浅谈求未定式“”型函数极限的几点误区及其技巧

浅谈求未定式“0”型函数极限的几点误区及其技巧摘要：本文只要针对求未定式“0”型极限时常出现的几点误区作探讨，并得到求此类函数极限的技巧。关键字：未定式；函数极限；洛必达法则[中图分类号]F590【文献标识码】A【文章编号】2009Q33002（2009）01-0001-03在《数学分析》[1]与《微积分》[2]中，极限的概念占有主要的地位，并以各种形式出现而贯穿全部内容，因此掌握极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键。本文主要针对教学中，学生对求未定式“0”型极限时常出现的几点误区作探讨，以助学生能很好地掌握求这类函数极限的方法与技巧。1.以例题为例，说明求“0”型函数极限时的几点误区例1求0limlnmxxx。错误解法：000limlnlimlimln0mmxxxxxxx正确解法是：0100001lnlimlnlimlimlim0mmmmxxxxxxxxxxmxm例2求10limxxxe。错误解法（一）：11000limlimlim0xxxxxxexe错误解法（二）：000121000011110000021!limlimlimlimlim()1=nxxxxxxxxxxxxnxxeeeeex无法得到具体的值正确解法是：1111000001()'limlimlimlim11()'xxxxxxxxeexxeexx例3求sin0limxxx。求错误解法：0limsinlnsinsinln00limlimxxxxxxxxxee。其中000limsinln=limsinlimln=0xxxxxxx所以sin00lim=1xxxe。正确解法是：0limsinlnsinsinln00limlimxxxxxxxxxee其中0000021lnsinsinlimsinlnlimlimlim01coscossinsinxxxxxxxxxxxxxxx所以sin00lim=1xxxe。分析错误解法：例1的错误解法中，答案也为0，但求解过程是错的。该种解法错误的认为一个无穷小量与一个无穷大量之积的极限为0（理由是当0x时，0mx，故0limln=0mxxx（“0乘任何数都等于0”）。例2的错误解法（一）中，错误同例1，错误的认为一个无穷小量与一个无穷大量之积的极限为0；错误解法（二）中，已经判定所求函数属于“0”型函数，故把它变成“00”型函数再多次用洛必达法则求极限，可是最后得不到具体的解，使题目更加复杂，该方法错在变形不得当，未定式“0”型函数求极限变形时，可以变成“00”型，也可变成“”型，但要向着容易求解的方向变形。若该题变成“”型再用洛必达法则求极限就简单得多了。例3的错误解法中，错在000limsinln=limsinlimln=0xxxxxxx，0limsinlnxxx属于未定式“0”型函数求极限，故要考虑变形。综上得出解未定式“0”型函数极时的误区有以下几点：1.不能区分两个数之积与两个变量之积的极限的概念。事实上，两个数之积是具体的两数相乘，此时，0乘以任何数都等于0适用于两数相乘；两个变量之积的极限，说的是在某个变化过程中，两变量之积的变化趋势。2.没有区分所求函数极限的类型，盲目解题。3.对所求函数极限盲目变形，变形不得当。3探讨求未定式“0”型函数极限的技巧对于未定式“0”型函数求极限，大多数教科书[1,2]中只提到经过适当变形可变成“00”型或“”型，很少介绍“适当变形”的技巧。对于“0”型函数求极限，变形时一般选择比较复杂的因子作分子，另外一个因子取倒数作分母。如例1中正确解法所示，视对数函数比幂函数复杂，故选“lnx”作分子，“mx”取倒数作分母，变成“”型再用洛必达法则求极限。如例2中正确解法所示，视因子“1xe”比因子“x”复杂，故选“1xe”作分子，“x”取倒数作分母，变成“”型再用洛必达法则求极限。其次，对于“0”型函数求极限，在变形之前，优先考虑是否能利用无穷小量代换求极限，若能代换，则优先利用无穷小量代换求极限，解题过程会变得更简单。如在例3中，解0limsinlnxxx时，优先利用等价无穷小量代换求极限，即000000021lnlimsinlnlimlnlimlimlim011xxxxxxxxxxxxxx。对于“0”型函数求极限，既不能够判定哪个因子较复杂，也不能够利用无穷小量代换求极限时，考虑变形后，哪种情况下容易求导。如对于求21lim(1)tan()2xxx时，选2(1)x作分子，取tan()2x的倒数作分母，变成“00”型，再用洛必达法则对分子、分母同时进行求导比较简便。参考文献：[1]华东师范大学数学系.数学分析(上)[M].北京:高等教育出版社,2001。[2]赵树嫄.《微积分》(第三版)[M].中国人民大学出版社.