浅谈柯西不等式的证明及应用

浅谈柯西不等式的证明及应用刘治和柯西(Cauchy)不等式21122 ()nnababab≤2222221212 ()()nnaaabbb(,,1,2,)iiabRin,当且仅当1212nnaaabbb时等号成立。现将它的证明介绍如下：证明1（构造法）：构设二次函数2221122()()()()nnfxaxbaxbaxb222222212112212()2()(),nnnnaaaxabababxbbb22212()0naaafx＞0,恒成立，2222222112212124()()nnnnabababaaabbb-4(++)+0,即222222211221212()()nnnnabababaaabbb(++)+,当且仅当12120(1,2,,),niinaaaaxbinbbb即时等号成立.证明2（数学归纳法）：1）22211111=),=,=nabab当时,左式(右式显然左式右式，2n当时，右式=2222222222121211222112()()=()()aabbabababab22212112212121122211212()()2=()===aaababaabbababababbb左式，仅当，即时取等号，故=12.n，时不等式成立2）假设(,2)nkkNk时，不等式成立，即222222211221212()()(),kkkkabababaaabbb当且仅当1212kkaaabbb时取符号。且设22212,kAaaa22212,kBbbb1122,kkCababab则2222222222111111111111()()2(),kkkkkkkkkkkkAaBbABAbBaabCCababCab222222222121121112211()()(),kkkkkkaaaabbbbababab当且仅当112121kkkkaaaabbbb时取等号，即1nk时不等式亦成立.综合1）、2），可知不等式成立.柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙地运用它，可使一些较困难的问题迎刃而解。这个不等式结构对称和谐、应用灵活广泛，深受人们的喜爱。不完全归纳，利用柯西不等式处理数学问题，常见的两大类型有：（1）证明相关的数学命题例1．已知正数,,abc满足1,abc证明：2223333abcabc分析：为了吻合问题中的某些式子，将因式拆项，这是柯西不等式应用中常用技巧之一。本题将222abc、、分别拆项就能达到目的.证明：利用柯西不等式，31313133322222222222222222(()[()()()][]abcaabbccabcabc+)=3332()()(1).abcabcabc又222,abcabbcca在此不等式两边乘以2，再加2222222,)3(),abcabcabc得(2222333222()()3)abcabcabc(，故222333.3abcabc例2设12(1)()lg,xxxxnanfxn若0≤a≤1，nN，且n≥2，求证：(2)fx≥2()fx（1990年高考题）分析：先把要证结论进行等价转化，使之出现柯西不等式的结构，再用它证明。证明：(2)fx≥2()fx222212(1)lgxxxxnann≥12(1)2lgxxxxnann222212(1)xxxxnann≥212(1)xxxxnann222212(1)xxxxnnan≥212(1)xxxxnan①∴只要证明①式即可.222111,nn个a≥2a，∴①左边≥2222222(111)12(1)()nxxxxnan个≥212(1)xxxxnan，即①式成立故原不等式得证.例3．设P是△ABC内一点，xyz、、是P到三边abc、、的距离，R是△ABC外接圆半径.证明：xyz≤22212abcR证明：由柯西不等式得，111xyzaxbyczabc≤111axbyczabc.记S为△ABC的面积，则22,42abcabcaxbyczSRRxyz≤122abcabbccaabbccaRabcR≤2221.2abcR故不等式得证.例4．若、、为锐角，且满足222coscoscos1,求证：222ctgctgctg≥32（《数学通报》1993,6问题839）证明：根据已知条件，得222sinsinsin2,y而要证不等式等价于222111sinsinsin≥92.由柯西不等式有：2222222221111111(sinsinsin)()sinsinsin2sinsinsin≥219(111).22故原不等式成立.（2）求解有关数学问题例5．已知xyabR、、、，且1,abxy则xy+的最小值是（）（A）4ab；（B）2()ab；（C）22ab；（D）22ab分析：构造两组实数,;,,abxyxy,xyabR、、、1,abxy2222[()()][()()]abxyxyxy+≥2(),ab仅当xayb时，2min()()xyab，故选（B）。应用柯西不等式可顺利解决某些有关含约束条件的多变量函数的最值问题，类似地可做：1.设实数xy、满足22326xy，求211Wxymax的最大值.(W=)2.设实数,,,abcd满足22223,2365abcdabcd，试求a的最大值与最小值.解：根据柯西不等式，有222111(236)()236bcd≥2()bcd，即222236bcd≥2()bcd.由条件可得25a≥2(3)a，解得1≤a≤2，当且仅当236111236bcd，即236bcd时等号成立.代入得211,,33bcd时，min1111;,,236abcd时，max2a.例6已知(0,)、，且3coscoscos()2，试求、的值.这是一道常见题，若变换思考角度，开发人的侧向思维，从柯西不等式结构中得到启迪，会使求解达到更好的效果。解：由已知等式化为3sinsin(1cos)coscos2①，将其两边平方再得：223(cos)sinsin(1cos)cos2≤2222sin(1cos)(sincos)2(1cos),2(2cos1)≤0，则2cos10,即1cos,2(0,),,3代入已知等式得,.33故从这两类题解不难看出，能否成功地运用柯西不等式，关键是对照柯西不等式的标准形式，构造出两组适当的数式。因此，我们在应用教学中努力引导学生观察、分析，开发他们的创新思维，有效地运用柯西不等式解决相关的数学问题。