浅谈数学直觉对数学学习的重要性

浅谈数学直觉对数学学习的重要性摘要：在课堂教学中，数学直觉的培养和发展是情感教育下的产物之一，把知情融为一体，使认知和情感彼此促进，和谐发展，互相促进。敏锐的观察力是直觉的起步器；“一叶落而知天下秋”的联想习惯、科学美的鉴赏力是直觉的助跑器；强有利的语言表达能力是数学直觉的载体。庞加莱说：“数学直觉不必建立在感觉明白之上.感觉不久便会变得无能为力。”由此可见直觉是一种深层次的心理活动，没有具体的直观形象和可操作的逻辑顺序作为思考的背景是行不通的.直觉能力可以通过多方联想，学会从整体考察问题，注意挖掘问题内部的本质联系，借助对称、和谐等数学美感,养成解题后进行反思的习惯等途径加以培养。关键词：数学直觉观察力数学美感情感教育直觉是以真实的事物为对象，通过各种感觉器官直接获得的感觉或感知。例如，等腰三角形的两个底角相等，两个角相等的三角形是等腰三角形等概念、性质的界定并没有一个严格的证明，只是一种直观形象的感知.而直觉的研究对象则是抽象的数学结构及其关系。数学直觉是一种直接反映数学对象结构关系的心智活动形式，它是人脑对于数学对象事物的某种直接的领悟或洞察。它在运用知识组块和直感时都得进行适当的加工，将脑中贮存的与当前问题相似的块，通过不同的直感进行联结，它对问题的分解、改造整合加工具有创造性的加工。数学直觉，可以简称为数觉（有很多人认为它属于形象思维），但是并非数学家才能产生数学的直觉，对于学习数学已经达到一定水平的人来说，直觉是可能产生的，也是可以加以培养的。数学直觉的基础在于数学知识的组块和数学形象直感的生长。因此如果一个学生在解决数学新问题时能够对它的结论作出直接的迅速的领悟，那么我们就应该认为这是数学直觉的表现。一、数学直觉的特征和作用1、数学直觉有以下四个主要特点：（1）简约性。数学直觉不同于严谨的逻辑推理，许多时候只是由思想中的一个闪念而产生的。（2）自觉性。数学直觉的产生往往是在潜意识、下意识或无意识中自觉产生的。所运用的知识组块和形象直感都是经验的积累和升华。直觉不断地组合老经验，形成新经验，从而不断提高直觉的水平。（3）迅速性。数学直觉解决问题的过程短暂，反应灵敏，领悟直接。（4）或然性。数学直觉判断的结果不一定正确。直觉判断的结果不一定都正确，这是由于组块本身及其联结存在模糊性所致。当然正确的数学直觉要在数学知识和经验的积累上才能产生，它不是胡思乱想，而有着合情推理的思维形式。2、数学直觉对数学思想和能力有着非常重要的作用。（1）数学直觉具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用，它为推理论证确定了目标和方向。波利亚指出“数学的创造过程与任何其他知识的创造过程一样，在证明一定理前，先得猜出这个定理内容，在完成证明之前，先得推测证明的思路。创造过程是一个曲折的过程。数学家创造性的工作室论证推理，即证明。但这个证明是通过合情推理、通过猜想而发现的。”也就是说，数学创造过程是一个不断提出猜想、论证猜想的过程，合理猜想和数学直觉是创造的前奏和基础。事实上，不仅数学，许多科学和社会实践的创造过程都是需要一个先直觉猜想而后进行推理或实验予以证明的过程。（2）数学直觉是数学能力的组成部分，老一辈数学教育家陈重穆先生曾指出“淡化形式、注重实质”的教学理念，对数学知识的理解、掌握和应用，其实质就是对数学只觉得把握。在数学实践中，对某个数学问题，有些人往往能敏锐的选择最佳的解决方法，甚至能预想到结论答案，而另一些人却会在几个思考方法前犹豫徘徊、难以选择。这就是我们说的“数学天赋”的差异，或者说数学能力的区别，其实就是数学直觉的差异。