有限元第五章1

第五章等参数单元(IsoparametricElements)系统的解决构造协调位移单元的问题；本章介绍的自然坐标系的描述方法也广泛为其他类型的单元所采用；等参数单元在构造形函数时首先定义一个规则的母体单元（参考单元），在母体单元上构造形函数，再通过等参数变换将实际单元与母体单元联系起来；变换涉及两个方面：几何图形的变换（坐标变换）位移场函数的变换；两种变换采用了:相同的函数关系（形函数）同一组结点参数，故称其为等参数变换。§5-1四结点四边形等参数单元(1,1)ηξ(-1,-1)１342图5-11.母体单元自然坐标和形函数母体单元ê：边长为２的正方形，自然坐标系ξ，η。取四个角点为结点，在单元内的排序为１、２、３、４。)4~1()1(141),(iNiii　　(5-1-1)ijiiNiji　　当　　　当　＝10),(1)1)(1(41)1)(1(41)1)(1(41)1)(1(41),(41iiN(5-1-2)(iii)),(iN显然有如下特点：),(iN（i）是ξ，η的双线性函数（ii）2.实际单元与母体单元之间的坐标变换(1)坐标变换x,uy,v3241ξ=-1η=1ξ=-1/2ξ=0ξ=1/2ξ=1η=1/2η=0η=-1/2η=-1图5-2０(1,1)ηξ(-1,-1)１342图5-1iiiiiiyNyxNx4141),(),((5-1-3)（5-1-3）所定义的变换有如下特点:x,y是ξ，η的双线性函数。沿母体单元中η＝常数的直线（坐标线），x,y是ξ的线性函数，ξ＝常数的另一组坐标线对应于单元e中的另一组直线。单元e为直边四边形。单元ê的其他直线（例如对角线1-3），变换到单元e中将是一条曲线（图5-2）设xy平面上的实际单元由母体单元经过变换得到：且规定结点（ξi，ηi）与结点（xi,yi）对应（i=1~4）。这样的变换不只一个，利用（5-1-1）定义的形函数即可写出这种变换中的一个eeF：（２）Jacobi矩阵Jacobi行列式41414141iiiiiiiiiiiiyNxNyNxNyxyxJ(5-1-4)[J]称为变换的Jacobi矩阵。detJ称为变换的Jacobi行列式。一般情况下，[J]的元素和detJ都是ξ，η的函数。若detJ不恒为零（一般使它恒正），则[J]-1存在，变换F存在逆变换F-1。yxyxJdeteeF：　1单元e内的任一点（x,y）对应于单元ê内的一确定点（ξ，η）。此时称变换F为非奇异的。detJ称为变换特征量。detJ还具有明显的几何意义设在（z,）处detJ≠0在（z,）附近取一边长为dξ，dη的长方形。设此长方形与单元e内的一个小子区域dσ对应，ddJddetedσê(ξ,η)dηdξ图5-3(x,y)α2a2b1(c,d)423０xy图5-4例图5-4所示的实际单元e为边长分别为2a、2b的矩形。sin2cos22211adyacxdycxcos2sin2cos2sin2sin2cos24433bdybcxbadybacx坐标变换sincossincos121sin2121cos2sin2cos243324321babacbacNNbNNaNNNNcxcossincossinbabady当实际单元e为矩形时，经坐标变换得到的x,y是ξ，η的线性函数。cossinsincosbbaayxyxJabbbaaJcossinsincosdet注意：一般情况下detJ是,的函数。3.单元内假设的位移场设沿总体坐标系的位移为u、v，结点（xi,yi）的位移为ui，vi实际单元e内的假设位移场（Trialfunction）在局部坐标系下的形式取为:iiiiiivNvuNu4141),(),((5-1-5)在坐标变换（5-1-3）和假定的位移场（5-1-5）中使用的是同一套变换关系(形函数)，同一套变换参数（与（xi,yi）对应的结点位移(ui,vi)）满足这一特征的单元称为等参数单元。iiiiiiyNyxNx4141),(),((5-1-3)当实际单元为矩形时，ξ，η可表示成x,y的线性函数，假定的位移场u、v是x，y的多项式。但对一般单元而言，ξ，η不能表示成x，y的多项式，因而位移场u、v不再是x，y的多项式，不能直接利用第四章的结果进行收敛性分析。4.收敛性分析(1)单元内位移场连续x、y、u、v都是ξ，η的双线性函数（连续函数）。只要Jacobi行列式detJ≠0，u、v就是x，y的连续函数。即在实际单元内u、v连续。(2)刚体位移和常应变条件对于二阶问题，这个条件归结为假定的位移场中包括总体坐标的完全一次多项式。或者换一个提法：假定的位移场可以精确地表述任何一种线性变化的真实位移场。形函数满足：1),(10),(41iiijiiiNijijN　　当　　　　当　　(5-1-6)设真实位移场为x，y的线性函数yxvyxu654321iiiijiiiiiiiyxNyNxNNu32141413412411iiiuNu41iiivNv41只要所定义的形函数满足（5-1-6）（不管形函数的具体表达式如何），且坐标变换和假定的位移场使用同一组形函数（等参数单元总是如此），那么这样假设的位移场一定能够精确地表述任何一种线性位移场，即刚体位移和常应变条件总可以得到满足。