浙江大学1998年攻读硕士学位研究生入学考试试题

浙江大学1998年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目量子力学一、（1）写出玻尔-索末菲量子化条件的形式；（2）求出均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径；二、（1）若一质量为的粒子在势场0,0,,0xaVxxax中运动，求粒子的可能能级；（2）若某一时刻加上了形如sin,(1)xeea的势场，求其基态能级至二级修正；（3）若势能Vx变为221,02,0xxVxx求粒子的可能能级。三、氢原子处于基态，其波函数形如,racea为玻尔半径，（1）利用归一化条件，求出c；（2）设几率密度为Pr，试求出Pr的形式，并求出最可几半径；（3）求出基态势能及动能在基态中的平均值；（4）用何种定理可把ˆV及ˆT联系起来？四、一转子，其哈密顿量222ˆˆˆˆ222yxzxyzLLLHIII，转子的轨道角动量量子数是1，（1）试在角动量表象中，求出ˆˆˆ,,xyzLLL的形式；（2）求出ˆH的本征值。五、若基态氢原子处于平行板电场中，电场按下列形式变化00,0,0ttEet，为大于零的常数，求经过长时间后，氢原子处于2P态的几率。（设ˆH为微扰哈密顿，805100,210100,2112ˆˆ;032taeHeH）。六、（1）用玻恩近似法，求粒子处于势场0,0raVxVea中散射的微分截面。（2）从该问题中讨论玻恩近似成立的条件。浙江大学1999年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目量子力学一、（1）试求出100eV的自由粒子及0.1eV、质量为1克的质点的德布罗意波长。（1eV=1.6193410,6.610JhJs）。（2）证明一个自由运动的微观粒子对应的德布罗意群速度gv即为其运动速度。（10分）二、（1）证明定态中几率密度与时间无关；（2）求一维无限深势阱中运动的粒子在第n个能级时的几率流密度。（10分）三、粒子处于一维势阱0,,0,0.0,xVxUxaxa中运动，（1）画出势能Vx的示意图；（2）求能级所满足的方程。四、一一维振子，其势能为212Vxkx，若该振子又受一恒力F的作用，试求其本征能量和本征函数。五、（1）写出线性、厄密算符的定义；（2）判断下列算符中，哪一个是线性厄密算符？12ˆˆˆˆ.;.xaFbFapbxx（,ab为恒定实常数）ˆ3ˆ.iAcFeˆA为厄密算符，i为虚宗量。（3）证明厄密算符对应有实的本符值；（4）若ˆˆ,BC为厄密算符，ˆˆˆˆˆˆ,0BCBCCB，若,bc分别为ˆˆ,BC的本征值，证明1\0,bc2、2ˆ1,C则c必取1c。（20分）六、设哈密顿算符在能量表象中0102030ˆ0EHEbbEaa其中000123,,EEE远大于,,ab且,,ab为实数，试（1）写出未受微扰哈密顿量0ˆH的合理形式；（2）证明ˆH为厄密算符；（3）若000123EEE，用微扰论求出其本征能量；（4）若000123EEE，试求其本征能量（至二级）。七、用玻恩近似计算粒子被形如VrBr的势场散射时的微分截面，并说明其特点。浙江大学2000年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试试题：量子力学一、（20分）（1）下列说法哪个是正确的？对不正确的说法给予修正。a.量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系。b.电子是粒子，又是波。c.电子是粒子，不是波。d.电子是波，还是粒子。(2)a.厄密算符的定义是什么？算符dxdx是否厄密？b.等式ˆˆˆˆgfgfeee是否成立？何时成立？（3）若太阳为黑体，人所感受的太阳光最大波长0.48,mm太阳半径87.010,Rm太阳质量30210,mkg试估算太阳质量由于热辐射而损耗1%所需要的时间。（斯特藩常数12245.6710wcmk）。二、（20分）若有一粒子，质量为m，在有限深势阱00VxVxaxa中运动，0V为正常数。（1）试推出其能量本征值所满足的方程。（2）如何求能量本征值？试作出求解本征值的草图。（3）若粒子不是一维运动，而是三维运动，0VrV0rara，试求出至少存在一个本征能的条件。三、（20分）（1）量子力学中，若ˆH不显含时间，则力学量ˆA为守恒量的定义是什么？守恒量的本征态有何特点？（2）本征值简并的概念是如何表述的？一维运动的粒子（势场Vx），其能级是否简并？（3）在一维势场Vx中运动的粒子，其动量ˆxp是否守恒？（4）试说出氢原子问题中的量跃迁的选择定则的内容。四、（25分）一二维振子的哈密顿为0220ˆˆˆ1ˆˆˆ2ˆ2,xyHHHHppHxy为一小量。（1）用微扰论，求其基态的能量修正（至二级）及第一激发态的能量修正（至一级）。（2）如何求出非微扰论的本征能量？试求之，并同微扰论的结果比较。（3）相干态的定义是：2200ˆ,!nnenHn为一谐振子之哈密顿量，试证明，相干态是测不准关系取最小值的状态。五、（15分）质量为m的粒子势能为2aVr的场的散射，在入射粒子能量极低的条件下，计算其微分散射截面。（球贝塞尔函数1sin2,lxjxxx）。浙江大学2001年攻读硕士学位研究生入学考试试题一、（15分）（1）试确定在3K温度下，空腔辐射的最大能量密度所对应的光子的波长m。