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-1-三、解答题1.(2011江苏扬州,26,10分)已知,如图,在Rt△ABC中,∠C=90º,∠BAC的角平分线AD交BC边于D。(1)以AB边上一点O为圆心,过A,D两点作⊙O(不写作法,保留作图痕迹),再判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若(1)中的⊙O与AB边的另一个交点为E,AB=6,BD=32,求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积。(结果保留根号和)【答案】(1)如图,作AD的垂直平分线交AB于点O,O为圆心,OA为半径作圆。判断结果:BC是⊙O的切线。连结OD。∵AD平分∠BAC∴∠DAC=∠DAB∵OA=OD∴∠ODA=∠DAB∴∠DAC=∠ODA∴OD∥AC∴∠ODB=∠C∵∠C=90º∴∠ODB=90º即:OD⊥BC∵OD是⊙O的半径∴BC是⊙O的切线。(2)如图,连结DE。设⊙O的半径为r,则OB=6-r,在Rt△ODB中,∠ODB=90º,∴0B2=OD2+BD2即:(6-r)2=r2+(32)2∴r=2∴OB=4∴∠OBD=30º,∠DOB=60º-2-∵△ODB的面积为3223221,扇形ODE的面积为322360602∴阴影部分的面积为32—32。2.(2011山东滨州,23,9分)根据给出的下列两种情况,请用直尺和圆规找到一条直线,把△ABC恰好分割成两个等腰三角形(不写做法,但需保留作图痕迹);并根据每种情况分别猜想:∠A与∠B有怎样的数量关系时才能完成以上作图?并举例验证猜想所得结论。(1)如图①△ABC中,∠C=90°,∠A=24°①作图:②猜想:③验证:(2)如图②△ABC中,∠C=84°,∠A=24°.①作图:②猜想:CBA(第23题图①)(第23题图②)CBA-3-③验证:【答案】(1)①作图:痕迹能体现作线段AB(或AC、或BC)的垂直平分线,或作∠ACD=∠A(或∠BCD=∠B)两类方法均可,在边AB上找出所需要的点D,则直线CD即为所求………………2分②猜想:∠A+∠B=90°,………………4分③验证:如在△ABC中,∠A=30°,∠B=60°时,有∠A+∠B=90°,此时就能找到一条把△ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线。………………5分(2)答:①作图:痕迹能体现作线段AB(或AC、或BC)的垂直平分线,或作∠ACD=∠A或在线段CA上截取CD=CB三种方法均可。在边AB上找出所需要的点D,则直线CD即为所求………………6分②猜想:∠B=3∠A………………8分③验证:如在△ABC中,∠A=32°,∠B=96,有∠B=3∠A,此时就能找到一条把△ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线。………………9分3.(2011山东威海,20,8分)我们学习过:在平面内,将一个图形绕一个定点沿着某一个方向转动一个角度,这样的图形运动叫做旋转,这个定点叫旋转中心.(1)如图①,△ABC≌△DEF,△DEF能否由△ABC通过一次旋转得到?若能,请用直尺和圆规画出旋转中心,若不能,试简要说明理由.图①(2)如图②,△ABC≌△MNK,△MNK能否由△ABC通过一次旋转得到?若能,请用直尺和圆规画出旋转中心,若不能,试简要说明理由.(保留必要的作图痕迹)图①图②【答案】解:(1)能,点1O就是所求作的旋转中心.-4-图①图②(1)能,点2O就是所求作的旋转中心.4.(2011浙江杭州,18,6)四条线段a,b,c,d如图,a:b:c:d=1:2:3:4.(1)选择其中的三条线段为边作一个三角形(尺规作图,要求保留作图痕迹,不必写出作法);(2)任取三条线段,求以它们为边能作出三角形的概率.【答案】(1)只能取b,c,d三条线段,作图略(2)四条线段中任取三条共有四种等可性结果:(a,b,c),(a,b,d),(a,c,d),(b,c,d),其中能组成三角形的只有(b,c,d),所以以它们为边能作出三角形的概率是14.5.(2011四川重庆,20,6分)为进一步打造“宜居重庆”,某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉,要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等,且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半,A、B、C的位置如图所示.请在答题卷的原图上利用尺规作出音乐喷泉M、位置.(要求:不写已知、求作、作法和结论,保留作图痕迹,必须用铅笔作图)-5-【答案】6.(2011甘肃兰州,25,9分)如图,在单位长度为1的正方形网格中,一段圆弧经过网格的交点A、B、C。(1)请完成如下操作:①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长,建立平面直角坐标系;②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置(不用写作法,保留作图痕迹),并连结AD、CD。(2)请在(1)的基础上,完成下列问题:①写出点的坐标:C、D;②⊙D的半径=(结果保留根号);③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的底面面积为(结果保留π);④若E(7,0),试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由。【答案】(1)ABCO-6-(2)①C(6,2),D(2,0)②25③54④相切。理由:∵CD=25,CE=5,DE=5∴CD2+CE2=25=DE2∴∠DCE=90°即CE⊥CD∴CE与⊙D相切。7.(2011重庆江津,23,10分)A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁,以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,且点A的坐标是(2,2),点B的坐标是(7,3).(1)一辆汽车由西向行驶,在行驶过程中是否存在一点C,使C点到A、B两校的距离相等,如果有?请用尺规作图找出该点,保留作图痕迹,不求该点坐标.(2)若在公路边建一游乐场P,使游乐场到两校距离之各最小,通过作图在图中找出建游乐场的位置,并求出它的坐标.【答案】(1)存在满足条件的点C:作出图形,如图所示,作图略;ABCOxyDE.A(2,2).B(7,3)yOx第23题图-7-(2)作出点A关于x轴的对称点A/(2,-2),连接A/B,与x轴的交点即为所求的点P.