有限带宽和时变拓扑结构数字网络的分布一致性

伴随有限带宽和时变拓扑结构的数字网络下的分布一致性摘要在这篇文章里，我们考虑了离散时间下伴有有限通信传输率和时变通信拓扑结构的分布平均一致性。我们基于进位制改革的量化设计了一个分布式编码解码方案，并且在对称补偿方法的基础上设计了一个控制协议。我们提出了一个自适应方案，根据关联信道的活跃与否来选择量化水平的数量。我们证明了，如果网络是共同连接的，那么在协议设计下，平均一致性能渐进地实现，并且收敛速率被量化。尤其是，如果网络中的任何的连接失败的宽度是有界的，那么控制参数和尺度函数可以被恰当的选取出来，如此一来5级量化器对于指数渐进速率下的渐进平均一致性来说足够了。关键词：多代理商系统分布式一致数据传输率量化时变拓扑结构引文在最近几年，多代理商网络上的分布式协作已经成为网络控制系统和复杂性科学的最具活力的一个方向之一。当开始采用数字通信，因为有限的信道容量，每个时间步只有很有限的一小部分的信息能在邻级代理商进行交换。在邻级代理商的通信是编码，传送，接收，解码的综合过程。与传统的单一控制理论相似的是，这个基于由无限开始的多代理商协作的研究没有考虑通信约束，随着深入的研究，研究员渐渐地开始注意通信网络的各个方面。最近，量化一致性或者是量化通信的一致性引起了越来越多的研究人员的注意。大多数现存的关于量化通信分布一致性研究都假定非时变的通信拓扑结构。众所周知，由于许多像联结失败或环境改变这类的原因，多代理商网络下的通信拓扑经常是时变的。由于联结失败引起的网络拓扑结构的改变是一种无源开关。一个好的分布式一致算法需要具备稳健性来对抗这种开关。在某些其他案例里，网络的拓扑结构可能会被有目的的改变，比如说，根据为了整个系统的性能优化的高级命令而选取的不同模式的网络交换机。因为有限的带宽，量化通信和时变拓扑结构下的分布式一致在理论和工程上的观点来说都具有意义。Dimarogonas和Johansson思考了静态无限层次均化和逻辑量化器的量子化的相对状态信息下的分布式一致，并且证明了如果在切换点之间，对于所有的连续时间间隔通信图都保持树，假若量化密度足够的高，那么一致性可以实现。Nedic,Olshevsky,Ozdaglar,和Tsitsiklis思考了时变拓扑结构和静态无限层次均化量化器下的量化平均一致性。他们证明了如果通信图是共同连接的，那么近似平均一致性是可以实现的。Carlietal.，Lavaei和Murray考虑了一个基于一个无限级数一致的量化器的量化通信的随机流言算法。Carlietal.（2009a,b）。Kar和Moura(2009)考虑了用静态无穷级和有限级一致的量化器的有着随即连接失败的量化平均一致性。他们在在量化之前添加了一个随机抖动来制造一个量化误差白噪音和证明了如果如果拉普拉斯矩阵序列是i.i.d并且这意味着图总是连通的，然后所有的代理商的状态值最终以极高的可能性进入内部状态平均值的小邻级代理商。注意到以上文献集中在静态无穷层次量化器和稳态误差不是零。在这篇论文里，我们考虑了伴随有限通信带宽的离散时间下的平均一致性。代理商有实值状态和在无向数字网络下彼此之间的通信。网络拓扑可以是时变的。这里存在两个最基本的问题。一个是代理商之间的信道是有限容量的，因此只有有限级的量化器可以被使用，这可能导致无界的量化误差。另一个是对于给定的代理商的邻级代理商可能随着时间发生改变，这可能导致为合适的拓扑情况（Lietal.,2011）设计的编码解码方案之间的不协调。为了克服这些困难，我们设计了一个基于比例创新量化器的分布式编码解码方案，其中扩展函数是用来避免有限层次量化器的饱和。在这里，不像确定拓扑结构的那种情况，每个信道都有自己的编码器解码器。每个量化器的量化电平的数值由相关联信道的状态决定。我们提出一个基于对称补偿的控制协议并且设计了一个合适的方案来选取量化电平的数值。每个量化器的量化电平的数值是根据相关信道在上一步是否活跃而调好的在线数据。通过使用这个方案，我们证明了如果网络是共同连接的，那么在设计的协议下，平均一致性可以没有稳态误差的渐进实现，这就意味着平均一致性随着时间的推移以任意精度被实现。我们表明收敛速率不比扩展函数低。尤其是，如果任何网络中的连接失败的持续时间都是有界的，那么控制增益和扩展函数可以被适当的设置使得对于以指数形式收敛的渐进平均一致性5级量化器也已经足够。这篇论文接下来的部分是这样的。在第2部分，我们提出了网络的模型和公式化问题来进行研究。在第3部分，我们提出了编码解码方案和一个控制协议。在第4部分，我们研究了怎样设置控制参数来确保渐进平均一致性并且为闭路循环系统给出收敛速率。在第5部分，我们给出了数例来论证我们协议的有效性。在第6部分，给出了某些结论和提出了未来的研究课题。下列符号将会在这篇论文中用到：1表示一元素全为1的列向量。I表示一个合适大小的单位矩阵。对于给定的s，s表示元素的数量，给出一个向量或是矩阵A，它的转置阵以TA表示，它的无穷范数用A表示，它的欧几里得范数用A表示。对于一个给定的正数x，它的自然对数为它以二为底的对数形式为2logx，小于或等于x的最大整数值记为x，大于或等于x的最小整数值记为x。对于两个实对称矩阵A和B，我们定义如果A-B是半正定的，那么AB.2.模型描述和问题公式化我们考虑了一个有N个代理商的网络的动态分析，1,0,1,...,i1,2,...,N1iiixtxtutt其中,iixtut分别是第i个代理商时间为t时的状态值和输入值。