，即013212ytty由判别式法求得函数的值域为0,34例4通过换元将二元0x、0y的关系统一到了一元的关系上，例5将两个函数cos和sin的关系统一到了一个函数2tan的关系上，在实现问题条件的统一过程中，将问题化难为易，化繁为简。这种统一性原则体现的是减元，改变函数式结构，降幂等思想。换元过程中遵循统一性原则，有助于我们寻找问题的突破口。4.等价性原则例6.求函数xxxxycossincossin的最大、最小值错解：令xxtcossin，则21cossin2txx原函数化为11212122ttt当1t时，1miny，函数无最大值分析：本题错解的原因在于忽视了新变量t的取值范围。由于4sin2cossinxxxt，所以2,2t。正确解：令xxtcossin，由于4sin2cossinxxxt，所以2,2t，则21cossin2txx原函数化为11212122ttt当1t时，1miny当2t时，221maxy由此可以看出，利用换元法解题时，需要使新变量的允许值和原变量的可取值范围之间保持等价，这就是换元法应遵循的等价性原则。忽视等价性是换元法解题中易出现的错误，应特别加以注意。本文是对论文的一个补充，遵循上述的四个原则，可以帮助我们更深刻地理解换元法，进而灵活地运用它，使之成为我们解题的有力工具。