(3)协调性y,v１２３４x,ue’eMs图5-5１３２êηξ4ξM对于二阶问题要求穿过单元边界时位移连续。考察单元e和e’共同边界1-2：其上的位移处处相同，即在边界上位移是连续的。沿1-2边η＝常数，x、y、u、v都是ξ的线性函数。设e边界上的M点与ê边界上的点对应，则M到结点１的距离Ｓ将是ξ的线性函数。反过来ξ也是Ｓ的线性函数，因而u，v也是Ｓ的线性函数，完全由这个边界上两个结点1、2的位移值u1、u2、v1、v2所决定。四结点四边形等参元的优缺点：形状有较大灵活性只能精确地再现线性变化的位移场有限元空间Sh的次数k－1=1虽然能保证有限元解的收敛性，但精度不够满意5.四结点单元的应用实例及相关限制条件xy0.01124342332.03.05.05.03.02.01422e1e3e(1,1)ηξ(-1,-1)１342图5-1１、2号单元与母体单元的结点编号顺序一致，均为逆钟向，而３号单元的编号顺序为顺钟向；１、３号单元为凸形单元，即连接任意两点结点的线段均在单元内部，而单元２是非凸形单元，如连接结点１、３的线段不在单元内。下面讨论这些差别在母体单元与实际单元进行映射时的影响。y1432x1e111141111141111141111141432141432141432141432141yyyyNyyyyyyNyyxxxxNxxxxxxNxxiiiiiiiiiiii计算出Jacobi矩阵中的各元素如下:单元１：5,3,0,2,043213241yyyyxxxx212153),(122),(43413241NNyNyNNxNxiiiiii042121202111detJJJacobi行列式是的线性函数，Jacobi行列式的值恒为正，因此，母体单元与单元１的变换是可逆的。单元２：3,2,0,5,3,243213241yyyyxxxx1２３４01eˆ12342e222),(223),(4141iiiiiiyNyxNx143211212121detJJ90625.1,09375.3yxJacobi行列式的值沿着直线为零，母体单元中的阴影部分将映射到实际单元的阴影部分，这部分显然在实际单元之外。例如，母体单元中的点落在阴影部分，该点映射到了实际单元的。因此，母体单元与单元２的变换不是可逆的。所以内角大于的网格在任何单元中都是不允许的。一般来说，有限元网格中内角过大或过小都是不合适的。43,4390625.1,09375.3yx18001单元３：5,3,5,0,232414321yyyyxxxx4),(2223),(4141iiiiiiyNyxNx0220221121detJJJacobi行列式的值小于零表示：右手坐标系映射到左手坐标系，这种变换关系在有限元方法中也是不允许的。若将单元3的结点编号顺序改为逆钟向，即：5,3,0,5,243214321yyyyxxxx4),(2223),(4141iiiiiiyNyxNx022112022detJJ§5-2八结点四边形（直边或曲边）等参数单元8ηξ１342图5-８765y76543218x0图5-９1.母体单元形函数86)1)(1(2175)1)(1(214~1)1()1)(1(4122、　　　、　　　　　iiiNiiiiiii(5-2-1)2.实际单元和坐标变换8181),(),(iiiiiiyNyxNx(5-2-3)在一般情况下单元e将是曲边四边形。当实际单元e为矩形，且结点５~８位于各边中点时，变换（5-2-3）的右端退化为ξ、η的一次多项式，反过来ξ、η也可表示为x、y的线性函数。形函数对于变量ξ或η来说次数都不超过２。沿母体单元ê中η＝常数的直线（坐标线）x、y将是ξ的二次函数。3.单元内假设的位移场8181),(,),(iiiiiivNvuNu(5-2-4)2162152141321211109282726524321vu(5-2-4)展开后必归为以下形式的位移场上式完全到ξ、η的二次多项式，三次项不完全。一般情况下u、v不是x、y的多项式，但当ξ、η可以表示成x、y的线性函数（单元e为矩形，且结点５~８位于各边中点）时u、v将是x、y的多项式，且完全到x、y的二次多项式。4.收敛性分析图5-10协调性分析考察结点1-5-2所在的边沿此边η＝常数，u、v将是ξ的二次函数。设边上一点Ｍ与单元ê边上的点对应，Ｍ到结点１的弧长为Ｓ，则的坐标ξ将是Ｓ的单值函数ξ(S)，u、v是ξ(S)的二次函数，完全由这条边上三个结点１、５、２处的位移u１、u５、u２、v１、v５、v２决定。MM0y,v76543218x，usMe(a)(b)１３２êηξ4ξM５７６８5.精度分析(1)八结点等参数单元（以及四结点等参元）能够精确地再现任何