二、数学直觉的培养数学直觉并不神秘，它来自于新旧知识的联想，思维活动在有关问题的意识边缘的持续活动，以及生活常识的一些积累。数学直觉以一定的知识、经验、技能为基础，通过观察、联想、类比、归纳、猜想等对研究问题的结构和规律性作出敏锐想象和迅速判断。事实上，数学直觉的培养对全面提高学生数学思维能力，特别是创造性思维能力意义十分重大。美国著名心理学家布鲁纳指出：“直觉思维、预感的训练，是正式的学术学科和日常生活中创造性思维的很受忽视而重要的特征。”并提出了“怎样才有可能从早年级起便开始发展学生的直觉天赋”。我们的学生，特别是差生，都有着极丰富的直觉思维的潜能，关键在于教师的启发诱导和有意培养。在明确了直觉的意义的基础上，就可以从下列各个方面入手来培养数学直觉：1、注重整体观察在解决数学问题时要教会学习从宏观上进行整体分析，抓住问题的框架结构和本质关系，从思维策略的角度确定解题的入手方向和思路。在整体分析的基础上进行大步骤思维，使学生在具有相应的知识基础和已达到一定熟练程度的情况下能变更和化归问题，分析和辨认组成问题的知识集成块，培养思维跳跃的能力。在练习中注意方法的探求，思路的寻找和类型的识别，养成简缩逻辑推理过程，迅速作出直觉判断的洞察能力。例1、若实数x、y满足（x+y+2）(x+y-1)=0，则x+y的值为（）A.1B.-2C.2或-1D.-2或1思路分析：如果依题意使每个因式等于零，可得二元一次方程组，再解方程组分别求出x、y的值，然后计算出x+y的值，这是一般的常规解法，若能将x+y看做一个整体，再将每一个方程变形，则可以迅速求解。解：由题意得：x+y+2=0或者x+y-1=0，所以x+y=-2或x+y=1，故选D。例2、已知x²+x-1=0，求12x³+x²+2012的值思路分析：如果先求出方程x²+x-1=0的根，直接代入不仅运算量大而且运算过程有一定的难度，但若能把所求的代数式分解变形，运用整体代换思想，则可化难为易。解：由x²+x-1=0，得x²+x=1，则12x³+x²+2012=12（x³+2x²）+2012=12（x³+x²+x²+x-x）+2012=12｛（x³+x²+-x）+(x²+x）｝+2012=12｛x(x²+x-1)+(x²+x)+2012｝=12(0+1)+2012=2012.52、诱导多方联想直觉是主体先前积累和储蓄的经验、知识与当前新问题碰撞孕育出的思想火花，许多问题的解决往往可以归纳成一个或者几个基本问题，化归为某类型典型题型或者运用某种方法模式。由问题的条件、结论，多方联想相关的定义、定理、公式和图形都能诱发直觉，从而获得解题途径。例3、已知实数a、b分别满足a²+2a=2，b²+2b=2,求11ab的值。思路分析：本题若通过解方程组分别求出a、b的值，再来求11ab的值，其运算过程比较繁琐。若能根据题意联想到一元二次方程的根与系数的关系，即根据实数a、b所满足的方程的结构相同，把a、b理解成一元二次方程x²+2x-2=0的两个数学根，于是思路打开。解：依题意得：a、b都是方程x²+2x-2=0的实数根，（1）当a≠b时，有a+b=-2,ab=-2,故11ab=abab=22=1，（2）当a=b时，因方程x²+2x-2=0的根是x=-1±3，故11ab=213=1+3或11ab=213=1-3。3、鼓励猜想归纳数学猜想是在数学证明之前构想数学命题思维过程。“数学事实首先是被猜想，然后才被证实。”猜想是一种合情推理，它与论证所用的逻辑推理相辅相成。对于未给出结论的数学问题，猜想的形成有利于解题思路的正确诱导；对于已有结论的问题，猜想也是寻求解题思维策略的重要手段。