（2）此时对应的光子能量为多少？（3）光电效应中如何测定某金属板的脱出功？二、（20分）设氢原子处于状态2110313113,,,,22rRrYRrY（1）问测量氢原子的能量所得的可能值及相应的几率为多少？（2）问测量氢原子的角动量平方所得的可能值及相应的几率为多少？（3）问测量氢原子的角动分量zL所得的可能值及相应的几率为多少？三、（20分）（1）一质量为m的粒子处于势场Vx中运动0Vx00xxaxa求该粒子的能级及对应的波函数。（2）若一质量为m粒子处于势场00VVx0xxa中运动，求束缚态能级所满足的方程。（3）若一质量为m粒子处于三维势场Vr中运动，00VVr0rara00V则若欲得二个束缚态，其势能值0V至少应为多少？四、（15分）（1）何谓厄密算符，试写出其定义，及判断算符ˆdAdx是否厄密？（2）计算对易子,nxxp的值。（3）证明厄密算符的本征值为实数。（4）试说明为何要力学量对应为厄密算符？下面两组试题（五、六与七、八）五、（15分）证明对任何束缚态，粒子动量xp的平均值为零。六、（15分）如果氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r的表面分布着均匀电荷的小球，计算这种效应对氢原子基态能量的一级修正。七、（15分）一质量为m的高能粒子被势场201.125rrVeeVxraa散射，0V较小，k为入射波矢。八、（15分）试写出定态微扰论中对非简并态微扰的能量修正（至二级）。浙江大学2002年攻读硕士学位研究生入学考试试题一、从下面四题中任选三题（15分）（1）试说明光电效应实验中的红限现象，为何光电效应实验中有所谓截止频率的概念？（2）如何人从Plank公式中推出Stefan公式？（3）你认为玻尔的量子理论理论有哪些成功之处？有哪些不成功之处？试举一例说明。（4）你能从固体与分子的比热问题中得出量子力学的概念？二、（20分）设氢原子处于状态：211121103111171,,,,,442rRrYRrYRrY（1）测得该原子的能量的可能值为多少？相应的几率又为多少？（2）测得的角动量平方的可能值和相应几率为多少？（3）测得的角动量分量zL的可能值和相应几率为多少？三、（20分）一质量为m的粒子处于势场Vx中运动，若（1）0Vxxaxa则该粒子的本征能量不多少？（2）,0Vxaxa为一已知常数，则该粒子的本征能量为多少？特征长度为多少？（3）0,0,VxxVxxa，00V，是一个给定的常数，则该粒子满足的方程为何？（4）能量为E的平行粒子束，以入射角射向平面0x，在区域0,0,xV在区域00,.xVV试人量子力学的观点，分析粒子束的反射及折射规律。（用及1201VnE表示反射几率R及折射几率.D）四、（15分）（1）如何证明一个算符为厄密算符？算符ˆdAixdx是否为厄密算符？（2）若,,xxpi计算对易子23ˆˆ,xxp。（3）证明厄密算符对应不同本征值的本征函数相互正交。（4）为何物理量要用厄密算符来表示？下面两组试题（五、六与七、八），任选一组解答。五、（15分）在一维谐振子问题中，相互作用势为221212Vxmxxe来表示，0,0,xxp问其位移x的平均值与时间的关系如何？六、（15分）如果有一二能级系统1,2其相应的能量分别为1,2EE，哈密顿算符的矩阵元为12ˆˆˆˆ11,22,1221HEbHEbHHa其中12,,,EEab为已知常数，满足一切近似条件，求修正能量至二级。七、（15分）若有一质量为m的低能粒子被一强势场散射，若散射时的有效质量为，若势场为00,,0,0,VraVxVara为常数。问（1）是用波恩近似不是用分波法比较合适？（2）试问相移l的正弦与散射势能及散射波函数的关系如何？（3）求出零能近似下的微分散射截面。（4）若不知道Vr的具体形式，能否利用散射实验来确定Vr？八、（15分）试证固体物理中常用的托马斯求和规则：222nnEEnxm其中,n为系统的二个任意能态，,nEE为任意二个能级，m为粒子的质量。浙江大学2003年攻读硕士学位研究生入学考试试题一、（35分）1、如果1和2是某一体系含时薛定谔方程的解1）它们的线性组合12ab是否满足同样的含时薛定谔方程？2）若令12,，你认为是否满足同样的含时薛定谔方程？2、质量相同的两个粒子分别在宽度不同的两个一维无限深势阱中，试问窄势阱中粒子基态能量低，还是宽势阱中的基态能量低？3、1）你是否认识这三个矩阵1010,,10001oii在量子力学中它们叫什么？3）写出,ˆˆˆ,xyzLLL之间的对易关系。4）计算ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,,,,,,xyzyzxzxyLLLLLLLLL二、（20分）有一个双势阱000012VVxVV002233xxaaxaaxaax这里00V，试写出各区域内波函数的合理形式以及连接各区域的边界条件（不必具体求解）。三、（25分）处于均匀电场中带电谐振子的哈密顿量为2222211ˆ22xyHppmxyeExm（其中电场强度E为常数）（1）求出其能级。（2）电场E的大小会产生什么影响？四、（20分）如果把原子实看作由一个点核和价电子均匀分布在半径为0a的球内所组成，那么其散射势可表示为200,0,zerraVrrRra其中202,aRze试用玻恩近似求微分截面。