设A/B所在的直线的解析式为:y=kx+b,把A/(2,-2),B(7,3)分别代入得:2237bkbk解得:41bk·所以:y=x-4·当y=0时,x=4,所以交点P为(4,0)·8.(2011重庆綦江,19,6分)为了推进农村新型合作医疗制度改革,准备在某镇新建一个医疗点P,使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等(A、B、C不在同一直线上,地理位置如下图),请你用尺规作图的方法确定点P的位置.要求:写出已知、求作;不写作法,保留作图痕迹.解:已知:求作:【答案】:解:已知:A、B、C三点不在同一直线上.求作:一点P,使PA=PB=PC.(或经过A、B、C三点的外接圆圆心P)正确作出任意两条线段的垂直平分线,并标出交点P9.(2011江苏南京,27,9分)如图①,P为△ABC内一点,连接PA、PB、PC,在△PAB、△PBC和△PAC中,如果存在一个三角形与△ABC相似,那么就称P为△ABC的自相似点.⑴如图②,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ACB>∠A,CD是AB上的中线,过点B作BE⊥CD,垂足为E,试说明E是△ABC的自相似点.-8-⑵在△ABC中,∠A<∠B<∠C.①如图③,利用尺规作出△ABC的自相似点P(写出作法并保留作图痕迹);②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点,求该三角形三个内角的度数.【答案】解:⑴在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB上的中线,∴12CDAB,∴CD=BD.∴∠BCE=∠ABC.∵BE⊥CD,∴∠BEC=90°,∴∠BEC=∠ACB.∴△BCE∽△ABC.∴E是△ABC的自相似点.⑵①作图略.作法如下:(i)在∠ABC内,作∠CBD=∠A;(ii)在∠ACB内,作∠BCE=∠ABC;BD交CE于点P.则P为△ABC的自相似点.②连接PB、PC.∵P为△ABC的内心,∴12PBCABC,12PCBACB.∵P为△ABC的自相似点,∴△BCP∽△ABC.∴∠PBC=∠A,∠BCP=∠ABC=2∠PBC=2∠A,∠ACB=2∠BCP=4∠A.∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°.∴∠A+2∠A+4∠A=180°.∴1807A.∴该三角形三个内角的度数分别为1807、3607、7207.10.(2011江苏无锡,26,6分)(本题满分6分)如图,等腰梯形MNPQ的上底长为2,腰长为3,一个底角为60°。正方形ABCD的边长为1,它的一边AD在MN上,且顶点A与M重合。现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚,翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动。BBBCCCAAADPE①②③(第27题)-9-(1)请在所给的图中,用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图;(2)求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S。【答案】解:(1)如右图所示.……………………(3分)(2)S=2[14π·12+14π·(2)2+1+150360π·12]=7π3+2.………………………(6分)11.(2011重庆市潼南,19,6分)画△ABC,使其两边为已知线段a、b,夹角为.(要求:用尺规作图,写出已知、求作;保留作图痕迹;不在已知的线、角上作图;不写作法).已知:求作:【答案】已知:线段a、b、角-------------1分求作:△ABC使边BC=a,AC=b,∠C=------------2分画图(保留作图痕迹图略)--------------6分BA(M)DCNPQBA(M)DCNPQ19题图ab-10-12.(2011湖北宜昌,23,10分)如图1,Rt△ABC两直角边的边长为AC=1,BC=2.(1)如图2,⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X,与边CB相切于点Y.请你在图2中作出并标明⊙O的圆心0;(用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明)(2)P是这个Rt△ABC上和其内部的动点,以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切.设⊙P的面积为S,你认为能否确定S的最大值?若能,请你求出S的最大值;若不能,请你说明不能确定S的最大值的理由.(第23题图1)(第23题图2)【答案】解:(1)共2分.(标出了圆心,没有作图痕迹的评1分)看见垂足为Y(X)的一条垂线(或者∠ABC的平分线)即评1分,(2)①当⊙P与Rt△ABC的边AB和BC相切时,由角平分线的性质,动点P是∠ABC的平分线BM上的点,如图1,在∠ABC的平分线BM上任意确定点P1(不为∠ABC的顶点),∵OX=BOsin∠ABM,P1Z=BP1sin∠ABM.当BP1>BO时,P1Z>OX,即P与B的距离越大,⊙P的面积越大.这时,BM与AC的交点P是符合题意的BP长度最大的点.(3分.此处没有证明和结论不影响后续评分)如图2,∵∠BPA>90°,过点P作PE⊥AB,垂足为E,则E在边AB上.∴以P为圆心、PC为半径作圆,则⊙P与边CB相切于C,与边AB相切于E,即这时的⊙P是符合题意的圆.(4分.此处没有证明和结论不影响后续评分)这时⊙P的面积就是S的最大值.∵∠A=∠A,∠BCA=∠AEP=90°,∴Rt△ABC∽Rt△APE,(5分)∴ABPA=BCPE.∵AC=1,BC=2,∴AB=5.设PC=x,则PA=AC-PC=1-x,PC=PE,∴51x=2x,∴x=522.(6分)-11-②如图3,同理可得:当⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时,设PC=y,则52y=1y,∴y=512(7分)③如图4,同理可得:当⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时,设PF=z,则22z=1z,∴z=32(8分)由①,②,③可知:∵5>2,∴5+2>5+1>3,∵当分子、分母都为正数时,若分子相同,则分母越小,这个分数越大,(或者:∵x=522=25-4,y=512=215,∴y-x=245490,∴yx.∵z-y=32-215=64570,∴2
本文标题:浙江2011年1月物业管理与ISO920002000自考试题
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