数学猜想是有一定规律的，并且要以数学知识的经验为支柱。但是培养敢于猜想、善于探索的思维习惯是形成数学直觉，发展数学思维，获得数学发现的基本素质。因此，在数学教学中，既要强调思维的严密性，结果的正确性，也不应忽视思维的探索性和发现性，即应重视数学直觉猜想的合理性和必要性。例4、不等式组032032xxxxx的解集是（）。A.0x2B.0x2.5C.0x6D.0x3思路分析：本题若采用直接解不等式组的方法来解，运算量很大，肯定着不是命题者的初衷。本题是有意设计的一道采用非直接方法来解决的选择题，其中数学直觉起到了非常重要作用。在所给的四个选项中，不等式左端的值相同，都是零，只有右端的值不同，这是产生直觉的一个信息。观察分析，所给选项不等式右端的值必定是方程3232xxxx的根，这是深入思考的一个信息。由此推测，不会是2，也不会是3，由此排除了A和D。至此，可得到数学直觉的结果：答案应该是B或C，只要把x=2.5或者x=6代入方程进行验根，即可得到正确答案应该为B。4、重视数学基本问题和基本方法的牢固掌握和应用直觉不是靠“机遇”，直觉的获得虽然是有偶然性，但决不是无缘无故的凭空臆想，而是以扎实的知识为基础。若没有深厚的功底，是不会迸发出思维的火花。所以对数学基本问题和基本方法的牢固掌握和应用是很重要的。所谓知识组块又称知识反应块。它们由数学中的定义、定理、公式、法则等组成，并集中地反映在一些基本问题，典型题型或方法模式。许多其他问题的解决往往可以归结成一个或几个基本问题，化为某类典型题型，或者运用某种方式模式。这些知识组块由于不一定以定理、性质、法则等形式出现，而是分布于例题或问题之中，因此不容易引起师生的特别重视，往往被淹没在题海之中，如何将它们筛选出来加以精练是数学中值得研究的一个重要课题。在解数学题时，主体在明了题意并抓住题目条件或结论的特征之后，往往一个念头闪现就描绘出了解题的大致思路。这是尖子学生经常会碰到的事情，在他们大脑中贮存着比一般学生更多的知识组块和形象直感，因此快速反应的数学直觉就应运而生。例5、若tan(a+12)=33，则a=_思路分析：对于直角三角形的三角函数主要是对于9个特殊三角函数的熟悉，注重基本，使学生立刻想到tan30°=33，则a+12=30，就可以直接求得a=18°。5、强调数形结合，发展几何思维。数学形象直感是数学直觉的源泉之一，而数学形象直感是一种几何直觉或空间观念的表现，对于几何问题要培养几何自身的变换、变形的直观感受能力。对于非几何问题则要用几何眼光去审视分析就能逐步过渡到类几何思维。例6：若a＜b＜c，求函数y=|x－a|+|x－b|+|x－c|的最小值。思路分析：求y=|x－a|+|x－b|+|x－c|的最小值。即在数轴上求点x，使它到a、b、c的距离之和最小。显然当x定在a、c之间，|x－a|+|x－c|最小。所以当x=b时，y=|x－a|+|x－b|+|x－c|的值最小。总之数学直觉是对数学对象及其结构、关系的想象和判断，它类似于猜想，表现为灵感、顿悟，就如同古诗中所描述的“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”，“众里寻她千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处。”因此数学直觉是学生学习数学素养的一个重要的组成部分，在我们数学学习中不得不使我们重视数学直觉。参考文献：1、《数学教学》[J]2013、11期第13-15页。2、《中小学数学》[J]2013、11中旬第9-10页。3、浙教版《数学》七年级上册《不等式组》教学，义务教育课程标准实验教科书。