代理商之间的通信由无向图,,1,2,...,gtVAtt表示，其中1,2,...,VN是一组节点，NNijAtat是gt的邻接矩阵的权重，其中用1/0ija来表明从j到i是否活跃的通信渠道。由于通信图是无向图，所以At是一个对称矩阵，在时间t下第i个代理商的相邻代理商由1iijNtjVat定义。iNt的基数被叫做i在时间t时的度，并且用idt表示。定义1itktiNNkgt的拉普拉斯矩阵由LtDtAt定义，其中1,...,NDtdiagdtdt我们用数对,ji来表示从j到i的通信渠道。活跃通信渠道的一个有序数对12231,,,,...,,kkiiiiii被叫做从代理商1i到代理商ki的路径。如果对于任意的,ijV都有从i到j的路径，那么图gt就叫做连通图。对于一序列,1,2,...gtt我们有下列的假设11itiANNt备注1.我们注意到iN代表第i个代理商的一组无穷多的邻级代理商。假设1A意味着如果第j个代理商在某一个时刻是i代理商的邻级代理商，那么在时间趋于无穷时它也是i代理商的邻级代理商。注意那些渠道只在有限期里不会对协议设计和闭环管理产生本质上影响的时候存在。在这篇论文里，我们目标是设计一个使用数据的有限比特位的编码解码方案和一个交互协议来实现渐进平均一致性。3.协议设计我们假设在代理商之间只有具有象征意义的数据才能进行交换。对于每个通信渠道，传输器的状态值首先对代表数据进行编码然后进行传输，之后数据被接收，接收器使用的解码器得到一个传送器状态的估计值。对于代理商i和代理商j，其中,1,2,...,ijNiN对于信道,ij，第i个代理商的编码器ij是按以下设计的00,11,21,1,2,...,1ijijijijijiijijijttgtatsttxttstqtgt其中ijt是ij的内部状态，ixt和ijst分别是ij的输入值和输出值。在这里ijtq是一个量化器，并且0gt是一个拓展函数。对于代理商ilN，信道,il将是永远不会活跃的，对于信渠,il设计一个编码器它是无关紧要的。因此，总体上看有iN个编码器是与代理商i有关联的。对于信道,ij代理商j有关联的解码器ij由以下给出ˆ00,3ˆˆ11,1,2,...,ijijijijijxxtgtatstxtt其中ˆijxt是ij的输出值。当信道,ij是活跃的，在ijst被代理商j接收之后，解码器ij被激活来获得ixt的估计值ˆijxt。备注2.众所周知，对于分布式一致性使用动态编码解码方案这个思想是由Carlietal.首次提出的。在这里，编码器（2）和解码器（3）的结构和那些之前（Carli和Bullo,2009;Carlietal.2010a;Lietal.，2011）里的是一样的，然而，由于通信拓扑的时变性，这里有两个主要不同点。对于确定通信拓扑结构的情况，更新增益和编码器的数字转换器都是确定的，对于时变拓扑结构的情况，编码器和解码器的参数，比如aijt和ijtq的量化电平的数值都是对于信道,ij合适选取的。对于确定通信拓扑结构的情况，每个代理商都只需要坚持一个编码器，对于时变拓扑结构的情况，因为邻级代理商的状态的链接是随时间变化的，我们需要为第i个代理商设计iN个编码器。备注3.由上可知，要计算在时间t时编码器ij和解码器ij的输出值，需要同时知道代理商i和代理商j的aijt，也就是说，它们之间的的信道是否活跃。我们注意到如果通信拓扑的开关是预先知道的，那么aijt很明显也就知道了，并且如果信道的值不能优先知道，比如间歇性的链接失败或者是数据包丢失的情况，那么我们可以使用一个分离的反馈信道来知道aijt。这个反馈渠道假设是可靠的并且在邻级的代理商间的每个反馈将会花费信息传送的一个比特位。我们采用了有限层次的统一的对称量化器，也就是，量化器ijtq采取以下的形式0,1212,2121,,221,2,...,K1,421,,2,y12,KyiiiyqyiKKyqy其中K可能随着时间改变。对于Kq是2K+1级量化器。备注4.在确定的拓扑结构的情况下，我们假定量化器的输出值0不会被传送，并且量化器Kq的比特值是2log2K。在这里，为了避免与闲置信道的情况混淆，输出值0将会明确地传送给邻级代理商，因此量化器Kq的比特值为2log2+1K。我们用由时间决定的ijKt来表示ijtq的量化电平数值，并且提出了如下的分布式协议iˆ,0,1,...,i1,2,...N,5iijjiijjNuthatxttt其中控制参数h0。定义1,1iijjijijijijxttettxttstgt从接下来的定理里我们可以知道协议（2），（3）和（5）能保存闭路循环系统的平均状态。定理3.1.如果假设（A1）成立，那么在协议（2），（3）和（5）下，闭路循环系统满足11110,1,2,...6NNiiiixtxtNN证明.从（2），（3）可以知道ˆ,0,1,...jijitxtt然后由ijet的定义和协议（5），我们知道ˆˆ.iiiiiijjiijjNijjijjiiijjNijjiijijjijNjNuthatxtthatxtxtxtxtxtthatetethatxtxt通过假设（A1），我们知道了i1.NijjiijjijNjatxtxtatxtxt此外，当且仅当ijjiatat很容易就可以得到10,Niiut然后和（1）一起推出（6）。备注5.我